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人教版高中数学选择性必修第一册第二章综合训练含答案
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这是一份人教版高中数学选择性必修第一册第二章综合训练含答案，共19页。
第二章综合训练
一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为( )
A.2x+y+3=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-4=0 D.x-2y+6=0
2.已知直线l1:xcos2α+3y+2=0,若l1⊥l2,则l2倾斜角的取值范围是( )
A.π3,π2 B.0,π6
C.π3,π2 D.π3,5π6
3.(2021江西南昌检测)已知圆A:x2+y2=1,圆B:(x-2)2+y2=r2(r>0),圆A与圆B的公切线的条数的可能取值共有( )
A.2种 B.3种
C.4种 D.5种
4.光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射,则反射光线所在的直线方程为( )
A.y=3x-3 B.y=-3x+3
C.y=-3x-3 D.y=3x+3
5.(2021山东济南质检)在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为( )
A.82-8 B.82+8
C.82 D.122
6.若直线ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2b的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
7.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则P到直线x-y+3=0的距离的最大值为( )
A.2+1 B.2+2
C.22+1 D.22+2
8.(2021陕西西安期末)平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得△MAB为直角三角形的点M的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.已知A(1,2),B(-3,4),C(-2,0),则( )
A.直线x-y=0与线段AB有公共点
B.直线AB的倾斜角大于135°
C.△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为y=2
D.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=0
10.(2021山东枣庄期中)已知圆C1:x2+y2=r2与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结论正确的有( )
A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0
B.2ax1+2by1=a2+b2
C.x1+x2=a
D.y1+y2=2b
11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为( )
A.4 B.6
C.32+1 D.8
12.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC,点B(-2,4),点C(5,-3),且其“欧拉线”与圆M:(x-5)2+y2=r2相切,则下列结论正确的是( )
A.圆M上点到直线x-y+3=0的最大距离为42
B.若点(x,y)在圆M上,则yx-1的取值范围是[-1,1]
C.若点(x,y)在圆M上,则x+y的最小值是1
D.圆(x-a-1)2+(y-a)2=2与圆M有公共点,则a的取值范围是[2-5,2+5]
三、填空题.
13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .
14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三点共线,当k<0时,以k为斜率,且过点(2,-1)的直线方程为 .
15.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为 .
16.已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是 (结果用m表示).
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2021湖南湘潭检测)求满足下列条件的直线的方程.
(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;
(2)直线过(0,1)点且与直线3x+y+1=0垂直.
18.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.
(1)求直线l的方程;
(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P的坐标.
19.已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.
(1)求直线AB的一般式方程;
(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.
20.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.
(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若直线l与圆C2的相交弦长为23且过点(2,1),求直线l的方程.
21.(2021四川绵阳期中)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,已知圆C的圆心坐标为2t,1t,其中t∈R且t≠0,x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA,OB.
(1)求证:△OAB的面积为定值,并求出这个定值;
(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于M,N两点,若|OM|=|ON|,求圆C的标准方程.
22.在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).
图1
图2
(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;
(2)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求△OAB面积的最大值,并求出对应B点的坐标;
(3)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.
第二章综合训练
1.B 由题意,直线过(2,-1),(0,3),
故直线的斜率k=3+10-2=-2,
故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.
2.C 因为l1:xcos2α+3y+2=0的斜率k1=-cos2α3∈-33,0,
当cos α=0,即k1=0时,k不存在,此时倾斜角为π2,
由l1⊥l2,k1≠0时,可知直线l2的斜率k=-1k1≥3,
此时倾斜角的取值范围为π3,π2,
综上可得l2倾斜角的取值范围为π3,π2.
故选C.
3.D 根据圆A与圆B的方程可知圆A的圆心为(0,0),半径rA=1,圆B的圆心为(2,0),半径rB=r(r>0),
所以rA+rB=1+r,
|rA-rB|=|1-r|,两圆心的距离为2,
①若两圆外离,则有2>1+r,即0
③若两圆相交,则有1+r>2且|1-r|<2,即1
⑤若两圆内含,则有|1-r|>2,即r>3,此时圆A与圆B公切线的条数为0.
即圆A与圆B的公切线的条数的可能取值有5种.
故选D.
4.B 如图所示,
点M关于x轴的对称点M'的坐标为(2,-3).
∴反射光线所在的直线方程为y-0=-3-02-1(x-1),
化为y=-3x+3,故选B.
5.A 机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,
在行进过程中保持与点C的距离不变,
∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示,
∵A(-10,0)与B(0,10),
∴直线AB的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0,
则圆心C 到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=82>8,∴最近距离为82-8.故选A.
6.A 由题意圆心坐标为(-2,-1),半径r=1,所以圆心到直线的距离为d=|-2a-b+2|a2+b2,
所以弦长2=21-(|-2a-b+2|a2+b2) 2,整理可得2a+b=2,a>0,b>0,
所以1a+2b=1a+2b·12·(2a+b)=122+2+ba+4ab≥124+2ba·4ab=4,
所以最小值为4,故选A.
7.A (2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,
由题意得2x+y-2=0,x-y+2=0,解得x=0,y=2,所以直线l过定点Q(0,2).
因为OP⊥l,
所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1,
因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离为d=22=2,所以P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1.
故选A.
8.D 根据题意,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:
①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,
又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则kAB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,
则kl1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,
此时原点O到直线l1的距离d=|0.42|2=0.212<1,
直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.
②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,
同理可得:直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,
此时原点O到直线l2的距离d=|3.58|2=1.792>1,
直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M.
③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,
又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=4+4=22,
则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=2,
此时|OC|=(0.02)2+(1.56)2=2.434 0,
则有2-1<|OC|<2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M,
综上可得:有4个符合条件的点M.
故选D.
9.BD 由于点A(1,2),B(-3,4)均在直线x-y=0的同侧,则直线x-y=0与线段AB没有公共点,故A错误;
由于直线AB的斜率k=4-2-3-1=-12>-1,故直线AB的倾斜角大于135°,故B正确;
由于直线BC的斜率为4-0-3+2=-4,则边BC上的中垂线的斜率为14,BC的中点为-52,2,故中垂线所在直线的方程为y-2=14x+52,故C错误;
由于边BC上的高线的斜率为14,则其方程为y-2=14(x-1),即x-4y+7=0,故D正确.
10.ABC 两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,
分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,故B正确;
两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;
由圆的性质可知:线段AB与线段C1C2互相平分,
∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.
故选ABC.
11.ABC 直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),
所以距离为(-3)2+(3+1)2+1=6,
当直线与圆有交点时距离最小为0,
所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].
故选ABC.
12.BCD 对于A,设BC的中点为D,AB=AC,所以AD⊥BC.
因为kBC=4+3-2-5=-1,所以kAD=1,
且xD=-2+52=32,yD=4-32=12,所以D32,12,
由题意可得欧拉线为直线AD,
则直线AD的方程为y-12=x-32,即x-y-1=0,
因为圆M:(x-5)2+y2=r2的圆心坐标(5,0),半径r,
由欧拉线与圆M相切,所以r=|5-0-1|1+1=22,
所以圆心到直线x-y+3=0的距离d=|5-0+3|1+1=42,所以圆上点到直线的距离最大值为r+d=22+42=62,所以A不正确;
对于B,yx-1=y-0x-1可以看作点(x,y)与点(1,0)连线的斜率,
设M的切线方程为y=k(x-1),则点(5,0)到该直线的距离|5k-0-k|1+k2=22,解得k=±1,所以yx-1的取值范围是[-1,1],故B正确;
对于C,设M(5+22cos θ,22sin θ),所以x+y=5+22cos θ+22sin θ=5+4sinθ+π4∈[1,9],所以C正确;
对于D,圆(x-a-1)2+(y-a)2=2的圆心(a+1,a),半径为r'=2,
要使该圆与圆M有公共点,则有两圆内切,相交,外切三种情况,则圆心距范围[|r-r'|,r+r']=[2,32],而圆心距(a+1-5)2+a2,
所以2≤(a+1-5)2+a2≤32,
解得a∈[2-5,2+5],所以D正确,
故选BCD.
13.y=4x或y=x+3 根据题意,分2种情况讨论:
①直线经过原点,则直线l的方程为y=4x;
②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,
即直线的方程为y=x+3;
综合可得:直线的方程为y=4x或y=x+3.
14.2x+y-3=0 由题意可得AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC共线,
故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11或k=-2.
∵当k<0时,k为直线的斜率,
∴过点(2,-1)的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.
15.43 直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).
∵C,D分别为OA,OB的中点,
∴|CD|=12|OB|=2,当OP⊥AB时,|AB|最小,此时|AB|=2(22)2-(2)2=26,
∴|AB|·|CD|=2|AB|≥2·26=43.
16.x-2y+2=0 2m2+32 根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所在直线上,
又由A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,
则有ba-1=1,a+12+b2=4,解得a=4,b=3,即P1(4,3),
反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12,则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;
设点M1(a0,b0)与点M关于直线AB对称,点M2与M关于y轴对称,易得M2(-m,0);
线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,
则有b0a0-m=1,m+a02+b02=4,解得a0=4,b0=4-m,
即M1(4,4-m),
又由M2(-m,0),
则|M1M2|=(4+m)2+(4-m)2=2m2+32.
17.解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,
∵点(-1,2)在直线上,∴-1+2+m=0,
∴m=-1,
故所求直线的方程为x+y-1=0.
(2)设所求直线的方程为x-3y+m=0.
∵点(0,1)在直线x-3y+m=0上,
∴0-3+m=0,解得m=3.
故所求直线的方程为x-3y+3=0.
18.解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10=-12,所以直线l的斜率为k1=2,
直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.
(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|+|BP|最小的点.
由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,
联立方程x-2y-10=0,2x-y-10=0,解得x=103,y=-103,
所以点P的坐标为103,-103.
19.解(1)∵直线l:y-1=a(x-3),
∴直线l恒过定点P(3,1).
由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).
由圆的性质可知AB⊥PC,
∵kPC=1-03-1=12,
∴kAB=-2,所以直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.
(2)由题意知|PC|=(3-1)2+(1-0)2=5.
∵PA⊥AC,PB⊥BC,
所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,所以四边形PACB的外接圆为(x-2)2+y-122=54.
20.解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),r1=1,
由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,则C2(3,0),r2=9-m,∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,∴3=1+9-m,解得m=5.
(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,则C2(3,0),r2=2,
由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,
当直线l无斜率时:直线方程为x=2.符合题意;
当直线l斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),
化为一般形式为kx-y-2k+1=0,
则圆心(3,0)到直线l的距离d=|k+1|k2+1=1,
解得k=0,得直线方程为y=1.
综上,直线l的方程为x=2或y=1.
21.(1)证明因为C2t,1t(t∈R,t≠0),x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA,OB,
所以AB经过C,且C为AB中点,所以A(4t,0),B0,2t,所以S△OAB=12|OA|·|OB|=12|4t|2t=4,所以△OAB的面积为定值,定值为4.
(2)解因为直线2x+y-4=0与圆C交于M,N两点,|OM|=|ON|,
所以MN的中垂线经过O,且过C,所以OC的方程y=12x,所以1t=12·2t,所以当t=1时,有圆心C(2,1),半径r=5,
所以圆心C到直线2x+y-4=0的距离为d=55<5,所以直线2x+y-4=0与圆C交于M,N两点,故成立;
当t=-1时,有圆心(-2,-1),半径r=5,所以圆心C到直线2x+y-4=0的距离为d=955>5,所以直线2x+y-4=0与圆C不相交,故t=-1(舍去),
综上所述,圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
22.解(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为点M(x,y),
由于点B在曲线Γ上,则x02+y02=1,①
因为点M为线段AB的中点,则2x=x0+2,2y=y0,得x0=2x-2,y0=2y,
代入①式得(2x-2)2+(2y)2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.
(2)设B(x0,y0),0≤y0≤1,△OAB的面积为12·2y0=y0,可得面积的最大值为1,此时B点的坐标为(0,1).
(3)如下图所示,易知点D(2,2),
结合图形可知,点C在右半圆D:(x-2)2+(y-2)2=1上运动,问题转化为原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交右半圆D于点C',当点C与点C'重合时,|OC|取最大值,且|OC|max=|OD|+1=22+1.
第二章综合训练
一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为( )
A.2x+y+3=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-4=0 D.x-2y+6=0
2.已知直线l1:xcos2α+3y+2=0,若l1⊥l2,则l2倾斜角的取值范围是( )
A.π3,π2 B.0,π6
C.π3,π2 D.π3,5π6
3.(2021江西南昌检测)已知圆A:x2+y2=1,圆B:(x-2)2+y2=r2(r>0),圆A与圆B的公切线的条数的可能取值共有( )
A.2种 B.3种
C.4种 D.5种
4.光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射,则反射光线所在的直线方程为( )
A.y=3x-3 B.y=-3x+3
C.y=-3x-3 D.y=3x+3
5.(2021山东济南质检)在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为( )
A.82-8 B.82+8
C.82 D.122
6.若直线ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2b的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
7.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则P到直线x-y+3=0的距离的最大值为( )
A.2+1 B.2+2
C.22+1 D.22+2
8.(2021陕西西安期末)平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得△MAB为直角三角形的点M的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.已知A(1,2),B(-3,4),C(-2,0),则( )
A.直线x-y=0与线段AB有公共点
B.直线AB的倾斜角大于135°
C.△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为y=2
D.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=0
10.(2021山东枣庄期中)已知圆C1:x2+y2=r2与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结论正确的有( )
A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0
B.2ax1+2by1=a2+b2
C.x1+x2=a
D.y1+y2=2b
11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为( )
A.4 B.6
C.32+1 D.8
12.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC,点B(-2,4),点C(5,-3),且其“欧拉线”与圆M:(x-5)2+y2=r2相切,则下列结论正确的是( )
A.圆M上点到直线x-y+3=0的最大距离为42
B.若点(x,y)在圆M上,则yx-1的取值范围是[-1,1]
C.若点(x,y)在圆M上,则x+y的最小值是1
D.圆(x-a-1)2+(y-a)2=2与圆M有公共点,则a的取值范围是[2-5,2+5]
三、填空题.
13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .
14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三点共线,当k<0时,以k为斜率,且过点(2,-1)的直线方程为 .
15.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为 .
16.已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是 (结果用m表示).
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2021湖南湘潭检测)求满足下列条件的直线的方程.
(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;
(2)直线过(0,1)点且与直线3x+y+1=0垂直.
18.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.
(1)求直线l的方程;
(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P的坐标.
19.已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.
(1)求直线AB的一般式方程;
(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.
20.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.
(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若直线l与圆C2的相交弦长为23且过点(2,1),求直线l的方程.
21.(2021四川绵阳期中)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,已知圆C的圆心坐标为2t,1t,其中t∈R且t≠0,x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA,OB.
(1)求证:△OAB的面积为定值,并求出这个定值;
(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于M,N两点,若|OM|=|ON|,求圆C的标准方程.
22.在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).
图1
图2
(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;
(2)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求△OAB面积的最大值,并求出对应B点的坐标;
(3)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.
第二章综合训练
1.B 由题意,直线过(2,-1),(0,3),
故直线的斜率k=3+10-2=-2,
故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.
2.C 因为l1:xcos2α+3y+2=0的斜率k1=-cos2α3∈-33,0,
当cos α=0,即k1=0时,k不存在,此时倾斜角为π2,
由l1⊥l2,k1≠0时,可知直线l2的斜率k=-1k1≥3,
此时倾斜角的取值范围为π3,π2,
综上可得l2倾斜角的取值范围为π3,π2.
故选C.
3.D 根据圆A与圆B的方程可知圆A的圆心为(0,0),半径rA=1,圆B的圆心为(2,0),半径rB=r(r>0),
所以rA+rB=1+r,
|rA-rB|=|1-r|,两圆心的距离为2,
①若两圆外离,则有2>1+r,即0
③若两圆相交,则有1+r>2且|1-r|<2,即1
⑤若两圆内含,则有|1-r|>2,即r>3,此时圆A与圆B公切线的条数为0.
即圆A与圆B的公切线的条数的可能取值有5种.
故选D.
4.B 如图所示,
点M关于x轴的对称点M'的坐标为(2,-3).
∴反射光线所在的直线方程为y-0=-3-02-1(x-1),
化为y=-3x+3,故选B.
5.A 机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,
在行进过程中保持与点C的距离不变,
∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示,
∵A(-10,0)与B(0,10),
∴直线AB的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0,
则圆心C 到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=82>8,∴最近距离为82-8.故选A.
6.A 由题意圆心坐标为(-2,-1),半径r=1,所以圆心到直线的距离为d=|-2a-b+2|a2+b2,
所以弦长2=21-(|-2a-b+2|a2+b2) 2,整理可得2a+b=2,a>0,b>0,
所以1a+2b=1a+2b·12·(2a+b)=122+2+ba+4ab≥124+2ba·4ab=4,
所以最小值为4,故选A.
7.A (2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,
由题意得2x+y-2=0,x-y+2=0,解得x=0,y=2,所以直线l过定点Q(0,2).
因为OP⊥l,
所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1,
因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离为d=22=2,所以P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1.
故选A.
8.D 根据题意,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:
①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,
又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则kAB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,
则kl1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,
此时原点O到直线l1的距离d=|0.42|2=0.212<1,
直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.
②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,
同理可得:直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,
此时原点O到直线l2的距离d=|3.58|2=1.792>1,
直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M.
③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,
又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=4+4=22,
则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=2,
此时|OC|=(0.02)2+(1.56)2=2.434 0,
则有2-1<|OC|<2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M,
综上可得:有4个符合条件的点M.
故选D.
9.BD 由于点A(1,2),B(-3,4)均在直线x-y=0的同侧,则直线x-y=0与线段AB没有公共点,故A错误;
由于直线AB的斜率k=4-2-3-1=-12>-1,故直线AB的倾斜角大于135°,故B正确;
由于直线BC的斜率为4-0-3+2=-4,则边BC上的中垂线的斜率为14,BC的中点为-52,2,故中垂线所在直线的方程为y-2=14x+52,故C错误;
由于边BC上的高线的斜率为14,则其方程为y-2=14(x-1),即x-4y+7=0,故D正确.
10.ABC 两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,
分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,故B正确;
两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;
由圆的性质可知:线段AB与线段C1C2互相平分,
∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.
故选ABC.
11.ABC 直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),
所以距离为(-3)2+(3+1)2+1=6,
当直线与圆有交点时距离最小为0,
所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].
故选ABC.
12.BCD 对于A,设BC的中点为D,AB=AC,所以AD⊥BC.
因为kBC=4+3-2-5=-1,所以kAD=1,
且xD=-2+52=32,yD=4-32=12,所以D32,12,
由题意可得欧拉线为直线AD,
则直线AD的方程为y-12=x-32,即x-y-1=0,
因为圆M:(x-5)2+y2=r2的圆心坐标(5,0),半径r,
由欧拉线与圆M相切,所以r=|5-0-1|1+1=22,
所以圆心到直线x-y+3=0的距离d=|5-0+3|1+1=42,所以圆上点到直线的距离最大值为r+d=22+42=62,所以A不正确;
对于B,yx-1=y-0x-1可以看作点(x,y)与点(1,0)连线的斜率,
设M的切线方程为y=k(x-1),则点(5,0)到该直线的距离|5k-0-k|1+k2=22,解得k=±1,所以yx-1的取值范围是[-1,1],故B正确;
对于C,设M(5+22cos θ,22sin θ),所以x+y=5+22cos θ+22sin θ=5+4sinθ+π4∈[1,9],所以C正确;
对于D,圆(x-a-1)2+(y-a)2=2的圆心(a+1,a),半径为r'=2,
要使该圆与圆M有公共点,则有两圆内切,相交,外切三种情况,则圆心距范围[|r-r'|,r+r']=[2,32],而圆心距(a+1-5)2+a2,
所以2≤(a+1-5)2+a2≤32,
解得a∈[2-5,2+5],所以D正确,
故选BCD.
13.y=4x或y=x+3 根据题意,分2种情况讨论:
①直线经过原点,则直线l的方程为y=4x;
②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,
即直线的方程为y=x+3;
综合可得:直线的方程为y=4x或y=x+3.
14.2x+y-3=0 由题意可得AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC共线,
故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11或k=-2.
∵当k<0时,k为直线的斜率,
∴过点(2,-1)的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.
15.43 直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).
∵C,D分别为OA,OB的中点,
∴|CD|=12|OB|=2,当OP⊥AB时,|AB|最小,此时|AB|=2(22)2-(2)2=26,
∴|AB|·|CD|=2|AB|≥2·26=43.
16.x-2y+2=0 2m2+32 根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所在直线上,
又由A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,
则有ba-1=1,a+12+b2=4,解得a=4,b=3,即P1(4,3),
反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12,则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;
设点M1(a0,b0)与点M关于直线AB对称,点M2与M关于y轴对称,易得M2(-m,0);
线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,
则有b0a0-m=1,m+a02+b02=4,解得a0=4,b0=4-m,
即M1(4,4-m),
又由M2(-m,0),
则|M1M2|=(4+m)2+(4-m)2=2m2+32.
17.解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,
∵点(-1,2)在直线上,∴-1+2+m=0,
∴m=-1,
故所求直线的方程为x+y-1=0.
(2)设所求直线的方程为x-3y+m=0.
∵点(0,1)在直线x-3y+m=0上,
∴0-3+m=0,解得m=3.
故所求直线的方程为x-3y+3=0.
18.解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10=-12,所以直线l的斜率为k1=2,
直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.
(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|+|BP|最小的点.
由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,
联立方程x-2y-10=0,2x-y-10=0,解得x=103,y=-103,
所以点P的坐标为103,-103.
19.解(1)∵直线l:y-1=a(x-3),
∴直线l恒过定点P(3,1).
由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).
由圆的性质可知AB⊥PC,
∵kPC=1-03-1=12,
∴kAB=-2,所以直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.
(2)由题意知|PC|=(3-1)2+(1-0)2=5.
∵PA⊥AC,PB⊥BC,
所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,所以四边形PACB的外接圆为(x-2)2+y-122=54.
20.解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),r1=1,
由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,则C2(3,0),r2=9-m,∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,∴3=1+9-m,解得m=5.
(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,则C2(3,0),r2=2,
由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,
当直线l无斜率时:直线方程为x=2.符合题意;
当直线l斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),
化为一般形式为kx-y-2k+1=0,
则圆心(3,0)到直线l的距离d=|k+1|k2+1=1,
解得k=0,得直线方程为y=1.
综上,直线l的方程为x=2或y=1.
21.(1)证明因为C2t,1t(t∈R,t≠0),x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA,OB,
所以AB经过C,且C为AB中点,所以A(4t,0),B0,2t,所以S△OAB=12|OA|·|OB|=12|4t|2t=4,所以△OAB的面积为定值,定值为4.
(2)解因为直线2x+y-4=0与圆C交于M,N两点,|OM|=|ON|,
所以MN的中垂线经过O,且过C,所以OC的方程y=12x,所以1t=12·2t,所以当t=1时,有圆心C(2,1),半径r=5,
所以圆心C到直线2x+y-4=0的距离为d=55<5,所以直线2x+y-4=0与圆C交于M,N两点,故成立;
当t=-1时,有圆心(-2,-1),半径r=5,所以圆心C到直线2x+y-4=0的距离为d=955>5,所以直线2x+y-4=0与圆C不相交,故t=-1(舍去),
综上所述,圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
22.解(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为点M(x,y),
由于点B在曲线Γ上,则x02+y02=1,①
因为点M为线段AB的中点,则2x=x0+2,2y=y0,得x0=2x-2,y0=2y,
代入①式得(2x-2)2+(2y)2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.
(2)设B(x0,y0),0≤y0≤1,△OAB的面积为12·2y0=y0,可得面积的最大值为1,此时B点的坐标为(0,1).
(3)如下图所示,易知点D(2,2),
结合图形可知,点C在右半圆D:(x-2)2+(y-2)2=1上运动,问题转化为原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交右半圆D于点C',当点C与点C'重合时,|OC|取最大值,且|OC|max=|OD|+1=22+1.
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