人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线课后作业题

3.2　双曲线

3.2.1　双曲线及其标准方程

A级 必备知识基础练

1.(多选题)如果方程=1表示双曲线,则m的取值可能是(　　)

A.-4 B.-2 C.-1 D.

2.(多选题)双曲线=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为(　　)

A.17 B.7 C.22 D.2

3.若ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是(　　)

A.双曲线,焦点在x轴上

B.双曲线,焦点在y轴上

C.椭圆,焦点在x轴上

D.椭圆,焦点在y轴上

4. 如图,已知双曲线的方程为=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为(　　)

A.2a+2m B.4a+2m 

C.a+m D.2a+4m

5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在(　　)

A.一个椭圆上 B.一个圆上

C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上

6.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为　　　　　. 

7.已知点F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.则△F1PF2的面积为　　　　　. 

8.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.

B级 关键能力提升练

9.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1(a>0)过点,-,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=(　　)

A.3 B.6 C.9 D.12

10.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

11.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,△F1PF2的内切圆圆心为M,若+8,则=(　　)

A.2 B.6 C.8 D.10

12.(多选题)已知方程=1表示的曲线为C,下列说法正确的有(　　)

A.当1<t<4时,曲线C为椭圆

B.当t>4或t<1时,曲线C为双曲线

C.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1<t<

D.若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则t>4

13.(多选题)已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有              (　　)

A.点P到x轴的距离为

B.|PF1|+|PF2|=

C.△PF1F2为钝角三角形

D.∠F1PF2=

14.设P是双曲线=1上一点,M,N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　　. 

15.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为　　　　　　　　　　. 

16.已知双曲线=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.

(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.

(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少?

C级 学科素养创新练

17. 某地发生里氏8.0级地震,为了援救灾民,某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品,要把这批药品沿道路PA,PB送到矩形灾民区ABCD中去,若PA=100 km,PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60°,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线?并求出其方程.

3.2.1　双曲线及其标准方程

1.AD　要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1.

由选项知AD符合.

2.CD　设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=5,b=3,c=,设P为双曲线上一点,不妨令|PF1|=12(12>a+c=5+),

∴点P可能在左支,也可能在右支,

由||PF1|-|PF2||=2a=10,

得|12-|PF2||=10,

∴|PF2|=22或2.

∴点P到另一个焦点的距离是22或2.

3.B　原方程可化为+y2=1,因为ab<0,

所以<0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y轴上.

4.B　由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.

又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.

5.D　由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,

画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,

设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,

∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,

∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.

6.=1　设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),则

解得A=-,B=-,

故双曲线的标准方程为=1.

7.16　因为P是双曲线左支上的点,

所以|PF2|-|PF1|=6,

两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.

在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==0,

所以∠F1PF2=90°,

所以|PF1|·|PF2|=×32=16.

8.解当k<0时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的双曲线;

当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线;

当0<k<2时,曲线方程化为=1,表示焦点在x轴的椭圆;

当k=2时,曲线方程化为x2+y2=4,表示一个圆;

当k>2时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的椭圆.

9.C　由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1(a>0)过点,-,可得=1,

解得a=3,b=1,c=,a+c>3,

点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,

则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.

10. B　如图所示,连接ON,由题意可得ON=1,且N为MF1的中点,∴MF2=2.

∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P.

由垂直平分线的性质可得PM=PF1.

∴|PF2-PF1|=|PF2-PM|=MF2=2<F1F2.

由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.

11.D　由双曲线=1得a=4,b=3,

可得c==5.

设△F1PF2的内切圆的半径为r,

由+8,可得r|PF1|=r|PF2|+8,

即r(|PF1|-|PF2|)=8.

易得|PF1|-|PF2|>0,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,

则有4r=8,解得r=2,

则r|F1F2|=10.

12.BCD　A错误,当t=时,曲线C为圆;B正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;C正确,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,∴1<t<;D正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则∴t>4.

13.BC　因为双曲线C:=1,所以c==5.又因为·2c|yP|=·10·|yP|=20,所以|yP|=4,所以选项A错误;

将|yP|=4代入C:=1得=1,即|xP|=.

由对称性,不妨取P的坐标为,可知|PF2|=.

由双曲线定义可知|PF1|=|PF2|+2a=+8=,所以|PF1|+|PF2|=,所以选项B正确;

对于点P,在△PF1F2中,|PF1|=>2c=10>|PF2|=,则>0,

则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,选项C正确;

由余弦定理得cos∠F1PF2=,

∴∠F1PF2≠,

所以选项D错误.

14.9　如图所示,设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,则点F1(-5,0)为圆(x+5)2+y2=1的圆心,点F2(5,0)为圆(x-5)2+y2=4的圆心,

当|PM|-|PN|取最大值时,点P在该双曲线的左支上,由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6.

由圆的几何性质得|PM|≤|PF2|+2,|PN|≥|PF1|-1,所以|PM|-|PN|≤|PF2|-|PF1|+3=6+3=9.

15.=1(x≤-2)　设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=8.

∴点P的轨迹是以A(-4,0),B(4,0)为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支.

又2c=8,∴c=4.∴b2=c2-a2=12.

∴动圆圆心的轨迹方程为=1(x≤-2).

16.解设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,

因为r1r2sin θ,θ已知,

所以只需求r1r2即可.

(1)当θ=90°时,r1r2sin θ=r1r2.

由双曲线方程知a=2,b=3,c=,

由双曲线的定义,得r1-r2=2a=4,

两边平方,得-2r1r2=16.

又=|F1F2|2,即|F1F2|2-4=16,

也即52-16=4,求得=9.

(2)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中,

|F1F2|2=-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,

求得r1r2sin 120°=3.

同理,可求得当∠F1MF2=60°时,=9.

17.解矩形灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样远近,依题意知,界线是第三类点的轨迹.

设M为界线上的任一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,

∴界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分,

如图,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,

设所求双曲线方程的标准形式为=1(a>0,b>0),

∵a=25,2c=|AB|==50,

∴c=25,b2=c2-a2=3 750,

故双曲线的标准方程为=1,

注意到点C的坐标为(25,60),故y的最大值为60,此时x=35,故界线的曲线方程为=1(25≤x≤35,y>0).