2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（二）（3月份）

这是一份2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（二）（3月份），共33页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（二）（3月份）
一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）
1．（3分）若一个正方形的面积是28，则它的边长为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累积行驶10000km，从未出现故障
D．购买1张彩票，中奖
3．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°
4．（3分）一种商品每件成本为80元，原来按成本增加30%定出价格．现由于库存积压，按原价的85%出售，则每件商品的盈亏情况为（　　）
A．盈利8.4元 B．盈利9.2元 C．亏损8.4元 D．亏损9.2元
5．（3分）线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A→B→C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（22，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是（　　）
A．6 B．5 C．9 D．12
6．（3分）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（　　）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
7．（3分）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD，tan∠AON，则正方形MNUV的周长为（　　）

A． B．18 C．16 D．
8．（3分）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（　　）
A． B． C．或 D．﹣1或
9．（3分）已知a，b，c，d均为实数，a2+b2＝c2+d2，则abcd的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．2
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（　　）

A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）
11．（3分）已知∠A＝100°，则∠A的补角等于　 　°．
12．（3分）有五张正面分别标有数字﹣4，﹣2，0，2，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该卡片放回洗匀后从中再任取一张，将该卡片上的数字记为b，则ab为非负数的概率为 　 　．
13．（3分）若非零实数a，b满足a2＝ab，即可得的值为 　 　．
14．（3分）在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为　 　．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．则cos∠GFH的值为 　 　．

三、解答题（本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分）
16．（6分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+（2﹣x）x，其中．
17．（6分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
18．（7分）如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行到达C处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．
（1）求∠AMC与∠ACM度数．
（2）现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短，且AC＝2000米，求A小区与支管道连接点N的距离．

19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O（∠ACB＞90°），连接OA，OC．记∠BAC＝α，∠BCO＝β，∠BAO＝γ．
（1）探究α与β之间的数量关系，并证明．
（2）设OC与AB交于点D，⊙O半径为1，
①若β＝γ+45°，AD＝2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S．
②若α+2γ＝90°，设sinα＝k，用含k的代数式表示线段OD的长．

20．（9分）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
21．（9分）在▱ABCD中，∠BAD＝α，以点D为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD、CD于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线DK，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，线段AP和线段AC的数量关系为 　 　；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请求出∠FAC的度数，以及AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当a＝120°时，连接AP，若，请直接写出线段AP与线段DG的比值．


22．（10分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在y轴的正半轴上，且tan∠OAB，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P交x轴于C点，记过点A、B、C的抛物线顶点为D点，设PA＝5m．
（1）求线段OA和AB的长．
（2）①求用含字母m的代数式来表示点C的坐标．
②当点C在x轴的正半轴上，且OC：PA＝8：15时，求抛物线的解析式．
（3）如图2，过点D作DE∥x轴交y轴于点E，作直线CD交y轴于点F，当⊙P与△DEF其中一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．



2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（二）（3月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）
1．（3分）若一个正方形的面积是28，则它的边长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵正方形的面积是28，
∴它的边长为2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累积行驶10000km，从未出现故障
D．购买1张彩票，中奖
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，是必然事件，故A符合题意；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故B不符合题意；
C、汽车累积行驶10000km，从未出现故障，是随机事件，故C不符合题意；
D．购买1张彩票，中奖，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD的度数是解题关键．
4．（3分）一种商品每件成本为80元，原来按成本增加30%定出价格．现由于库存积压，按原价的85%出售，则每件商品的盈亏情况为（　　）
A．盈利8.4元 B．盈利9.2元 C．亏损8.4元 D．亏损9.2元
【分析】根据“售价﹣成本＝利润”、“售价＝原价×85%”列出方程求解即可．
【解答】解：设该商品每件盈利x元，则由题意得80×（1+30%）×85%＝80+x，
88.4＝80+x，
x＝8.4．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握“进价”“标价”“卖价”及‘利润’间关系是解决本题的关键．
5．（3分）线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A→B→C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（22，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是（　　）
A．6 B．5 C．9 D．12
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以先求得点B、C的坐标，再根据题意，可以得到点P和Q的坐标，从而可以计算出四边形PDEQ的面积．
【解答】解：∵线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点B的纵坐标是6，
∴6＝5x+1，
解得x＝1，
∴点B的坐标为（1，6），
∵曲线BC是双曲线y的一部分，点B的坐标为（1，6），
∴6，
解得k＝6，
∴双曲线y，
∵点C在该双曲线上，点C的横坐标是6，
∴y＝6÷6＝1，
即点C的坐标为（6，1），
∵点P（18，m），Q（22，n）均在该组波浪线上，18÷6＝3，22÷6＝3……4，
∴m＝1，n，
∴PD＝1，QE，DE＝22﹣18＝4，
∴四边形PDEQ的面积是：5，
故选：B．

【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是求出m、n的值．
6．（3分）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（　　）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，由速度公式表示出两地的距离；
两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，由速度公式表示出两地距离．联立两式解题即可．
【解答】解：设普通火车速度为vm/min，城际快车速度为nvm/min，
已知普通火车从绵阳至成都历时大约2h＝120min，由v可得两地距离：
s＝v×120，
普通火车与城际快车两列对开，途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，
即：s普+s城＝s，
所以：v×80+nv×20＝s，
所以：v×80+nv×20＝v×120，
解得：n＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，速度公式的应用，关键正确表示出两地的距离．
7．（3分）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD，tan∠AON，则正方形MNUV的周长为（　　）

A． B．18 C．16 D．
【分析】延长QN交AE于H．解直角三角形求出OH，HN，OM即可解决问题．
【解答】解：延长QN交AE于H．

由题意AO＝AD＝DE，AE＝2，
在Rt△AOH中，∵tan∠AOH，
∴AH，
∴OH，DH＝EH，
∵△NHD∽△HAO，
∴，
∴DN＝1，HN，
∴ON＝OH﹣HN＝5，
∵OM＝DN＝1，
∴MN＝5﹣1＝4，
∴正方形MNUV的周长为16，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（　　）
A． B． C．或 D．﹣1或
【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．
【解答】解：∵y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，
∴图象开口向上，对称轴为直线x，
当1时，即a，x＝3时有最大值1，
∴9+（2a﹣1）×3﹣3＝1，
∴a，
当1时，即a，x＝﹣1时有最大值1，
∴1+（2a﹣1）×（﹣1）﹣3＝1，
∴a＝﹣1，
∴a＝﹣1或，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
9．（3分）已知a，b，c，d均为实数，a2+b2＝c2+d2，则abcd的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【分析】先计算a2+b2与c2+d2的乘积，然后利用配方法进行计算即可解答．
【解答】解：a2+b2＝c2+d2，
（a2+b2）（c2+d2），
a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝2，
a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+2abcd﹣2abcd＝2，
a2c2+2abcd+b2d2+a2d2﹣2abcd+b2c2＝2，
（ac+bd）2+（ad﹣bc）2＝2，
abcd
（a2c2+b2d2+2abcd）
（ac+bd）2，
∵（ad﹣bc）2≥0，
∴当ad＝bc时，（ad﹣bc）2取最小值为0，
∴（ac+bd）2≤2，
即（ac+bd）2≤1，
∴abcd的最大值为1，
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握配方法是解题的关键．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（　　）

A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a＝y﹣x即可判断；
【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，

∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO＝∠OQD＝90°，
∵PC＝OQ，OC＝OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，
∴OP＝DQ＝y，
∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ（x+y）2•（y﹣a）y（x+a）x＝xya（y﹣x），
∵PC∥DQ，
∴，
∴，
∴a＝y﹣x，
∴S阴＝xy（y﹣x）（y﹣x）（x2+y2）
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）
11．（3分）已知∠A＝100°，则∠A的补角等于　80　°．
【分析】根据补角的概念求解可得．
【解答】解：∵∠A＝100°，
∴∠A的补角＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题主要考查补角，解题的关键是掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
12．（3分）有五张正面分别标有数字﹣4，﹣2，0，2，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该卡片放回洗匀后从中再任取一张，将该卡片上的数字记为b，则ab为非负数的概率为 　　．
【分析】画树状图，共有25种等可能的结果，其中ab为非负数的结果有17种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中ab为非负数的结果有17种，
∴ab为非负数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）若非零实数a，b满足a2＝ab，即可得的值为 　﹣2　．
【分析】将已知变形可得b＝2a，代入所求式子即可得答案．
【解答】解：∵a2＝ab，
∴4a2﹣4ab+b2＝0，
∴（2a﹣b）2＝0，
∴2a﹣b＝0，
∴b＝2a，
∴2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查代数式求值，将已知变形，得到b＝2a是解题的关键．
14．（3分）在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为　8或或　．
【分析】分三种情形：①当BA＝BP时．②当AB＝AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AEAB＝4．③当PA＝PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，分别求解即可．
【解答】解：①当BA＝BP时，
则AB＝BP＝BC＝8，即线段BC的长为8．
②当AB＝AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AEAB＝4，
∴BD＝DP，
在Rt△AEO中，AE＝4，AO＝5，
∴OE＝3，
∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°，
∴△AOE∽△ABD，
∴，
∴BD，
∴BD＝PD，
即PB，
∵AB＝AP＝8，
∴∠ABD＝∠P，
∵∠PAC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴，
∴CP，
∴BC＝CP﹣BP；
③当PA＝PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，
∴AF＝FB＝4，
在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，
∴OF＝3，
∴FP＝8，
∵∠PAF＝∠ABP＝∠CBG，∠AFP＝∠CGB＝90°，
∴△PFB∽△CGB，
∴2，
设BG＝t，则CG＝2t，
∵∠PAF＝∠ACG，∠AFP＝∠AGC＝90°，
∴△APF∽△CAG，
∴，
∴，解得t，
在Rt△BCG中，BCt，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8或或，
故答案为：8或或．

【点评】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．则cos∠GFH的值为 　　．

【分析】根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
设AD＝CD＝BC＝m，则CEm＝t，
Rt△CDE中，CD＝2t＝AD，DEt，
Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t，
∵AD∥BE，
∴，
∴DFBDt，
Rt△DFH中，FHDFt，
Rt△ADE中，AE，
∴EFAEt，
∵FG：EG＝4：5，
∴FGEFt，
Rt△FHG中，cos∠GFH，
故答案为：．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和三角函数解答．
三、解答题（本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分）
16．（6分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+（2﹣x）x，其中．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣1+2x﹣x2
＝2x﹣1，
当x时，原式＝21＝31．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
17．（6分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率．
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；
其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数为1，小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数为6；
所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率
小明和小红都没有抽到“三字经”的概率
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18．（7分）如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行到达C处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．
（1）求∠AMC与∠ACM度数．
（2）现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短，且AC＝2000米，求A小区与支管道连接点N的距离．

【分析】（1）根据方向角可以证得∠AMC与∠ACM度数；
（2）过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据含30度角的直角三角形即可求得AM的长，进而求得AN的长．
【解答】解：（1）如图，

∵∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠ACM＝30°+30°＝60°，
∴∠AMC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴∠AMC与∠ACM度数分别为90°、60°；
（2）当MN⊥AC时，从N到M小区铺设的管道最短，
在Rt△AMC中，
∵∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，AC＝2000，
∴AMAC＝20001000（米），
在Rt△AMN中，
∵∠ANM＝90°，
∴ANAM＝10001500（米）．
答：AN的长为1500米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．
19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O（∠ACB＞90°），连接OA，OC．记∠BAC＝α，∠BCO＝β，∠BAO＝γ．
（1）探究α与β之间的数量关系，并证明．
（2）设OC与AB交于点D，⊙O半径为1，
①若β＝γ+45°，AD＝2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S．
②若α+2γ＝90°，设sinα＝k，用含k的代数式表示线段OD的长．

【分析】（1）连接OB，利用圆周角定理可得∠BOC＝2α，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论；
（2）①利用（1）的结论与已知条件可得α+γ＝45°，则△OAC为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系定理可得∠BAO＝30°，过点D作DE⊥OB于点E，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求线段DE的长，利用△OBC的面积减去扇形OCB的面积即可求得结论；
②延长AO，交圆O于点G，连接BG，利用圆周角定理可得∠BOG＝2γ，利于等腰三角形的性质可得∠BOG＝∠OBC，进而得到BC∥AG；过点O作OF⊥BC于点F，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求CF＝k，则BC＝2k，利用平行线的性质可得△DAO∽△DBC，由相似三角形对应边成比例得出比例式，设OD＝x，则CD＝OC﹣OD＝1﹣x，代入比例式，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）α与β之间的数量关系为：α+β＝90°．理由：
连接OB，如图，

∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝α，
∴∠BOC＝2α．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝β．
∴∠BOC+∠OCB+∠OBC＝180°，
∴2α+2β＝180°．
∴α+β＝90°．
（2）①∵β＝γ+45°，α+β＝90°，
∴90°﹣α＝γ+45°．
∴α+γ＝45°．
∵∠BAC＝α，∠BAO＝γ，
∴∠OAC＝∠BAC+∠BAO＝45°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
∴∠AOC＝90°．
∵AD＝2OD，
∴sin∠OAD．
∴∠OAD＝30°．
∴∠BAC＝15°．
∴∠BOC＝2∠BAC＝30°．
∵OA＝OD，
∴∠OBA＝∠BAO＝30°．
∴∠DOB＝∠DBO＝30°，
∴DO＝DB．
过点D作DE⊥OB于点E，如图，

则OE＝EBOB．
∵tan∠DOB，
∴．
∴DE．
∴OB•DE．
∵，
∴S＝S扇形OCB﹣S△DBO．
②∵α+2γ＝90°，α+β＝90°，
∴β＝2γ．
延长AO，交圆O于点G，连接BG，如图，

∵∠BOG＝2∠BAO＝2γ，
∴∠BOG＝∠OCB．
∵∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOG＝∠OBC．
∴BC∥AG．
过点O作OF⊥BC于点F，则CF＝BFBC，∠COF∠BOC＝α．
∵sinα＝k，sinα，
∴CF＝OC•sinα＝k，
∴BC＝2k．
设OD＝x，则CD＝OC﹣OD＝1﹣x，
∵BC∥OA，
∴△DAO∽△DBC．
∴．
∴．
解得：x．
∴OD．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键．
20．（9分）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，
由题意得：，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
则1.5x＝9，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9（小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60（小时），
设小李跑步的速度为m千米/小时，
由题意得：1.5+（）m≥4.5，
解得：m≥7.2，
答：小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为7.2千米每小时．
解法二：设小李跑步的速度为m千米/小时，
由题意得：，
解得：m≥7.2，
答：小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为7.2千米每小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
21．（9分）在▱ABCD中，∠BAD＝α，以点D为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD、CD于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线DK，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，线段AP和线段AC的数量关系为 　AP＝AC　；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请求出∠FAC的度数，以及AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当a＝120°时，连接AP，若，请直接写出线段AP与线段DG的比值．


【分析】（1）如图1，连接PB，PC，先证得△BPE是等边三角形，再证明△APE≌△CPB（SAS），得出AP＝CP，∠APE＝∠CPB，再证得△APC是等边三角形，即可得出结论；
（2）如图2，连接CF，证明△BCF≌△EAF（SAS），进而得出∠AFC＝90°，利用三角函数可得ACAF，再运用勾股定理即可；
（3）设BE＝a，则PE＝a，AD＝AE＝2a，AB＝CD＝3a，分两种情况：①当点E在AB上时，如图3，过点A作AH⊥DE于点H，作AT⊥BC于点T，连接PB、PC，利用三角函数定义可得：DE＝2DH＝2a，再由△AEG∽△CDG，可得，进而求得DGDEa，再运用解直角三角形和勾股定理可得AP＝ACa，即可求得答案；②如图4，当点E在AB延长线上时，AD＝AE＝AB+BE＝3a+a＝4a，AB＝CD＝3a，过点A作AH⊥DE于点H，作AT⊥BC于点T，连接PB、PC，与①同理即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，连接PB，PC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
由旋转知：EP＝EB，
∴△BPE是等边三角形，
∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，
∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴∠AEP＝∠CBP，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∴△APE≌△CPB（SAS），
∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，
∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，
即∠APC＝∠BPE＝60°，
∴△APC是等边三角形，
∴AP＝AC．
故答案为：AP＝AC；
（2）AB2+AD2＝2AF2，
理由：如图2，连接CF，
在▱ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∵BF⊥EP，
∴∠BFE＝90°，
∵∠BEFα∠BAD90°＝45°，
∴∠EBF＝∠BEF＝45°，
∴BF＝EF，
∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，
∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，
∴∠CBF＝∠AEF，
∴△BCF≌△EAF（SAS），
∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，
∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，
∴∠ACF＝∠FAC＝45°，
∵sin∠ACF，
∴ACAF，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+AD2＝2AF2；
（3）由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，
∵BEAB，AB＝CD，
∴AB＝CD＝3BE，
设BE＝a，则PE＝a，AD＝AE＝2a，AB＝CD＝3a，
①当点E在AB上时，如图3，过点A作AH⊥DE于点H，作AT⊥BC于点T，连接PB、PC，
当∠BAD＝α＝120°时，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE∠ADC＝30°，
∴DH＝AD•cos∠ADE＝2a•cos30°a，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
DE＝2DH＝2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AEG∽△CDG，
∴，
∴DGDEa，
在Rt△ABT中，BT＝AB•cos∠ABC＝3a•cos60°a，AT＝AB•sin∠ABC＝3a•sin60°a，
∴CT＝BC﹣BT＝2aaa，
在Rt△ACT中，ACa，
由（1）知：AP＝ACa，
∴．
②如图4，当点E在AB延长线上时，AD＝AE＝AB+BE＝3a+a＝4a，AB＝CD＝3a，
过点A作AH⊥DE于点H，作AT⊥BC于点T，连接PB、PC，
当∠BAD＝α＝120°时，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE∠ADC＝30°，
∴DH＝AD•cos∠ADE＝4a•cos30°＝2a，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
DE＝2DH＝4a，
由①同理可得：△AEG∽△CDG，
∴，
∴DGDEa，
在Rt△ABT中，BT＝AB•cos∠ABC＝3a•cos60°a，AT＝AB•sin∠ABC＝3a•sin60°a，
∴CT＝BC﹣BT＝4aaa，
在Rt△ACT中，ACa，
由（1）知：AP＝ACa，
∴，
综上所述，线段AP与线段DG的比值为或．




【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，角平分线定义，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角函数定义等，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题关键．
22．（10分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在y轴的正半轴上，且tan∠OAB，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P交x轴于C点，记过点A、B、C的抛物线顶点为D点，设PA＝5m．
（1）求线段OA和AB的长．
（2）①求用含字母m的代数式来表示点C的坐标．
②当点C在x轴的正半轴上，且OC：PA＝8：15时，求抛物线的解析式．
（3）如图2，过点D作DE∥x轴交y轴于点E，作直线CD交y轴于点F，当⊙P与△DEF其中一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．


【分析】（1）根据A点的坐标确定OA的长度，根据函数值求出OB的长度，利用勾股定理求出AB的长度即可；
（2）①过点P作PM⊥x轴于点M，根据PM：MA：PA＝3：4：5，求出PM，MA进而求出AC即可得出C点的坐标；
②根据①求出C点坐标，设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣4），代入B点坐标求出解析式并整理即可；
（3）分三种情况分别求出当⊙P与三角形DEF三边相切时m的值即可．
【解答】解：（1）∵A（4，0），
∴OA＝4，
在Rt△OAB中，tan∠OAB，
∴OB＝3，
由勾股定理得AB＝5，
即OA长为4，AB长为5；
（2）①如下图所示，过点P作PM⊥x轴于点M，

在Rt△APM中，tan∠OAB，
∴PM：MA：PA＝3：4：5，
∵PA＝5m，
∴PM＝3m，MA＝4m，
∴CM＝MA＝4m，
∴AC＝8m，
即C（4﹣8m，0）；
②∵OC：PA＝8：15，
∴，
解得m，
∴C（1，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣4），
把B（0，3）代入解析式得3＝a（0﹣1）（0﹣4），
解得a，
∴y（x﹣1）（x﹣4）x2x+3，
即抛物线的解析式为yx2x+3；
（3）∵A（4，0），C（4﹣8m，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣4+8m），
由图知，点C在x轴正半轴上，
①当⊙P与DE相切时，如下图所示，

∵PM经过点D，且DE⊥PM，
∴DE且⊙P于点D，
∴PD＝5m，
∴DM＝2m，
即D（4﹣4m，﹣2m），
把B（0，3），D（4﹣4m，﹣2m）代入抛物线的解析式，
得：，
解得：，
∴此时m的值为；
②当⊙P与DF相切时，如下图所示，
连接PC，

∴PC⊥DF，
∴∠PCM+∠DCM＝90°，
∵∠DCM+∠CDM＝90°，
∴∠CDM＝∠PCM，
又∵∠PMC＝∠CMD＝90°，
∴△PCM∽△CDM，
∴，
即DMm，
∴D（4﹣4m，m），
把B（0，3），D（4﹣4m，m）代入抛物线的解析式，
得：，
解得，
∴此时m的值为；
③当⊙P与EF相切时，如下图所示，

则xP＝5m，
∴4﹣4m＝5m，
∴m，
综上，符合条件的m的值为或或．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/2/24 15:47:00；用户：姜晓慧；邮箱：orFmNt5WNK_ZXdymVgUjY_OQcr9k@weixin.jyeoo.com；学号：37813618