高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步训练题

3.1.2　椭圆的简单几何性质

A级 必备知识基础练

1.曲线=1与=1(0<k<9)的关系是(　　)

A.有相等的焦距,相同的焦点

B.有相等的焦距,不同的焦点

C.有不等的焦距,不同的焦点

D.以上都不对

2.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(　　)

A. B. C. D.

4.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m km,远地点B距离地面n km,地球半径为k km,则飞船运行轨道的短轴长为(　　)

A.2 km 

B. km

C.mn km 

D.2mn km

5.(多选题)已知椭圆=1的离心率e=,则k的值可能是(　　)

A.-4 B.4 C.- D.

6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆C的方程为　　　　　　　　. 

B级 关键能力提升练

7.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是(　　)

A.[6,10] B.[6,8] C.[8,10] D.[16,20]

8.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根为x1,x2,则点P(x1,x2)(　　)

A.必在圆x2+y2=2内 

B.必在圆x2+y2=2上

C.必在圆x2+y2=2外 

D.以上三种情况都有可能

9.(多选题)已知F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,O为坐标原点,若椭圆的长轴长是6,且cos ∠OFA=,则椭圆的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

10.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为　　　　　. 

11.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.

C级 学科素养创新练

12.(多选题)阿基米德是古希腊数学家,他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为6π,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程可以为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

3.1.2　椭圆的简单几何性质

1.B　曲线=1的焦距为2c=8,而曲线=1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8,但两椭圆焦点所在的坐标轴不同.

2.A　由题意得c=2,a+b=10,

所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,

解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为=1.

3.B　不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),直线l过(0,b)(c,0),则可设直线l:=1,依题意,有,即4=b2,

∴=3,=3,∴e=.

4.A　由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,

故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k),

即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),

所以b=.

所以椭圆的短轴长为2 km.

5.BC　①当焦点在x轴上,即当k+8>9,即k>1时,由椭圆的标准方程得a=,b=3,则c=,

所以椭圆的离心率e=,解得k=4.

②当焦点在y轴上,即当0<k+8<9,即-8<k<1时,由椭圆的标准方程得b=,a=3,

则c=,所以椭圆的离心率e=,解得k=-.

6.=1　因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,

所以有tan 60°=,即b=c.又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,

所以有a-c=,而a2=b2+c2,三个等式联立得解得

所以椭圆的标准方程为=1.

7.C　不妨设椭圆的焦点在x轴上,

由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(x0,y0),

由椭圆的范围知,|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,

点M到椭圆中心的距离d=.

又因为=1,

所以=64=64-,

则d=.

因为0≤≤100,

所以64≤+64≤100,所以8≤d≤10.

8.A　由已知x1+x2=-,x1x2=-,

从而=(x1+x2)2-2x1x2==1-e2+2e=1-+1=<2,故点P在圆x2+y2=2内.

9.BD

10.4　由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积取得最大值,即bc=2.

∴a2=b2+c2≥2bc=4,当且仅当b=c=时等号成立.

∴a≥2,

∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4.

11.解设P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),

所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.

所以=b2,

所以-c2+b2=c2,

解得.

因为x0∈[-a,a],所以∈[0,a2],

即0≤≤a2,所以2c2≤a2≤3c2.

即,所以,

即椭圆离心率的取值范围是.

12.AD　由题意可知,

又a2=b2+c2,

解得a=3,b=2,c=1,

所以椭圆的标准方程为=1或=1.