2022年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷

这是一份2022年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2022的倒数是（　　）
A． B． C．2022 D．﹣2022
2．（3分）小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）2022年2月8日，在北京冬奥会自由式女子大跳台金牌决赛中，中国选手谷爱凌以188.25分夺得金牌．北京冬奥会大数据报告显示，这场比赛受到我国超过5650万人的关注，5650万这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．5.6×107 B．5.65×107 C．5.65×108 D．56.5×106
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．4x2y﹣x2y＝3
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（ab）3＝a3b3
5．（3分）不等式﹣2x≤﹣x+2的解集在数轴上的表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（　　）
统计量
甲
乙
丙
丁
x（环）
7
8
8
7
S2（环2）
0.9
1.1
0.9
1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）某书店分别用500元和700元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多4套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知现有的12瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这12瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（　　）

A．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
10．（3分）现由边长为的正方形ABCD制作的一副如图1所示的七巧板，将这副七巧板在矩形EFGH内拼成如图2所示的“老虎”造型，则矩形EFGH与“老虎”的面积之比为（　　）

A．2 B． C． D．
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）　 　．
12．（3分）某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度BC为 　 　米．

13．（3分）如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是 　 　．

14．（3分）如图，P为反比例函数图象上一点，以点P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上一点，过点P作PF⊥PE交x轴于F，若OF﹣OE＝8，则k＝　 　．

15．（3分）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE＝2，CE＝5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME＝2∠ADE，EM＝　 　．

三、解答题（本题有7小题，共55分）
16．（5分）化简．
17．（6分）为了解某学校疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干名学生进行调查．以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题．
组别
平均每日体育锻炼时间（分）
人数
A
0≤x≤15
9
B
15＜x≤25

C
25＜x≤35
21
D
x＞35
12
（1）本次调查共抽取 　 　名学生．
（2）抽查结果中，B组有 　 　人．
（3）在抽查得到的数据中，中位数位于 　 　组（填组别）．
（4）若这所学校共有学生2400人，则估计平均每日锻炼超过25分钟有多少人？

18．（8分）已知，如图，矩形ABCD，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD、CE．
（1）求证：∠ABD＝∠BEC．
（2）若AD＝2，AB＝3，连接DE，求sin∠AED的值．

19．（8分）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．

（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
20．（8分）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：
实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表．
漏沙时间x（h）
0
2
4
6
8
电子秤读数y（克）
6
18
30
42
54
探索发现：（1）建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子秤的读数y，描出以表中的数据为坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
结论应用：应用上述发现的规律估算：
（3）若漏沙时间为9小时，精密电子秤的读数为多少？
（4）若本次实验开始记录的时间是上午7：30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？

21．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

22．（10分）如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以DP为边向右作正方形DPFE，连接CE；
【初步探究】
（1）则AP与CE的数量关系是 　 　，AP与CE的夹角度数为 　 　；
【探索发现】
（2）点P在线段AC及其延长线上运动时，如图1，图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）点P在对角线AC的延长线上时，如图3，连接AE，若AB，AE，求四边形DCPE的面积．


2022年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2022的倒数是（　　）
A． B． C．2022 D．﹣2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．
【解答】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．
3．（3分）2022年2月8日，在北京冬奥会自由式女子大跳台金牌决赛中，中国选手谷爱凌以188.25分夺得金牌．北京冬奥会大数据报告显示，这场比赛受到我国超过5650万人的关注，5650万这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．5.6×107 B．5.65×107 C．5.65×108 D．56.5×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5650万＝56500000＝5.85×107．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．4x2y﹣x2y＝3
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（ab）3＝a3b3
【分析】根据二次根式的加法运算法则判断A，根据合并同类项的运算法则判断B，根据完全平方公式判断C，根据积的乘方运算法则判断D．
【解答】解：A、2与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式＝3x2y，故此选项不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，故此选项不符合题意；
D、原式＝a3b3，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握积的乘方（ab）n＝anbn运算法则，完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题关键．
5．（3分）不等式﹣2x≤﹣x+2的解集在数轴上的表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：∵﹣2x≤﹣x+2，
∴﹣2x+x≤2，
则﹣x≤2，
∴x≥﹣2，
将不等式解集表示在数轴上如下：

故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
6．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（　　）
统计量
甲
乙
丙
丁
x（环）
7
8
8
7
S2（环2）
0.9
1.1
0.9
1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据平均数及方差的意义直接求解即可．
【解答】解：从表格中的数据可知，乙和丙的平均数大，而且丙的方差较小，故选丙．
故选：C．
【点评】本题主要考查平均数及方差的意义，熟练掌握平均数及方差的意义是解答此题的关键．
7．（3分）某书店分别用500元和700元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多4套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“第一次购买的单价＝第二次购买的单价”可列方程．
【解答】解：设该书店第一次购进x套，
根据题意可列方程：，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．（3分）已知现有的12瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这12瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：从这8瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率．
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
9．（3分）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（　　）

A．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
【分析】A、根据两点确定一条直线进行判断；
B、利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断；
C、根据菱形的性质进行判断；
D、根据矩形的性质进行判断．
【解答】解：A、在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，故符合题意．
B、因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，故不符合题意．
C、学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形四边相等和平行四边形的不稳定性”，故不符合题意；
D、地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念，直线的性质，菱形的性质，矩形的性质等知识点，属于基础题，熟记相关的性质或定理即可．
10．（3分）现由边长为的正方形ABCD制作的一副如图1所示的七巧板，将这副七巧板在矩形EFGH内拼成如图2所示的“老虎”造型，则矩形EFGH与“老虎”的面积之比为（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】根据七巧板的面积不变，可以根据正方形的面积求出“老虎”面积，再根据七巧板各边的关系求出矩形面积然后求出比值即可．
【解答】解：∵“老虎”是由七巧板拼成的，
∴“老虎”的面积为8，
由七巧板各边的关系可以得出，矩形EFGH的长为5，宽为3，
∴矩形EFGH的面积为5×3＝15，
∴矩形EFGH与“老虎”的面积之比为，
故选：D．
【点评】本题主要考查七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的数量关系是解题的关键．
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）　1　．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：4sin45°（2）0
＝421
＝221
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
12．（3分）某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度BC为 　8　米．

【分析】根据坡度定义直接解答即可．
【解答】解：∵坡度为i＝1：2，AC＝4米，
∴BC＝4×2＝8（米），
故答案为：8．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义是解题的关键．
13．（3分）如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是 　110°　．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14．（3分）如图，P为反比例函数图象上一点，以点P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上一点，过点P作PF⊥PE交x轴于F，若OF﹣OE＝8，则k＝　16　．

【分析】过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，根据⊙P与两坐标轴都相切可知，PA＝PB，由∠APB＝∠EPF＝90°可证△BPE≌△APF，得BE＝AF，利用OF﹣OE＝8，求圆的半径，根据k＝OA•PA求解．
【解答】解：如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，
∵⊙P与两坐标轴都相切，
∴PA＝PB，四边形OAPB为正方形，
∵∠APB＝∠EPF＝90°，
∴∠BPE＝∠APF，
∴Rt△BPE≌Rt△APF，
∴BE＝AF，
∵OF﹣OE＝8，
∴（OA+AF）﹣（BE﹣OB）＝8，
即2OA＝8，
解得OA＝4，
∴k＝OA•PA＝4×4＝16．
故答案为：16．

【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据圆与坐标轴相切的关系作辅助线，构造全等三角形，正方形，将有关线段进行转化．
15．（3分）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE＝2，CE＝5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME＝2∠ADE，EM＝　　．

【分析】如图，连接CD，过点E作EG⊥AD于点G，作MH平分∠CME交AC于点H，过点H作HK⊥ME于点K，先证明△CDF≌△ADE（ASA），得出：DF＝DE，CF＝AE＝2，进而得出△DEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理和三角函数定义可得tan∠ADE，tan∠CMH＝tan∠ADE，设HC＝x，则HK＝x，CMx，EH＝5﹣x，运用面积法可得：S△CMH+S△EMH＝S△CME，即可求出EM（5﹣x），再运用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CD，过点E作EG⊥AD于点G，作MH平分∠CME交AC于点H，过点H作HK⊥ME于点K，
∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB中点，
∴CD＝AD，CD⊥AB，∠DCF∠ACB＝45°＝∠A，
∵∠CDF+∠CDE＝∠CDE+∠ADE＝90°，
∴∠CDF＝∠ADE，
∴△CDF≌△ADE（ASA），
∴DF＝DE，CF＝AE＝2，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DEEF，
在Rt△CEF中，EF，
∴DE，
∵AC＝AE+CE＝2+5＝7，
∴AD，
∵EG⊥AD，
∴AG＝EGAE，
∴DG＝AD﹣AG，
则tan∠ADE，
∵MH平分∠CME，
∴∠CMH＝∠HMF∠CME＝∠ADE，
∴tan∠CMH＝tan∠ADE，
∴，
∵MH平分∠CME，HC⊥BC，HK⊥ME，
∴HK＝HC，
设HC＝x，则HK＝x，CMx，EH＝5﹣x，
∵S△CMH+S△EMH＝S△CME，
∴CM•CHEM•HKCM•CE，
即x×xEM×xx×5，
∴EM（5﹣x），
在Rt△MEC中，CM2+CE2＝ME2，
∴（x）2+52＝[（5﹣x）]2，
解得：x，
∴EM（5﹣x）（5），
故答案为：．

【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，角平分线性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角函数定义等，特别要注意利用二倍角的辅助线的构造，是解决问题的通法．
三、解答题（本题有7小题，共55分）
16．（5分）化简．
【分析】将分式的分子分母分解因式，同时将除法转化为乘法，然后约分，最后算加法即可．
【解答】解：



＝1．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（6分）为了解某学校疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干名学生进行调查．以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题．
组别
平均每日体育锻炼时间（分）
人数
A
0≤x≤15
9
B
15＜x≤25

C
25＜x≤35
21
D
x＞35
12
（1）本次调查共抽取 　60　名学生．
（2）抽查结果中，B组有 　18　人．
（3）在抽查得到的数据中，中位数位于 　C　组（填组别）．
（4）若这所学校共有学生2400人，则估计平均每日锻炼超过25分钟有多少人？

【分析】（1）用D组的人数除以其所占百分比可得；
（2）总人数减去其他类别人数即可求得B组的人数；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）用总人数乘以样本中平均每日锻炼超过25分钟的人数所占比例即可求解．
【解答】解：（1）本次调查的人数有：12÷20%＝60，
故答案为：60；
（2）抽查结果中，B组有60﹣（9+21+12）＝18（人），
故答案为：18；
（3）∵共有60个数据，其中位数是第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均落在C组，
∴在抽查得到的数据中，中位数位于C组；
故答案为：C；
（4）24001320（人）
答：平均每日锻炼超过25分钟有1320人．
【点评】本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（8分）已知，如图，矩形ABCD，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD、CE．
（1）求证：∠ABD＝∠BEC．
（2）若AD＝2，AB＝3，连接DE，求sin∠AED的值．

【分析】（1）由“SAS”可证△DAB≌△CBE，可得结论；
（2）由勾股定理可求DE的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠CBE＝90°，
在△DAB和△CBE中，
，
∴△DAB≌△CBE（SAS），
∴∠ABD＝∠BEC；
（2）∵AB＝3，
∴BE＝AB＝3，
∴AE＝6，
又∵AD＝2，∠A＝90°，
∴DE2，
∴sin∠AED．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19．（8分）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．

（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
【分析】（1）过点D作DG⊥BH于G，则∠DGB＝90°，GH＝DE＝20cm，由锐角三角函数定义求出∠BDG＝30°，即可解决问题；
（2）过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P，过点A作AK⊥BP于K，则PE＝BH＝28cm，∠BDP＝180°﹣∠EDC＝60°，证△ABK是等腰直角三角形，得AK＝12（cm），再求出PDBD＝20（cm），即可解决问题．
【解答】解：（1）过点D作DG⊥BH于G，
则∠DGB＝90°，GH＝DE＝8cm，
∴BG＝BH﹣GH＝28﹣8＝20（cm），
∵BD＝40cm，
∴sin∠BDG，
∴∠BDG＝30°，
∴∠EDC＝90°+30°＝120°；
（2）在规定范围内，理由如下：
过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P，过点A作AK⊥BP于K，
则PE＝BH＝28cm，PD＝BG＝20cm，∠BDP＝180°﹣∠EDC＝60°，
∴∠PBD＝90°﹣∠BDP＝30°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠ABK＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∵AB＝24cm，
∴AKAB＝12（cm），
在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，
∴PDBD＝20（cm），
又∵DE＝8cm，
∴EF＝48﹣20﹣8﹣123.03（cm），
∵规定范围为3cm﹣5cm，
∴在规定范围内．

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（8分）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：
实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表．
漏沙时间x（h）
0
2
4
6
8
电子秤读数y（克）
6
18
30
42
54
探索发现：（1）建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子秤的读数y，描出以表中的数据为坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
结论应用：应用上述发现的规律估算：
（3）若漏沙时间为9小时，精密电子秤的读数为多少？
（4）若本次实验开始记录的时间是上午7：30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？

【分析】【探索发现】（1）在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；
（2）观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法即可求解；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）利用前面求得的函数表达式求出x＝9时，y的值即可得出精密电子称的读数；
（4）利用前面求得的函数表达式求出y＝72时，x的值，由本次实验记录的开始时间是上午7：30，即可求解．
【解答】解：【探索发现】（1）如图2，

（2）观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，
则，，
解得：，
∴y＝6x+6；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）x＝9时，y＝6×9+6＝60，
∴漏沙时间达到9小时时，精密电子称的读数为60厘米；
②y＝72时，6x+6＝72，解得：x＝11，
∴漏沙时间为11小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午7：30，
∴当精密电子称的读数为72克时是下午6点半．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，将图象中的y与x的含义理解透彻是解题关键．
21．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

【分析】（1）把A、C两点的坐标代入抛物线的解析式可求b、c的值，然后利用配方法可求得点M的坐标；
（2）先求得直线AC的解析式，然后再求得抛物线的对称轴，设直线x＝1与△ABC的两边分别交于点E与点F，然后求得点E和点F的坐标，然后依据平移后抛物线的顶点在△BAC的内部列不等式组求解即可；
（3）先证明∠PCM为直角，然后分为△MPC∽△CBD、BDC∽△MCP，两种情况求得PC的长，然后再求得点P的坐标即可．
【解答】解：（1）把A、C两点的坐标代入得：，
解得：．
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣4．
配方得：y＝（x﹣1）2﹣5．
∴点M的坐标为（1，﹣5）．

（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，把点A、C的坐标代入得：，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣4．
抛物线的对称轴方程为x1．

如图1所示，直线x＝1与△ABC的两边分别交于点E与点F，则点F的坐标为（1，﹣1）．
将x＝1代入直线y＝x﹣4得：y＝﹣3．
∴E（1，﹣3）．
∵抛物线向上平移m个单位长度时，抛物线的顶点在△BAC的内部，
∴﹣3＜﹣5+m＜﹣1．
∴2＜m＜4．

（3）如图2所示：

把y＝﹣1代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣4＝﹣1，解得x＝﹣1或x＝3，
∴B（﹣1，﹣1）．
∴BD＝1．
∵AB∥x轴，A（4，﹣1），
∴D（0，﹣1）
∴AD＝DC＝3．
∴∠DCA＝45°．
过点M作ME⊥y轴，垂足为E．
∵C（0，﹣4），M（1，﹣5）．
∴CE＝ME＝1．
∴∠ECM＝45°，MC．
∴∠ACM＝90°．
∴∠PCM＝∠CDB＝90°．
①当△MPC∽△CBD时，，即，解得PC．
∴CF＝PF＝sin45°•PC．
∴P（，）．
如图3所示：点P在点C的右侧时，过点P作PF⊥y轴，垂足为F．

∵CP，∠FCP＝45°，∠CFP＝90°，
∴CF＝FP．
∴P（，）．
②当BDC∽△MCP时，，即，解得PC＝3．
如图4所示：当点P在AC的延长线上时，过点作PE⊥y轴，垂足为E．

∵PC＝3，∠PCE＝45°，∠PEC＝90°，
∴CE＝PE＝33．
∴P（﹣3，﹣7）．
如图5所示：当点P在AC上时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E．

∵PC＝3，∠PCE＝45°，∠PEC＝90°，
∴CE＝PE＝33．
∴P（3，﹣1）．
综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣7）或（3，﹣1）或（，）或（，）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移与坐标变化、相似三角形的性质，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
22．（10分）如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以DP为边向右作正方形DPFE，连接CE；
【初步探究】
（1）则AP与CE的数量关系是 　AP＝CE　，AP与CE的夹角度数为 　90°　；
【探索发现】
（2）点P在线段AC及其延长线上运动时，如图1，图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）点P在对角线AC的延长线上时，如图3，连接AE，若AB，AE，求四边形DCPE的面积．

【分析】（1）由“SAS”可证△ADP≌△CDE，可得AP＝CE，∠DAC＝∠DCE＝45°，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ADP≌△CDE，可得AP＝CE，可得结论；
（3）利用全等三角形的性质和勾股定理可求DE，CP，CE的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ACD＝∠DAC＝45°，∠ADC＝90°，
∵四边形DPFE是正方形，
∴DP＝DE，∠PDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（SAS），
∴AP＝CE，∠DAC＝∠DCE＝45°，
∴∠ACE＝90°，
故答案为：AP＝CE，90°；
（2）如图1，PC+CECD，理由如下：
由（1）可得AP＝CE，
∴PC+CE＝PC+AP＝ACCD，
∴PC+CECD，
如图2，CE﹣CPCD，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ACD＝∠DAC＝45°，∠ADC＝90°，ACCD，
∵四边形DPFE是正方形，
∴DP＝DE，∠PDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（SAS），
∴AP＝CE，∠DAC＝∠DCE＝45°，
∴CE﹣CPCD；
（3）连接CE，

∵△ADP≌△CDE，
∴∠DCE＝∠DAP＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°，
∵AB＝2，
∴CD＝AB＝2，AC24，
∴CE6，
∵AP＝CE＝6，
∴PC＝6﹣4＝2，
∴PE2，
∴DE2，
∴10，2×2＝2，
∴S四边形DCPE＝S△PDE+S△PDC＝12．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理求PC的长是解题的关键．
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