人教版高中数学选择性必修第一册第二章2-5-2圆与圆的位置关系习题含答案

2.5.2　圆与圆的位置关系

A级 必备知识基础练

1.两圆x2+y2-2x-2y=0和x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　)

A.x+y+3=0 B.x-y+2=0

C.x+y-2=0 D.2x-y-1=0

2.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为(　　)

A.2 B. C. D.

3.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1相外离,则a,b满足的条件是　　　　　　　　　. 

4.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是　　　　　. 

B级 关键能力提升练

5.已知点M(-2,0),N(2,0),若圆x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)上存在点P(不同于M,N),使得PM⊥PN,则实数r的取值范围是(　　)

A.(1,5) B.[1,5] C.(1,3) D.[1,3]

6.圆C1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=16外离,过原点O分别作两个圆的切线l1,l2,若l1,l2的斜率之积为-1,则实数a的值为(　　)

A. B.- C.-6 D.6

7.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆O:x2+y2=上的动点,点F是圆(x-3)2+(y+1)2=上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为(　　)

A.2 B. C.3 D.4

8.(多选题)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有(　　)

A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0

B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0

C.公共弦AB的长为

D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为+1

9.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是(　　)

A.-16 B.-9 

C.11 D.12

10.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为　　　　　　　;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点　　　　　. 

11.在平面直角坐标系Oxy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线方程;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

C级 学科素养创新练

12.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.

(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径.

(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由.

2.5.2　圆与圆的位置关系

1.C　AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.

2.B　由题意得,圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1的圆心为C1(-a,2),半径r1=1.

圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4的圆心为C2(b,2),半径r2=2.

∵圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,

∴|C1C2|=r1+r2,即a+b=3,由基本不等式,得ab≤2=,当且仅当a=b=时,等号成立.故选B.

3.a2+b2>3+2　两圆的连心线的长为d=.

∵两圆相外离,∴d>+1,

∴a2+b2>3+2.

4.外切　∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4.

又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,

圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,

则|C1C2|==2,

∴|C1C2|=r1+r2.∴两圆外切.

5.A　由PM⊥PN得,点P在以MN为直径的圆上(不同于M,N),

以MN为直径的圆的方程为x2+y2=4.

由x2+y2-6x+9-r2=0得(x-3)2+y2=r2(r>0),

所以两圆的圆心距d=3,依题意得,|r-2|<3<r+2,解得1<r<5.

6.C　两圆外离,则>2+4,

即(a-2)2>35,

设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx,

则=2,解得k=,

则与圆C2相切的直线l2的斜率k'=-=-,

直线l2的方程为y=-x,即12x+5y=0,

所以=4,

解得a=-6或a=,

结合(a-2)2>35可知a=-6,故选C.

7.4　∵P(t,t-1),

∴P点在直线y=x-1上,

作E关于直线y=x-1的对称点E',且圆O:x2+y2=关于直线y=x-1对称的圆O1方程为(x-1)2+(y+1)2=,∴E'在圆O1上,∴|PE|=|PE'|.

设圆(x-3)2+(y+1)2=的圆心为O2,

∴|PE'|≥|PO1|-|E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,

∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|E'O1|)=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4,

当P,E',F,O1,O2五点共线,E'在线段PO1上,O2在线段PF上时成立.

因此,|PF|-|PE|的最大值为4.

8.ABD　对于A,由圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,

两式作差可得4x-4y=0,即公共弦AB所在直线的方程为x-y=0,故A正确;

对于B,圆O1:x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),又kAB=1,则线段AB中垂线的斜率为-1,即线段AB中垂线的方程为y-0=-1×(x-1),整理可得x+y-1=0,故B正确;

对于C,圆O1:x2+y2-2x=0,圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离d=,半径r=1,所以|AB|=2,故C不正确;

对于D,P为圆O1上一动点,圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离为d=,半径r=1,即P到直线AB距离的最大值为+1,故D正确.

9.AD　化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为;

圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.

要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|>+1或|C1C2|<-1,

即5>+1或5<-1,

解得-25<k<-9或k>11.

∴实数k的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).

满足这一范围的有A和D.

10.2x+y-1=0　　圆C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),

则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,,

半径为r=.

可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+y-2=,即x2+y2-2x-y=0,

两圆的方程相减可得直线AB的方程2x+y-1=0.

因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,

设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆C的切线,

所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+y-2=(2-m)2+,

又由圆C的方程为x2+y2=1,

两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,

所以直线AB过定点.

11.解(1)由得圆心C(3,2).

∵圆C的半径为1,

∴圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.

过点A作圆C的切线,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,

∴=1,∴|3k+1|=,

∴2k(4k+3)=0,

∴k=0或k=-,∴所求圆C的切线方程为y-3=0或3x+4y-12=0.

(2)∵圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,

∴设圆心C(a,2a-4),

则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.

又|MA|=2|MO|,∴设M(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D,

∴点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,∴2-1≤≤2+1,

解得0≤a≤,所以a的取值范围为0,.

12.解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=,

两圆的圆心距为|a-1|=r,

因为两圆外切,所以r=r+9,∴r=+1.

(2)有.如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),

①若斜率不存在,则直线方程为x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线,

②若斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1),

则d==r=对任意的a都成立,,

两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,

当k=1时,直线与l1重合,

当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,

故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.