人教版高中数学选择性必修第一册第一章1-4-2第2课时夹角问题习题含答案

第2课时　夹角问题

A级 必备知识基础练

1.已知点A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　)

A. B.- 

C. D.-

2.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

3.(2021河南洛阳模拟)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)

A. B. C. D.

4.两个平面的法向量分别为(0,-1,3)和(2,2,4),则这两个平面的夹角的余弦值为　　　　. 

5.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.

(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;

(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.

B级 关键能力提升练

6.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为(　　)

A.2 B. 

C. D.

7.正三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为　　　　　. 

8.如图,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为　　　　　. 

C级 学科素养创新练

9.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶,则直线AF与CE所成角的余弦值为　　　　　. 

第2课时　夹角问题

1.A　=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos??=,故直线AB和CD所成角的余弦值为.

2.B　如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,

则A(0,0,0),D(0,1,0),

P(0,0,1),

∴=(0,1,0).

取PD的中点E,

则E,

∴,

易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,所以cos<>=,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.

3.D　如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),

∴=(-2,0,1).

连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,

∴平面BB1D1D的一个法向量为a==(-2,2,0).

∴所求角的正弦值为|cos<a,>|=.

4.　由=,知夹角的余弦值为.

5.解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),∵AB⊥平面ASD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sin θ=|cos<>|=,故cos θ=,即SC与平面ASD所成角的余弦值为.

 (2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cos α=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.

6. D　设菱形ABCD的边长为1,取AC的中点O,连接BO,DO,因为∠ABC=60°,

所以BO⊥AC,又平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,所以BO⊥平面ACD,如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C,0,0,B0,0,,D0,,0,

所以=0,0,,=,0,-,

=-,0.

设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),

则

令z=1,得x=,y=1,则n=(,1,1).

易知平面CDA的一个法向量为=0,0,,

所以|cos<,n>|=.故选D.

7.　设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,

则C1(0,1,1),A,

,

又平面BB1C1C的一个法向量 n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ,

则sin θ=|cos<n,>|=,故cos θ=.

8.　以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(,0,0),B(0,2,0),A1(,1,),O1(0,1,),

所以=(-,1,-),=(,-1,-).

设所求的角为α,

则cos α=,

即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为.

9.　因为AE∶ED∶AD=1∶1∶,

所以AE⊥ED,即AE,DE,EF两两垂直,

所以建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=EF=CD=2,

则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),

所以=(-1,2,0),=(0,2,1),

所以cos<>=,

所以直线AF与CE所成角的余弦值为.