2022年广东省深圳市坪山区中考数学二模试卷

这是一份2022年广东省深圳市坪山区中考数学二模试卷，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市坪山区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的】
1．（3分）﹣2022的绝对值是（　　）
A． B．﹣2022 C．2022 D．
2．（3分）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（　　）
A．44×108 B．4.4×108 C．4.4×109 D．4.4×1010
3．（3分）如图所示的几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
8
5
3
则视力的众数和中位数分别是（　　）
A．4.5，4.6 B．4.6，4.6 C．4.7，4.7 D．4.8，4.7
5．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．﹣1≤x B．x C．x≥﹣1 D．x
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．4a2÷2a2＝2a2 B．3a2+2a＝5a3
C．﹣（a3）2＝a5 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2
7．（3分）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（　　）

A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
8．（3分）如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．
其中AB段是助滑坡，倾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整个赛道长度（包括AB、BC、CD段）为270m，平台BC的长度是60m，整个赛道的垂直落差AN是114m．则AB段的长度大约是（　　）

A．80m B．85m C．90m D．95m
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其与x轴交于点A（m，0）、点B，下列4个结论：①b＜0；②m＞﹣2；③ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根；④3．其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
10．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，DB′与AC交于点E，若BD＝2，AD＝3，∠ADB＝45°，则△ADE的面积是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：ax2﹣4a＝　 　．
12．（3分）2022年冬奥会的主题口号是“一起向未来”．从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是 　 　．
13．（3分）如图，直角△ABC中，∠C＝90°，根据作图痕迹，若CA＝3cm，tanB，则DE＝　 　cm．

14．（3分）如图，点A是函数y（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交函数y（x＜0）的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，且S▱ABCD＝5，C、D在x轴上，则k＝　 　．

15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，连接BE，F为BE中点，连接AF，若AB＝2，BC＝5，∠BAD＝120°，则AF长为 　 　．

三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣4sin45°．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣5，2），C（﹣1，0）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）将△ABC沿y轴负方向平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）求出△A1B1C1的面积．

18．（8分）6月14日是“世界献血日”，某市组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
血型
A
B
AB
O
人数
　 　
10
5
　 　
（1）这次随机抽取的献血者人数为 　 　人，m＝　 　；
（2）本次抽取的样本中，A型部分所占的圆心角的度数是 　 　°；
（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果估计这3000人中大约有多少人是A型血？

19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE，连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AF长为5，求BD的长．

20．（8分）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示：

甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
21．（10分）如图，直线yx+m与x轴交于点A，与抛物线y＝ax2+bx+c交于抛物线的顶点C（1，4），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是点B（3，0），点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的一个动点．
（1）m＝　 　；点A的坐标是 　 　；抛物线的解析式是 　 　；
（2）如图2，若点P在第一象限，当S△ACP：S△ABP＝1：1时，求出点P的坐标；
（3）如图3，CP所在直线交x轴于点D，当△ACD是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

22．（10分）（1）【探究发现】
如图1，正方形ABCD两条对角线相交于点O，正方形A1B1C1O与正方形ABCD的边长相等，在正方形A1B1C1O绕点O旋转过程中，边OA1交边AB于点M，边OC1交边BC于点N．则①线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是 　 　．
②四边形OMBN与正方形ABCD的面积关系是S四边形OMBN＝　 　S正方形ABCD；
（2）【类比探究】
如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“含60°的菱形ABCD”，即∠B1OD1＝∠DAB＝60°，且菱形OB1C1D1与菱形ABCD的边长相等．当菱形OB1C1D1绕点O旋转时，保持边OB1交边AB于点M，边OD1交边BC于点N．
请猜想：
①线段BM、BN与AB之间的数量关系是 　 　；
②四边形OMBN与菱形ABCD的面积关系是S四边形OMBN＝　 　S菱形ABCD；
请你证明其中的一个猜想．
（3）【拓展延伸】
如图3，把（2）中的条件“∠B1OD1＝∠DAB＝60°”改为“∠DAB＝∠B1OD1＝α”，其他条件不变，则
①　 　；（用含α的式子表示）
②　 　．（用含α的式子表示）


2022年广东省深圳市坪山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的】
1．（3分）﹣2022的绝对值是（　　）
A． B．﹣2022 C．2022 D．
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：﹣2022的绝对值是2022．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
2．（3分）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（　　）
A．44×108 B．4.4×108 C．4.4×109 D．4.4×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将4400000000用科学记数法表示为：4.4×109．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图所示的几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据主视图的意义得出该几何体的主视图即可．
【解答】解：从正面看该几何体，是一列两个相邻的矩形，
故选：B．
【点评】本题考查了组合体的三视图，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
4．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
8
5
3
则视力的众数和中位数分别是（　　）
A．4.5，4.6 B．4.6，4.6 C．4.7，4.7 D．4.8，4.7
【分析】根据众数及中位数的定义求解即可．
【解答】解：在这一组数据中4.7是出现次数最多的，故众数是4.7．
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数都是4.7，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4.7．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．﹣1≤x B．x C．x≥﹣1 D．x
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2x﹣1＞0，得：x，
由x+1≥0，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为x，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．4a2÷2a2＝2a2 B．3a2+2a＝5a3
C．﹣（a3）2＝a5 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2
【分析】根据单项式除以单项式可以判断A；根据合并同类项的方法可以判断B；根据积的乘方可以判断C；根据平方差公式可以判断D．
【解答】解：4a2÷2a2＝2，故选项A错误，不符合题意；
3a2+2a不能合并，故选项B错误，不符合题意；
﹣（a3）2＝﹣a6，故选项C错误，不符合题意；
（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7．（3分）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（　　）

A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
【解答】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），
∴3AC＝9，
∴AC＝3，
∴C（4，3），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
8．（3分）如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．
其中AB段是助滑坡，倾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整个赛道长度（包括AB、BC、CD段）为270m，平台BC的长度是60m，整个赛道的垂直落差AN是114m．则AB段的长度大约是（　　）

A．80m B．85m C．90m D．95m
【分析】过点C作CH⊥DN于H，设AB＝xm，根据题意用x表示出CD，根据含30°角的直角三角形的性质求出CH，根据正弦的定义求出AM，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：过点C作CH⊥DN于H，
设AB＝xm，则CD＝270﹣60﹣x＝（210﹣x）m，
在Rt△CDH中，∠2＝30°，
则CHCD（210﹣x）m，
在Rt△ABM中，sin∠1，
则AM＝AB•sin∠1≈0.6xm，
由题意得：（210﹣x）+0.6x＝114，
解得：x＝90，即AB＝90m，
故选：C．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其与x轴交于点A（m，0）、点B，下列4个结论：①b＜0；②m＞﹣2；③ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根；④3．其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
由对称轴位置知，，
∴b＝2a＜0，
故①正确；
②由对称性质知（0，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），
∵（0，0）在AB之间，
∴（﹣2，0）也在A、B之间，
∵A（m，0），
∴m＜﹣2，
故②不正确；
③由函数图象可知，抛物线与直线y＝﹣1有两个交点，
∴ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，
故③正确；
④由函数图象知，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴，
故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
10．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，DB′与AC交于点E，若BD＝2，AD＝3，∠ADB＝45°，则△ADE的面积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】过A作AK⊥CB于K，由∠ADB＝45°，可得△ADK是等腰直角三角形，即得DK＝AKAD＝3，根据D是BC边上的中点，BD＝2，可得CK＝CD+DK＝5，由把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，可得∠BDB'＝90°＝∠CDE，DE∥AK，即知△CDE∽△CKA，有，DE，从而S△CDECD•DE，又S△ACDCD•AK＝3，故S△ADE＝S△ACD﹣S△CDE＝3．
【解答】解：过A作AK⊥CB于K，如图：

∵∠ADB＝45°，
∴△ADK是等腰直角三角形，
∵AD＝3，
∴DK＝AKAD＝3，
∵D是BC边上的中点，BD＝2，
∴CD＝BD＝2，
∴CK＝CD+DK＝5，
∵把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，
∴∠ADB'＝∠ADB＝45°，
∴∠BDB'＝90°＝∠CDE，
∴DE∥AK，
∴△CDE∽△CKA，
∴，即，
∴DE，
∴S△CDECD•DE2，
∵S△ACDCD•AK2×3＝3，
∴S△ADE＝S△ACD﹣S△CDE＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握翻折的性质，得到△CDE∽△CKA．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：ax2﹣4a＝　a（x+2）（x﹣2）　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣4a，
＝a（x2﹣4），
＝a（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）2022年冬奥会的主题口号是“一起向未来”．从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是 　　．
【分析】利用概率公式直接求解即可．
【解答】解：∵五个字中有一个“来”字，
∴从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图，直角△ABC中，∠C＝90°，根据作图痕迹，若CA＝3cm，tanB，则DE＝　　cm．

【分析】解直角三角形求出BC，AB，再利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，
∴tanB，
∴CB＝4（cm），
∴AB5（cm），
∵DE垂直平分线段AB，
∴BE＝AE（cm），
∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C＝90°，
∴△CED∽△BCA，
∴，
∴，
∴DE（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解直角三角形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
14．（3分）如图，点A是函数y（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交函数y（x＜0）的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，且S▱ABCD＝5，C、D在x轴上，则k＝　﹣3　．

【分析】设点A（x，），表示点B的坐标，然后求出AB的长，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：设点A（x，），则B（，），
∴AB＝x，
则（x）5，
k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A，B的横坐标之差表示出AB的长度是解题的关键．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，连接BE，F为BE中点，连接AF，若AB＝2，BC＝5，∠BAD＝120°，则AF长为 　　．

【分析】过点F作MN∥AB，GH∥AD，分别交平行四边形四条边为M，N，G，H，得平行四边形AGDH，AMNB，DMFH，根据F为BE中点，可得M是AD的中点，H是CE的中点，过点F作FQ⊥AM于点Q，根据∠BAD＝120°，可得∠FMQ＝60°，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点F作MN∥AB，GH∥AD，分别交平行四边形四条边为M，N，G，H，
得平行四边形AGDH，AMNB，DMFH，

∵F为BE中点，
∴M是AD的中点，H是CE的中点，
∵E为CD中点，CD＝AB＝2，
∴CECD＝1，
∴CHCE，
∴MF＝DH＝CD﹣CH＝2，
∵M是AD的中点，AD＝BC＝5，
∴AMAD，
过点F作FQ⊥AM于点Q，

∵∠BAD＝120°，
∴∠FMQ＝60°，
∴QMFM，FQQM，
∴AQ＝AM﹣QM，
∴AF．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣4sin45°．
【分析】先算零指数幂、负整数指数幂，将特殊角三角函数值代入，化最简二次根式，再合并即可．
【解答】解：原式＝21+4﹣4
＝21+4﹣2
＝3．
【点评】本题考查实数运算，解题的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂，特殊角三角函数值，化最简二次根式等相关知识．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣5，2），C（﹣1，0）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）将△ABC沿y轴负方向平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）求出△A1B1C1的面积．

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△A1B1C1的面积＝3×41×31×32×4＝5．

【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分割法求三角形的面积．
18．（8分）6月14日是“世界献血日”，某市组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
血型
A
B
AB
O
人数
　12　
10
5
　23　
（1）这次随机抽取的献血者人数为 　50　人，m＝　20　；
（2）本次抽取的样本中，A型部分所占的圆心角的度数是 　86.4　°；
（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果估计这3000人中大约有多少人是A型血？

【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；
（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的百分比，然后用3000乘以此百分比可估计这3000人中是A型血的人数．
【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%＝50（人），
所以m100＝20；
故答案为：50，20；
（2）O型献血的人数为46%×50＝23（人），
A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23＝12（人），
360°86.4°，
故答案为：86.4；
（3）3000720（人），
答：估计这3000人中大约有720人是A型血．
【点评】本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE，连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AF长为5，求BD的长．

【分析】（1）连接OC．根据全等三角形的判定与性质可得∠FBE＝∠COE，再由圆周角定理及切线的判定方法可得结论；
（2）由圆周角定理及三角函数可得tan∠DBF，设FD＝x，则BD＝2x，AD＝4x，从而可得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．

∵点E是OB的中点，
∴BE＝OE，
在△BEF和△OEC中，
，
∴△BEF≌△OEC（SAS），
∴∠FBE＝∠COE，
又∵AC＝BC，O为直径AB的中点，
∴∠COE＝90°，
∴∠FBE＝90°，
而OB是圆的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，由（1）知：BF＝OC，∠FBD+∠ABD＝90°，
∴tan∠BAF，
∵AB是直径，
∴∠BDA＝∠BDF＝90°，
∴∠BAF+∠ABD＝90°，
∴∠DBF＝∠BAF，
∴tan∠DBF，
设FD＝x，则BD＝2x，AD＝4x，
∴AF＝5x＝5，
∴x，
∴BD＝2．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
20．（8分）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示：

甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（100﹣m）千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，
答：甲的进价是16元/千克，乙的进价是20元/千克；
（2）假设购买甲a千克，则购买乙（100﹣a）千克，总利润是W元．
W＝4a+5（100﹣a）＝﹣a+500，
∵a≥3（100﹣a），
∴a≥75，
∵﹣1＜0，
∴a越小，W越大，
即a＝75时，W最大，为425元．
答：当超市进甲75千克，进乙25千克时，利润最大是425元．
【点评】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
21．（10分）如图，直线yx+m与x轴交于点A，与抛物线y＝ax2+bx+c交于抛物线的顶点C（1，4），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是点B（3，0），点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的一个动点．
（1）m＝　　；点A的坐标是 　（﹣2，0）　；抛物线的解析式是 　y＝﹣x2+2x+3　；
（2）如图2，若点P在第一象限，当S△ACP：S△ABP＝1：1时，求出点P的坐标；
（3）如图3，CP所在直线交x轴于点D，当△ACD是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）假设直线AP交y轴于点M（0，m），直线AC交y轴于点N（0，），利用三角形的面积公式可得AP是∠CAB的角平分线，过点M作ME⊥AN于点E，则ME＝MO＝m，利用三角形的面积求得m的值，再利用待定系数法求得直线AP的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求得结论；
（2）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当AC＝CD时，过点C作CE⊥AB于点E，求得直线CD解析式与抛物线解析式联立，解方程组即可；②当AC＝AD，点D在x轴的正半轴上时，利用等腰三角形的性质求得点D坐标，进而求得直线CD的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求解；当DA＝DC时，过点D作DF⊥AC于点F，利用等腰三角形的三线合一和直线垂直的性质求得直线BF的解析式，进而得到点D的坐标；利用待定系数法求得直线CP的解析式，再与抛物线解析式联立解方程组即可求解．
【解答】解：（1）将C（1，4）代入直线yx+m得：
1+m＝4．
解得：m；
由题意得：，
解得：．
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；
令y＝0，则x0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
故答案为：；（﹣2，0）；y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，假设直线AP交y轴于点M（0，m），直线AC交y轴于点N（0，），

则OM＝m，ON，OA＝2．
∴AN．
∵AC＝AB＝5，S△ACP：S△ABP＝1：1，
∴AP是∠CAB的角平分线．
过点M作ME⊥AN于点E，则ME＝MO＝m．
∵S△AON＝S△AOM+S△AMN，
∴OA•ONOA•OMAN•ME．
∴22×mm．
∴m＝1．
∴M（0，1）．
设直线AP的解析式为y＝kx+e，
∴，
解得：．
∴直线AP是yx+1．
∴．
解得：，．
∴P（，）；
（3）①当AC＝CD时，过点C作CE⊥AB于点E，如图，

则OE＝1，AE＝OE+OA＝3．
∴DE＝AE＝3．
∴OD＝OE+DE＝4．
∴D（4，0）．
则直线CD的解析式为yx．
∴．
解得：，．
∴P（，）；
②当AC＝AD，点D在x轴的正半轴上时，
∵AC5，
∴AD＝AC＝5．
∴OD＝AD﹣OA＝3．
∴D（3，0）．
∴点D与点B重合．
∴点P与点B重合．
∴P（3，0）；
当AC＝AD，点D在x轴的负半轴上时，
∴OD＝AD+OA＝7．
∴D（﹣7，0）．
则直线CD的解析式为yx．
∴．
解得：，．
∴P（，）；
③当DA＝DC时，过点D作DF⊥AC于点F，如图，

则DF是AC的垂直平分线，
∴F（，2）．
设直线FD的解析式为yx+n，
∴2n．
∴n，
∴直线FD的解析式为yx．
令y＝0，则x0，
解得：x．
∴D（，0）．
则直线CP的解析式为yx．
∴．
解得：，．
∴P（，）．
综上，当△ACD是等腰三角形时，点P的坐标为（，）或（3，0）或（，）或（，）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，分类讨论的思想方法，利用函数解析式联立组成方程组，解方程组求得交点坐标是解决此类问题常用的方法．
22．（10分）（1）【探究发现】
如图1，正方形ABCD两条对角线相交于点O，正方形A1B1C1O与正方形ABCD的边长相等，在正方形A1B1C1O绕点O旋转过程中，边OA1交边AB于点M，边OC1交边BC于点N．则①线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是 　AB＝BN+BM　．
②四边形OMBN与正方形ABCD的面积关系是S四边形OMBN＝　　S正方形ABCD；
（2）【类比探究】
如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“含60°的菱形ABCD”，即∠B1OD1＝∠DAB＝60°，且菱形OB1C1D1与菱形ABCD的边长相等．当菱形OB1C1D1绕点O旋转时，保持边OB1交边AB于点M，边OD1交边BC于点N．
请猜想：
①线段BM、BN与AB之间的数量关系是 　BN+BMAB　；
②四边形OMBN与菱形ABCD的面积关系是S四边形OMBN＝　　S菱形ABCD；
请你证明其中的一个猜想．
（3）【拓展延伸】
如图3，把（2）中的条件“∠B1OD1＝∠DAB＝60°”改为“∠DAB＝∠B1OD1＝α”，其他条件不变，则
①　sin　；（用含α的式子表示）
②　sin2　．（用含α的式子表示）

【分析】（1）证明△AOM≌△BON（ASA），推出AM＝BN，可得结论；
（2）猜想：BM+BNAB，S四边形OMBNS菱形ABCD．如图2中，连接MN．将△OBN绕点O顺时针旋转60°得到△OHM，证明AH＝HB，可得结论；
（3）如图3中，在AB上取一点的H，连接OH，使得OH＝OB，证明△OBN≌△OHM（AAS），推出HM＝BN，可得BN+BM＝BH，再利用△BAD∽△BOH，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠OAB＝∠OBC＝45°，OA＝OB，
∵∠A1OC1＝∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴AM＝BN，
∵AB＝AM+BM，
∴AB＝BN+BM，
∵S△AOM＝S△BON，
∴S四边形OMBN＝S△AOBS正方形ABCD，
故答案为：AB＝BN+BM，；

（2）猜想：BM+BNAB，S四边形OMBNS菱形ABCD．
理由：如图2中，连接MN．

∵四边形ABCD是菱形，∠B1OD1＝∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵∠MON+∠MBN＝180°，
∴O，M，B，N四点共圆，
∴∠OMN＝∠OBN＝60°，
∵∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形，
∴OM＝ON，
将△OBN绕点O顺时针旋转60°得到△OHM，
∵OM＝ON，∠OMB+∠ONB＝180°，
∴边BN刚好落在AB上，即为MH，
∴BM+BN＝BH．
∵OB＝OH，∠BOH＝60°，
∴△OBH是等边三角形，
∴BH＝OBAB，
∴BM+BNAB，
∵S四边形OMBN＝S△OBHS△OBAS菱形ABCD．
故答案为：BM+BNAB，；

（3）如图3中，在AB上取一点的H，连接OH，使得OH＝OB，

∵OH＝OB，
∴∠OBH＝∠OHB，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴∠DAB＝∠BOH＝α，
∴∠BOH＝∠MON＝α，
∴∠MOH＝∠NOB，
∵∠MON+∠MBN＝180°，
∴∠OMB+∠ONB＝180°，
∵∠OMB+∠OMH＝180°，
∴∠ONB＝∠OMH，
∴△OBN≌△OHM（AAS），
∴HM＝BN，
∴BN+BM＝BH，
∵△BAD∽△BOH，
∴sin，
∴sin，
∴sin2．
故答案为：sin，sin2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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