人教版高中数学选择性必修第一册第一章1-4-2第1课时距离问题习题含答案

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1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题第1课时　距离问题A级 必备知识基础练1.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)A.1652 B.214 C.53 D.5322.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为 (　　)A.13 B.33 C.53 D.633.在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是(　　)A.6a6 B.3a6 C.3a4 D.6a34.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为　　　　　. 第4题图　　　第5题图5.如图,直三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱AA1=3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　. 6.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.B级 关键能力提升练7.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d等于(　　)A.55 B.255C.2 D.58.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离(　　)A.等于55aB.和EF的长度有关C.等于23aD.和点Q的位置有关9.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是A1B1的中点,P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AA1,则下列说法正确的是(　　)A.点A到直线BE的距离是55B.点A到直线BE的距离是255C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33D.点P到直线AB的距离为253610.棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=13DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为　　　　　. 11.正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　　. 12. 如图,已知四边形ABCD为矩形,四边形ABEF为直角梯形,FA⊥AB,AD=AF=FE=1,AB=2,AD⊥BE. (1)求证:BE⊥DE;(2)求点F到平面CBE的距离.13.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π2,AB=BC=13AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥PC. (1)求点A到平面PCF的距离;(2)求AD到平面PBC的距离.C级 学科素养创新练14.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=2,侧棱AA1=2,D是CC1的中点,则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B两点),使得点A1到平面AED的距离为263?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.第1课时　距离问题1.D　∵OP=12(OA+OB)=12(4,3,6)=2,32,3,OC=(0,1,0),∴PC=OC-OP=-2,-12,-3,∴|PC|=4+14+9=532.2.C　建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E0,12,1,所以EC=1,12,-1,CC1=(0,0,1),所以点C1到直线EC的距离d=|CC1|2-|CC1·EC|EC|| 2　=1-49=53.故选C.3.A　建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1(a,0,a),∴DM=a,0,a2,DB=(a,a,0),DA1=(a,0,a).设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则n·DM=0,n·DB=0,即ax+a2z=0,ax+ay=0,令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴点A1到平面MBD的距离d=|DA1·n||n|=|a-2a|6=66a.4.135　如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),∴点P到直线BD的距离d=|PB|2-PB·BD|BD|2　=10--952=135.5.32　如图所示,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3),∴A1B=(-1,1,-3),A1C=(-1,0,-3),A1B1=(-1,1,0).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=0,n·A1C=0,即-x+y-3z=0,-x-3z=0.令z=1得x=-3,y=0,∴n=(-3,0,1).∴点B1到平面A1BC的距离d=|n·A1B1||n|=32.6.解(1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,12,0,F12,1,0,所以EF=-12,12,0,PE=1,12,-1,DE=1,12,0,设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则n·EF=0,n·PE=0,即-12x+12y=0,x+12y-z=0.令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离d=|DE·n||n|=|2+1|4+4+9=31717,因此点D到平面PEF的距离为31717.(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,所以AC∥平面PEF.因为AE=0,12,0,所以点A到平面PEF的距离d=|AE·n||n|=117=1717.所以直线AC到平面PEF的距离为1717.7.B　以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-12D,所以方程可化为-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以d=|2×0+0-2|22+12=255.8.A　取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,∴点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,故B错误.又A1B1∥平面PGCD,∴点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,故D错误.如图,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),Pa2,0,a,∴DC=(0,a,0),DA1=(a,0,a),DP=a2,0,a.设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由n·DP=0,n·DC=0,得a2x+az=0,ay=0,令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d,则d=|DA1·n||n|=|-2a+a|5=5a5,故A正确,C错误.故选A.9. BC　如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以BA=(-1,0,0),BE=-12,0,1.设∠ABE=θ,则cos θ=BA·BE|BA||BE|=55,sin θ=1-cos2θ=255.故点A到直线BE的距离d1=|BA|sin θ=1×255=255,故A错误,B正确.A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=0,n·A1D=0,所以x-z=0,y-z=0,令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1). 所以点D1到平面A1BD的距离d2=|A1D1·n||n|=13=33.因为易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33,故C正确.因为AP=34AB+12AD+23AA1,所以AP=34,12,23,又AB=(1,0,0),则|AP·AB||AB|=34,所以点P到AB的距离d3=|AP|2-|AP·AB|AB|| 2　=181144-916=56,故D错误.10.43737　以点D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则E1,1,12,F0,1,12,G0,0,13,D1(0,0,1),A1(1,0,1),∴EF=(-1,0,0),FG=0,-1,-16,D1A1=(1,0,0),∴D1A1∥EF.又∵EF⊂平面EFGH,D1A1⊄平面EFGH,∴D1A1∥平面EFGH.∴A1D1到平面EFGH的距离,即为D1到平面EFGH的距离.设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z),则n·EF=0,n·FG=0,即-x=0,y+16z=0,令z=6,则y=-1,∴n=(0,-1,6),又∵D1F=0,1,-12,∴点D1到平面EFGH的距离d=|D1F·n||n|=437=43737,∴A1D1到平面EFGH的距离为43737.11.83　如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).∴EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),∴EF=MN,BF=AM,∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,则n·MN=2x+2y=0,n·AM=-2x+4z=0,解得x=2z,y=-2z.取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.∵AB=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=|n·AB||n|=83.12.解 ∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥AB.又AD⊥BE,AB∩BE=B,∴AD⊥平面ABEF,又AD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面ABEF.∵FA⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴FA⊥平面ABCD.∴FA⊥AD.(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,则B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),∴BE=(0,-1,1),DE=(-1,1,1),∴BE·DE=0×(-1)+(-1)×1+1×1=0,∴BE⊥DE,∴BE⊥DE.(2)由(1)得BC=(1,0,0),BE=(0,-1,1),FE=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面CBE的法向量,则由n·BC=0,n·BE=0,得x=0,-y+z=0,令y=1,得z=1,∴n=(0,1,1)是平面CBE的一个法向量.设点F到平面CBE的距离为d,则d=|FE·n||n|=12=22.∴点F到平面CBE的距离为22.13.解(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图.则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0),则CF=(-a,m-a,0),CP=(-a,-a,a).∵PC⊥CF,∴CF⊥CP,∴CF·CP=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0=a2-a(m-a)=0,∴m=2a,即F(0,2a,0).设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),则n·CF=-ax+ay=0,n·CP=-ax-ay+az=0,解得x=y,z=2x.取x=1,得n=(1,1,2).设点A到平面PCF的距离为d,由AC=(a,a,0),得d=|AC·n||n|=a×1+a×1+0×26=63a.(2)由于BP=(-a,0,a),BC=(0,a,0),AP=(0,0,a).设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),由n1·BP=-ax0+az0=0,n1·BC=ay0=0,得x0=z0,y0=0.取x0=1,得n1=(1,0,1).设点A到平面PBC的距离为h,∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC,则h为AD到平面PBC的距离,∴h=|AP·n1||n1|=a2=22a.14.解假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),AA1=(0,0,2),BA1=(2,-2,2).设BE=λBA1,λ∈(0,1),则E(2λ,2(1-λ),2λ),AD=(-2,0,1),AE=(2(λ-1),2(1-λ),2λ).设n=(x,y,z)为平面AED的一个法向量,则n·AD=0,n·AE=0⇒-2x+z=0,2(λ-1)x+2(1-λ)y+2λz=0.取x=1,则y=1-3λ1-λ,z=2,即n=1,1-3λ1-λ,2为平面AED的一个法向量.由于点A1到平面AED的距离d=|AA1·n||n|=263,所以263=45+1-3λ1-λ2,又λ∈(0,1),所以λ=12.故存在点E,且当点E为A1B的中点时,点A1到平面AED的距离为263.