人教版高中数学选择性必修第一册第二章2-5-1直线与圆的位置关系习题含答案

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系

2.5.1　直线与圆的位置关系

A级 必备知识基础练

1.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是 (　　)

A.(-5,15) 

B.(-∞,-5)∪(15,+∞)

C.(-∞,4)∪(13,+∞) 

D.(4,13)

2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是(　　)

A.-2或12 B.2或-12

C.-2或-12 D.2或12

3.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(　　)

A.0 B.4 C.-2 D.

4.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为(　　)

5.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不存在

6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A.- B.-

C.- D.-或-

7.过点P(3,5)作圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为　　　　. 

8.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为　　　　　 m. 

9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.

B级 关键能力提升练

10.若点(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是(　　)

A.相离 B.相切

C.相交但不过圆心 D.相交且过圆心

11.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)

A.[2,6] B.[4,8]

C.[,3] D.[2,3]

12.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点,则b满足(　　)

A.|b|=

B.-1<b≤1或b=-

C.-1≤b<1

D.非以上答案

13.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点.若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为(　　)

A. B.

C.2 D.2

14.(多选题)从点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后,照射到圆C:x2+y2-4x-4y+7=0上,则下列结论正确的是              (　　)

A.若反射光线与圆C相切,则切线方程为3x-4y-3=0

B.若反射光线穿过圆C的圆心,则反射光线方程为x-y=0

C.若反射光线照射到圆上后被吸收,则光线经过的最短路程是5-1

D.若反射光线反射后被圆C遮挡,则在x轴上被挡住的范围是

15.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,则DE的最短距离为(　　)

A.6 km B.(4-1)km

C.(4+1)km D.4 km

16.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　. 

17.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P,Q分别在线段AD,CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的“盲区”中的时长约　　　　　秒(精确到0.1). 

18.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.

(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;

(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.

19.在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求分别以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.

C级 学科素养创新练

20.一辆货车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(　　)

A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米

2.5.1　直线与圆的位置关系

1.B　圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心为(1,-2),半径为2.由题意得,圆心到直线3x+4y+m=0的距离>2,解得m<-5或m>15.故选B.

2.D　圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,

可化为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为=1,得b=2或b=12,故选D.

3.AB　由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.

又直线被圆截得的弦长为2,

所以圆心到直线的距离d=.

又d=,

所以|a-2|=2,

解得a=4或a=0.

4.ABD　由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.

5.B　由题意知,=1,∴a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.

6.D　由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.

又因为反射光线与圆相切,所以=1,整理为12k2+25k+12=0,解得k1=-,或k2=-.

7.4　由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,

得到圆心A坐标(1,1),半径r=2,

又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|==2,设B为切点,由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,根据勾股定理得|PB|==4.则切线长为4.

8. 2　以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如右图所示:

由题意可知,设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2 m,水面宽12 m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,

所以圆的方程为x2+(y+10)2=100,当水面下降1 m后,设A'(x0,-3)(x0>0),代入圆的方程中,得x0=,所以此时水面宽2 m.

9.解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,若直线l的斜率不存在,直线l与圆相离,与题意不符.

故设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,

根据点到直线的距离公式,得<1,

即k2<,解得-<k<,

即直线l斜率k的取值范围为-.

10.C　由题意,得a2+b2>r2,

从而圆心(0,0)到直线的距离为d=∈(0,r),

所以直线与圆相交但不过圆心.

11. A　设圆心到直线AB的距离d==2.

点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.

又AB=2,

∴S△ABP=·|AB|·d'=d',

∴2≤S△ABP≤6.

12.B　曲线x=含有限制条件,即x≥0,

故曲线表示单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.

在同一平面直角坐标系中,画出y=x+b与曲线x=(就是x2+y2=1,x≥0)的图象,如图所示.

相切时,b=-,其他位置符合条件时需-1<b≤1.

13. D　圆C: x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1,

由圆的性质知S四边形PACB=2S△PBC.

∵四边形PACB的最小面积是2,

∴S△PBC的最小值为1,

即rd=1 (其中d是切线长),

∴d最小值=2.

∴PC的最小值为.

∵圆心到直线kx+y+4=0(k>0)的距离就是PC的最小值,∴,

∴k=2或k=-2(舍去).

故选D.

14.BCD　点A(-3,3)关于x轴的对称点为A'(-3,-3).圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,由题意知反射光线的斜率存在,设反射光线方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.对于A,由相切知=1,

解得k=或k=.

∴反射光线方程为y+3=(x+3)或y+3=(x+3).

即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0,故A错误;

又经过点A'(-3,-3),C(2,2)的方程为y=x,故B正确;

因为|A'C|==5,所以直线的最短路程为5-1,故C正确;

由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和,所以被挡住的范围是,故D正确.

15.B　以O为坐标原点,过OB,OC的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系(图略),则圆O的方程为x2+y2=1,因为点B(8,0),C(0,8),

所以直线BC的方程为x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时,DE为最短距离,此时DE的最小值为-1=(4-1)km.

16.　如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,

∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.

∴直线l的斜率的取值范围为.

17.4.4　以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),

可得出直线PQ的方程y-10+t=(x-10),

圆O的方程为x2+y2=1,

由直线PQ与圆O有公共点,可得≤1,化为3t2+16t-128≤0,解得0≤t≤,而≈4.4,因此,点Q在点P的“盲区”中的时长约为4.4秒.

18.解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a≤4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2.

直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|2-a|.

设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得

L=2=2=2.

∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2.

(2)∵直线l与圆C相切,则有=2,

即|m-2a|=2.

∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,

∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.

∵0<a≤4,∴0<≤2,∴m∈[-1,8-4].

19. 解如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).

设△AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).再设切点分别为E,F,G,则|OE|+|EA|+|OF|+|FB|=2r+|AG|+|BG|.

即2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,

即x2+y2-2y=2x-1. ①

又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25, ②

∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.

∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,

∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.

又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π2+π2+π2=(|PA|2+|PB|2+|PO|2),

∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为π,最小值为π.

20.B　如图所示,

半圆的方程为x2+y2=3.62(y≥0),D(0.8,0),

设A(0.8,y),代入半圆的方程得0.82+y2=3.62,解得y≈3.5.

因此这辆卡车的平顶车篷距离地面的高度最高不得超过3.5 m.故选B.