人教版高中数学选择性必修第一册模块综合测评含答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册全册综合随堂练习题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021山东青岛模拟)“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.如图,四面体S-ABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,则SE=(　　)

A.13SA+12SB+13SC
B.23SA+16SB+16SC
C.12SA+14SB+14SC
D.12SA+13SB+16SC
3.圆P:(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q的方程是(　　)
A.(x+2)2+(y-1)2=1
B.(x+2)2+(y-5)2=1
C.(x-2)2+(y+5)2=1
D.(x-4)2+(y+3)2=1
4.如图,在一个60°的二面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB,若AB=AC=BD=4,则线段CD的长为(　　)

A.43 B.16
C.8 D.42
5.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为(　　)
A.2,32 B.2,22
C.22,32 D.1,32
6. (2021辽宁沈阳期末)正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是(　　)


A.2.5 cm B.3.5 cm C.4.5 cm D.5.5 cm
7. 如图,四棱柱S-ABCD中,底面是正方形,各侧棱都相等,记直线SA与直线AD所成角为α,直线SA与平面ABCD所成角为β,二面角S-AB-C的平面角为γ,则(　　)


A.α>β>γ B.γ>α>β
C.α>γ>β D.γ>β>α
8.已知双曲线x24-y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,|AB|=35,M(4,1),若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|≤t,则t的最小值为(　　)
A.52 B.2 C.52+4 D.52-4
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.在下列四个命题中,错误的有(　　)
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π]
C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
10.若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为(　　)
A.17 B.-17 C.-1 D.1
11.(2021河北石家庄检测)已知P是椭圆C:x26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则(　　)
A.椭圆C的焦距为5
B.椭圆C的离心率为306
C.圆D在椭圆C的内部
D.|PQ|的最小值为255
12.定义空间两个向量的一种运算a⊗b=|a|·|b|·sin,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有(　　)
A.a⊗b=b⊗a
B.λ(a⊗b)=(λa)⊗b
C.(a+b)⊗c=(a⊗c)+(b⊗c)
D.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊗b=|x1y2-x2y1|
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.过点(1,2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=　　　　　. 
14.下列结论中,正确的个数是　　　　　. 
①若a,b,c共面,则存在实数x,y,使a=xb+yc
②若a,b,c不共面,则不存在实数x,y,使a=xb+yc
③若a,b,c共面,b,c不共线,则存在实数x,y,使a=xb+yc
④若a=xb+yc,则a,b,c共面
15. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为　　　　　;二面角A-BC1-C的余弦值是　　　　　. 


16.(2021山东聊城期末)已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,|AB|=8,则p=　　　　　,M为抛物线弧AOB上的动点,△AMB面积的最大值是　　　　　. 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.
(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;
(2)l过点P(2,1)且在x轴、y轴上截距的绝对值相等.







18.(12分)已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),
(1)求平面ABC的一个法向量;
(2)证明:向量a=(3,-4,1)与平面ABC平行.










19.(12分)(2021河南洛阳检测)过点P(0,2)的直线与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点.
(1)若AP=2PB,且点A在第一象限,求直线AB的方程;
(2)若A,B在直线y=-2上的射影分别为A1,B1,线段A1B1的中点为Q,求证:BQ∥PA1.





















20.(12分) 如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.


(1)求证:AM∥平面BDE;
(2)求二面角A-DF-B的大小;
(3)试在线段AC上找一点P,使得PF与CD所成的角是60°.








21.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,点A(-2p,0).若当MF⊥x轴时,△MAF的面积为5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若∠MFA+2∠MAF=π,求点M的坐标.










22.(12分)(2021黑龙江双鸭山期中)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C:x24+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆C上且异于点A,B,直线AP,PB与直线l:y=-2分别交于点M,N.

(1)设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,判断k1·k2是否为定值?请证明你的结论.
(2)求线段MN长的最小值.
(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过y轴上的定点?请证明你的结论.







模块综合测评
1.B　∵两直线平行,∴斜率相等,即可得ab=4,
∵不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,
∴两直线平行时需ab=4,且a≠1,b≠4.
故选B.
2.B　四面体S-ABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,
∴SE=SA+13AD=SA+13×12(AC+AB)=SA+16AC+16AB=SA+16(SC-SA)+16(SB-SA)=23SA+16SB+16SC.
3.B　圆P:(x+3)2+(y-4)2=1,圆心为(-3,4),半径为1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,
设对称圆的圆心为(a,b),则a-32+b+42-2=0,b-4a+3=1,
解得a=-2,b=5,
所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.
4.D　CD=CA+AB+BD,∴CD2=CA2+AB2+BD2+2CA·AB+2CA·BD+2AB·BD.
∵CA⊥AB,BD⊥AB,
∴CA·AB=0,BD·AB=0,
∵CA·BD=|CA||BD|cos 120°,AB=AC=BD=4,
∴CD2=42+42+42-2×16×12=32,∴|CD|=42.
5.A　直线mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,
故直线过定点M(2,2),
坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,
故∠OPM=90°,所以P在以OM为直径的圆上,
圆的圆心为C(1,1),半径为2,根据点与圆的关系,|CQ|=(1+1)2+(1+1)2=22,
故2=22-2≤|PQ|≤2+22=32.
6.A　设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),
得100=2p×10,得p=5,
则p2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),
则光源到反光镜顶点的距离是2.5 cm.
7.C　连接AC,BD,交于点O,连接OS,则OA,OB,OS两两垂直,
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OS为z轴,建立空间直角坐标系,

设AB=2,则S(0,0,2),A(2,0,0),D(0,-2,0),B(0,2,0),SA=(2,0,-2),AD=(-2,-2,0),SB=(0,2,-2),
cos α=|SA·AD||SA||AD|=24×4=12,
平面ABCD的法向量n=(0,0,1),
cos β=|n·SA||n||SA|=24=22,
设平面SAB的法向量m=(x,y,z),
则m·SA=2x-2z=0,m·SB=2y-2z=0,
取x=1,得m=(1,1,1),
cos γ=|m·n||m||n|=13=33,
∵cos α ∴α>γ>β.
8.D　双曲线的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),
渐近线方程为y=±bax,
令x=c,解得y=±bca,
可得|AB|=2bca,|AB|=35,
即2bca=35,由a=2,c2=a2+b2,
解得b=5,c=3,
即有双曲线的方程为x24-y25=1.
由题意可知,若P在左支上,由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|,
|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4=(4+3)2+1+4=52+4,
当且仅当M,P,F1共线时,取得最小值4+52;
若P在右支上,由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|-2a,
|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|-2a≥|MF1|-4=52-4,
当且仅当M,P,F1共线时,取得最小值52-4.
综上可得,所求最小值为52-4.
9.ABCD　对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,∴A错误;
对于B,直线倾斜角的取值范围是[0,π),∴B错误;
对于C,一条直线的斜率为tan α,此直线的倾斜角不一定为α,如y=x的斜率为tan5π4,它的倾斜角为π4,∴C错误;
对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在,∴D错误.
10.AC　∵a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,
∴cos 120°=a·b|a|·|b|=-2-λ-25+λ2·6,
解得λ=-1或λ=17.
11.BC　依题意可得c=6-1=5,则C的焦距为25,e=56=306.
设P(x,y)(-6≤x≤6),
则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=562+45≥45>15,
所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为45-15=55.
12.AD　对于A,a⊗b=|a|·|b|sin,b⊗a=|b|·|a|sin,
故a⊗b=b⊗a恒成立;
对于B,λ(a⊗b)=λ(|a|·|b|sin),(λa)⊗b=|λ||a|·|b|sin<λa,b>,
故λ(a⊗b)=(λa)⊗b不会恒成立;
对于C,取a,b,c为两两垂直的单位向量,易得(a+b)⊗c=2,(a⊗c)+(b⊗c)=2,则此时(a+b)⊗c=(a⊗c)+(b⊗c)不成立;
对于D,cos=x1x2+y1y2|a||b|,sin=1-x1x2+y1y2|a||b|2,
即有a⊗b=|a|·|b|·1-x1x2+y1y2|a||b|2=|a|·|b|2-x1x2+y1y2|a|2=x12+y12x22+y22-x1x2+y1y2x12+y122=(x12+y12)(x22+y22)-(x1x2+y1y2)2
=x12y22+x22y12-2x1x2y1y2=|x1y2-x2y1|.
则a⊗b=|x1y2-x2y1|恒成立.
13.22　过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,2)的连线垂直的直线,连线的斜率是2-01-2=-2,∴直线l的斜率k=22.
14.3　对于①,向量b,c共线,且a与b,c不共线时,不存在实数x,y,使a=xb+yc,∴①错误;
对于②,根据空间向量的共面定理,结合逆否命题与原命题的真假性,得:
a,b,c不共面时,不存在实数x,y,使a=xb+yc,
∴②正确;
对于③,若a=0时,与b,c共面,且b,c不共线,则存在实数x=y=0,使a=0·b+0·c=0,∴③正确;
对于④,根据空间向量的共面定理得,当a=xb+yc时,a,b,c共面,∴④正确.
综上,正确的命题是②③④.
15. π3　33　建立如图空间直角坐标系,A(0,1,0),B(1,0,0),C1(0,0,1),A1(0,1,1),B1(1,0,1),
BC1=(-1,0,1),A1B1=(1,-1,0),AB=(1,-1,0).


由cos=-12×2=-12,
故异面直线BC1与A1B1所成角为π3.
设平面ABC1的一个法向量为m=(a,b,c),
由m·BC1=-a+c=0,m·AB=a-b=0,
由a=1,得m=(1,1,1),
平面BC1C的一个法向量n=(0,1,0),
cos=13=33.
16.2　42　∵抛物线的方程为x2=2py(p>0),过抛物线的焦点F,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,
故直线AB的方程为y-p2=x-0,即y=x+p2,且直线AB的倾斜角为45°.
代入抛物线的方程为x2=2py,可得x2-2px-p2=0.
设A,B两点的横坐标分别为m,n,m ∵|AB|=|AF|+|BF|=yA+p2+yB+p2=m+p2+p2+n+p2+p2=8=m+n+2p=4p=8,∴p=2,
故抛物线的方程为x2=4y,AB的直线方程为y=x+1.
设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,
代入抛物线方程,得x2-4x-4m=0.
由Δ=42+16m=0,得m=-1.
与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x-1,两直线间的距离为d=|1+1|2=2,
∴△AMB面积的最大值为12·|AB|·d=12×8×2=42.
17.解(1)当l斜率不存在时,l的方程为x=1,满足条件;
当l斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,
由d=|2k-1+3-k|k2+1=1,
得k=-34,即l:3x+4y-15=0.
综上l:x=1,或3x+4y-15=0.
(2)当直线过原点时,直线的斜率为1-02-0=12,直线的方程为x-2y=0.
当直线截距相等时,设为xa+ya=1,代入(2,1),
则a=3,即x+y-3=0.
当直线截距互为相反数时,
设为xa+y-a=1,代入(2,1),
则a=1,即x-y-1=0.
综上,直线方程为x-2y=0,或x+y-3=0,或x+y-1=0.
18.(1)解∵A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),
∴AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2).
设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,
则有n·AB=(x,y,z)·(-2,-1,3)=-2x-y+3z=0,
n·AC=(x,y,z)·(1,-3,2)=x-3y+2z=0.
由-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,
解得x=y=z,
取x=1,则平面ABC的一个法向量为(1,1,1).
(2)证明若存在实数m,n,使a=mAB+nAC,
即(3,-4,1)=m(-2,-1,3)+n(1,-3,2),
则-2m+n=3,-m-3n=-4,3m+2n=1,
解得m=-57,n=117,
所以a=-57AB+117AC,即向量a∥平面ABC.
19.(1)解设直线AB的方程为y=kx+2(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,
联立方程得x2=4y,y=kx+2,
消去y,得x2-4kx-8=0,Δ=16k2+32>0.
∴x1+x2=4k,x1x2=-8,①
又AP=(-x1,2-y1),PB=(x2,y2-2),
由AP=2PB,得x1=-2x2,
代入①解得k=12,
∴直线AB的方程为y=12x+2,即x-2y+4=0.
(2)证明设直线y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
∴A1(x1,-2),B1(x2,-2),
∴Qx1+x22,-2.
∴BQ=x1+x22-x2,-2-y2,PA1=(x1,-4).
∵x1+x22-x2·(-4)-x1·(-2-y2)=4·x2-x12+x1·(y2+2)=2x2-2x1+x1y2+2x1=2x2+x1y2=2x2+x1·x224=2x2+x24·x1·x2=2x2+x24·(-8)=0.
∴BQ∥PA1.
20.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系.

设AC∩BD=N,连接NE,
则点N,E的坐标分别是22,22,0,(0,0,1),
∴NE=-22,-22,1,
又点A,M的坐标分别是(2,2,0),22,22,1,
∴AM=-22,-22,1.
∴NE=AM且NE与AM不共线,∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,∴AM∥平面BDE.
(2)解∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,
∴AB⊥平面ADF.B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,2,1).
∴AB=(-2,0,0)为平面DAF的法向量.
∵NE·DB=-22,-22,1·(-2,2,0)=0,
∴NE·NF=-22,-22,1·22,22,1=0,得NE⊥DB,NE⊥NF,∴NE为平面BDF的法向量.
∴cos=12.
∴AB,NE的夹角是60°,
即所求二面角A-DF-B的大小是60°.
(3)解设P(x,x,0),PF=(2-x,2-x,1),CD=(2,0,0),则cosπ3=2·(2-x)2×2(2-x)2+1,解得x=22或x=322(舍去).
所以当点P为线段AC的中点时,直线PF与CD所成的角为60°.
21.解(1)当MF⊥x轴时,点Mp2,±p,Fp2,0,
则|AF|=p2+2p=5p2,|MF|=p,
∴S△MAF=12|AF|·|MF|=12×5p2×p=5,
解得p=2,
∴抛物线方程为y2=4x.
(2)设M(x0,y0),由(1)可知A(-4,0),F(1,0),
∴|AF|=5.
∵∠MFA+2∠MAF=π,在△FAM中,有∠MFA+∠MAF+∠AMF=π,
∴∠MAF=∠AMF,∴|FA|=|FM|.
又|MF|=x0+p2=x0+1,∴x0+1=5,
∴x0=4,
∴y0=±4.
故点M的坐标为(4,4)或(4,-4).
22.解(1)是定值.证明:由题设x24+y2=1可知,点A(0,1),B(0,-1),
令P(x0,y0),则由题设可知x0≠0,
所以直线AP的斜率k1=y0-1x0,PB的斜率为k2=y0+1x0,
又点P在椭圆上,
所以x024+y02=1(x0≠0),
从而有k1·k2=y0-1x0·y0+1x0=y02-1x02=-14.
(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),直线PB的方程为y-(-1)=k2(x-0),
由y-1=k1x,y=-2,
解得x=-3k1,y=-2,
由y+1=k2x,y=-2,解得x=-1k2,y=-2,
所以直线AP与直线l的交点M-3k1,-2,直线PB与直线l的交点N-1k2,-2.
于是MN=3k1-1k2,
又k1k2=-14,所以MN=3k1+4k1=3|k1|+4|k1|≥23|k1|·4|k1|=43,等号成立的条件是3|k1|=4|k1|,解得k1=±32,
故线段MN长的最小值是43.
(3)设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点,则QM·QN=0,故有x+3k1x+1k2+(y+2)(y+2)=0.
又k1·k2=-14,
所以以MN为直径的圆的方程为x2+(y+2)2-12+3k1-4k1x=0.
令x=0,解得x=0,y=-2+23 或x=0,y=-2-23.
所以以MN为直径的圆恒过定点(0,-2+23),(0,-2-23).