5.数学广角—鸽巢问题（培优版）-2022-2023学年六年级下册数学期中专项复习（人教版）

5.数学广角—鸽巢问题（普通校）

2022-2023学年六年级下册数学期中专项复习

【知识梳理】

1、鸽巢原理。

如果把m个物体任意放进n个鸽巢里（m>n，且m和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。

如果把多余kn个的物体任意放进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1）个物体。

2、运用鸽巢原理解决简单的实际问题。

解题思路：（1）分析题意；（2）把实际问题转化成“鸽巢问题”，寻清“鸽巢”和分放的物体；（3）根据“鸽巢原理”推理并解决问题。

【专项练习】

一、选择题（每题2分，共10分）

1．会议室里坐着1至6年级的班干部各5人，一位不熟悉这些学生的老师要想喊出的人一定有2名同年级的学生，最少要喊出（    ）人。

A．5 B．6 C．7 D．以上都不对

2．有白色手套和黑色手套各5只（不分左右手），如果蒙上眼睛，至少拿出（    ）只，才能使拿出的手套中一定有一双是同色的。

A．4 B．5 C．3 D．以上都不对

3．盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，若摸出的球一定有2个同色，至少摸（    ）次。

A．2 B．3 C．4

4．书架分上、中、下三层，婷婷把新买的10本书放入书架，放书最多的一层至少要放入（    ）本书。

A．2 B．3 C．4 D．5

5．王阿姨给孩子买衣服，有甲、乙和丙三种品牌，但结果总是至少有两个孩子的衣服品牌相同，她至少有（    ）个孩子。

A．2 B．3 C．4

二、填空题(每空1分，共20分)

6．把黄色、白色乒乓球各8个放在一个盒子里，至少摸出(        )个乒乓球，可以保证有2个乒乓球同色。

7．有4双不同花色的手套，至少要拿出(      )只，才能保证有两只手套是一双。

8．21个苹果放进5个果盘里，至少有(     )个苹果要放进同一个果盘里．

9．幼儿园有3种玩具各若干件，每个小朋友任意拿2件不同种类的玩具，至少有(      )个小朋友来拿，才能保证有2个小朋友拿的玩具相同．

10．把红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混合后放到口袋里，为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，则一次至少取(        )颗。

11．一个袋子里装有4个红球，5个黄球和6个绿球。若蒙眼去摸，为保证摸出的球中三种颜色都有，则至少要摸出(        )个球。

12．一副扑克牌54张，至少要抽取(        )张，才能保证其中至少有两张牌点数相同。

13．抽屉里放着同样长短的红、黄铅笔各4支，至少要摸出(      )支铅笔，才能保证至少有1支红铅笔。

14．将18枚棋子放入如图的4个小方格中，那么一定有一个小方格内至少放(        )枚棋子。

15．把11把拖把发给5个小组，总有一个小组至少分(        )把拖把。

三、判断题（每题1分，共5分）

16．(1分)把10个苹果分给7个小朋友，其中有一个小朋友至少会分到3个。(        )

17．(1分)任意25名小学生中，至少有5人所在年级是相同的。(        )

18．(1分)把32个篮球分给6个小组，总有1个小组至少分到6个篮球。(        )

19．(1分)把10个衣架挂在3个挂钩上，不管怎么挂，总有一个挂钩上至少挂了4个衣架。(        )

20．(1分)植树节，有6名同学植了25棵树，有一名同学至少植树5棵。(        )

四、连线题(共6分)

21．(6分)连一连．

五、作图题(共6分)

22．(6分)在圆圈中画●，把这个●放在两个信封里，不管怎么放，总有一个信封里至少有4个●。

六、解答题(共53分)

23．(5分)六（1）班组织课外读书活动，共有50人报名参加，那么至少要准备多少本图书，才能保证有1人至少能拿到3本书？

24．(6分)把若干个苹果放进8个抽屉里，不管怎么放，要保证总有一个抽屉里至少放进3个苹果，那么，苹果的总数至少应该是多少个？

25．(6分)一个盒子里有大小、质地都相同的4个红球，5个白球，要想摸出的球一定有2个颜色不同，至少要摸出几个球？

26．(6分)幼儿园某班有32名小朋友，现有各种玩具108个，把这些玩具全部分给小朋友，是否总会有一名小朋友至少得到4个玩具？

27．(6分)在如下图的盒子中，小华蒙着眼睛往外摸球，至少要摸出多少个，才能保证

摸出的球至少有3种不同的颜色？

28．(6分)食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只能买一种菜和一种主食，在16名同学中，一定至少有两名同学所买的菜和主食都是相同的。为什么？

29．(6分)在一次世界极限运动会中，意大利、法国、美国、加拿大分别有7名运动员参赛。

（1）至少几人报名参加滑板街道赛，可以保证有两人来自同一个国家？

（2）至少有几人参加极限单车比赛，可以保证有来自两个国家的运动员？

30．(6分)王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本，那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？

31．(6分)给一个七边形的7条边分别涂上红、黑两种颜色，不论怎么涂，至少有4条边涂的颜色相同．为什么？

参考答案

1．C

【分析】由于会议室里共有1至6年级共六个年级的人数，如果一次喊6人，最差情况为1至6年级各一个人，所以只要再多喊一个人，就能保证喊出的人一定有2名同年级的学生。据此解答。

【详解】6＋1＝7（人）

即最少要喊出7人。

故答案为：C

【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。

2．C

【分析】因只有两种颜色，所以考虑到最差情况，就是拿出的2只是不同颜色的，这时，只要再拿出一只，不论是什么颜色的，就一定有一双是同色的。据此解答。

【详解】2＋1＝3（只）

即至少拿出3只，才能使拿出的手套中一定有一双是同色的。

故答案为：C

【点睛】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键。

3．B

【分析】盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，即共有两种颜色的球，根据最差原理可知，最差的情况时，当摸出2个球时，一个红球一个蓝球，需要摸2次，此时只要再任意摸出一个球，就能保证摸出的球一定有两个同色的，据此解答。

【详解】根据分析得，2＋1＝3（次）

即若摸出的球一定有2个同色，至少摸3次。

故答案为：B

【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。

4．C

【分析】把上、中、下三层看作3个抽屉，把新买的10本书看作10个元素，那么每个抽屉需要放（本）……1（本），所以每个抽屉需要放3本，剩下的1本不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3＋1＝4（本），所以，放书最多的一层至少要放入4本书；据此解答。

【详解】（本）……1（本）

（本）

故答案为：C。

【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，根据抽屉原理进行解答即可。

5．C

【分析】把甲、乙和丙三种品牌看作“抽屉”，把孩子的数量看作物体的个数，根据抽屉原理得出：孩子的个数至少比品牌的种类多1时，才能保证至少有两个孩子的品牌一样。

【详解】（个）

故答案为：C

【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，根据抽屉原理进行解答即可。

6．3

7．5

【详解】有4双不同花色的手套，要保证有两只手套是一双，至少拿出4＋1＝5（只）。

8．5

9．4

10．4

【详解】3＋1＝4（颗）

所以，为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，则一次至少取4颗。

11．12

12．16

【分析】建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看作15个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即两张牌点数相同，据此解答即可。

【详解】15＋1＝16（张）

【点睛】熟练掌握抽屉原理的解题方法是解答本题的关键

13．5

【分析】考虑最倒霉的情况，前4支摸出的都是黄铅笔，第五支一定是红铅笔。

【详解】4＋1＝5（支）

至少要摸出5支铅笔，才能保证至少有1支红铅笔。

【点睛】本题考查了抽屉问题，运气好摸一次即可，要想保证有1支红笔得考虑最倒霉的情况。

14．5

【分析】把4个小方格看作四个抽屉，18枚棋子看作18个元素；最不利的放法是：每个小方格（抽屉）放4个，还余2个，剩下的2个无论怎么放，总有一个小方格里面至少放5枚棋子，所以至少有5枚棋子放入同一个方格内。

【详解】18÷4＝4（枚）……2（枚）

4＋1＝5（枚）

【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用。

15．3

【分析】把5个小组可以看作是5个抽屉，11把拖把看作11个元素，考虑最差情况：把11个元素平均分配在5个抽屉中：11÷5＝2（把）⋯⋯1（把），那么每个抽屉都有2把，那么剩下的1把，无论放到哪个抽屉都会出现3把在同一个抽屉里。

【详解】11÷5＝2（把）⋯⋯1（把）

2＋1＝3（把）

【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。

16．×

【分析】把7个小朋友看作7个抽屉，把10个苹果看作10个元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个，共需要7个，余下的这3个苹果无论放在哪个抽屉里，总有一个抽屉里的有1＋1＝2（个），据此解答。

【详解】10÷7＝1（个）……3（个）

1＋1＝2（个）

故答案为：×

【点睛】此题的解题关键是掌握鸽巢问题的解题原理，构造物体和抽屉。

17．√

【分析】把6个年级看作是6个抽屉，25名小学生看做25个元素，考虑最差情况：把25名小学生平均分配在6个抽屉中：25÷6＝4（人）⋯⋯1（人），那么每个抽屉都有4人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现5人在同一个抽屉里。

【详解】25÷6＝4（人）……1（人）

4＋1＝5（人）

即至少有5人所在年级是相同的，所以原题说法正确。

故答案为：√

【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。

18．√

【分析】把32个篮球分给6个小组，32÷6＝5（个）⋯⋯2（个），即平均每个小组分到5个篮球，还剩下2个篮球，根据抽屉原理可知，总有一个小组至少分到5＋1＝6个篮球，据此解答。

【详解】32÷6＝5（个）⋯⋯2（个）

5＋1＝6（个）

即总有1个小组至少分到6个篮球。

故答案为：√

【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。

19．√

【分析】把10个衣架挂在3个挂钩上，10÷3＝3（个）⋯⋯1（个），即平均每个挂钩上挂3个衣架，还剩下1个衣架，根据抽屉原理可知，总有一个挂钩上至少挂3＋1＝4个。据此解答。

【详解】10÷3＝3（个）⋯⋯1（个）

3＋1＝4（个）

故答案为：√

【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。

20．√

【分析】共有6名同学，那么把这6名同学看成6个抽屉，要求有一名同学至少植树多少棵，要考虑最差情况25个同学尽量平均分配到6个抽屉中，再利用抽屉原理解答即可。

【详解】25÷6＝4（棵）……1（棵）；

4＋1＝5（棵），原题说法正确；

故答案为：√

【点睛】本题考查了抽屉原理的运用，一定要考虑最差情况。

21．

【详解】略

22．见详解

【分析】至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）；本题中，抽屉数是2，不管怎么放，总有一个信封至少有4个●，则被分配的物体数是2×（4－1）＋1，据此求出●的数量，画图即可。

【详解】2×（4－1）＋1

＝2×3＋1

＝6＋1

＝7（个）

【点睛】本题考查抽屉原理的应用，要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。

23．101本

【详解】50×2+1=101（本）

答：至少要准备101本图书．

24．17个

【详解】8×(3－1)＋1＝17(个)

答：苹果的总数至少应该是17个。

25．6个

【详解】略

26．总会有一名小朋友至少得到4个玩具

【分析】把32名小朋友看做32个抽屉，108个玩具看做108个元素，利用抽屉原理最差情况：要使得到玩具数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答。

【详解】108÷32＝3（个）…12（个）

3+1＝4（个）

即总会有一名小朋友至少得到4个玩具。

27．10个

【分析】盒子中有：黄色球4个，蓝色球4个，绿色球5个，红色球3个，共16个球；要保证摸出的球至少有3种不同的颜色，根据抽屉原理最不利原则，要把2种颜色数量多的球摸出后，再多摸出1个即可；据此解答。

【详解】5＋4＋1

＝9＋1

＝10（个）

答：至少要摸出10个，才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色。

【点睛】此题考查了抽屉原理的应用，关键能够理解最不利原则。

28．原题说法正确。因为菜和主食有5×3＝15（种）搭配方式；

6÷15＝1（名）……1（名）

1＋1＝2（名）

所以至少有两名同学所买的菜和主食都是相同的。

【分析】首先根据乘法原理，可得菜和主食一共有5×3＝15（种）不同的搭配方式，而学生的人数是16名，学生的人数比菜和主食的搭配方式的种数多1，所以根据“抽屉原理”，可得一定至少有两名同学所买的菜和主食都是相同的，据此判断即可。

【详解】原题说法正确。因为菜和主食有5×3＝15（种）搭配方式；

6÷15＝1（名）……1（名）

1＋1＝2（名）

所以至少有两名同学所买的菜和主食都是相同的。

【点睛】此题主要考查了“抽屉原理”的应用，解答此题的关键是判断出一共有多少种不同的搭配方式。

29．（1）至少5人。（2）至少有8人。

【分析】可采用假设的方法解决。

【详解】（1）一共有4个不同国家，按照最不利原则，先报名的4位运动员分别来自4个不同的国家，这时再有1位运动员报名，无论来自哪个国家，这个项目都会有2名运动员来自同一个国家。

答：至少5人报名参加滑板街道赛，可以保证有两人来自同一个国家。

（2）每个国家有7名运动员参赛，按照最不利原则，先报名的7位运动员都来自同一个国家，当再有1位运动员报名时，无论来自其他三国中的哪个国家，这个项目都会有2个不同国家的运动员参赛。

答：至少有8人参加极限单车比赛，可以保证有来自两个国家的运动员。

【点睛】比种类数多1即可保证有两者属于同一类别，比单类人数多1即可保证有分属不同类别的对象。

30．10个

【分析】每个学生从中任意借1本，有3种借法，借两本，那么一共有6种借法：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、文艺和科普各一本；所以一共有3+6=9种不同的借法，把9种借法看作9个抽屉，把学生数看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个元素，共需要9个，再取出1个不论是哪一种借法，总有一个抽屉里和他相同，所以至少要有：9+1=10（个），据此解答。

【详解】每个学生从中任意借两本，那么一共有9种借法：只借1本，有三种情况；借两本：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、文艺和科普各一本，9+1=10（个）；

答：那么至少要10个学生才能保证一定有两人接到的图书是一样的。

31．7÷2＝3（种）……1（条）   3＋1＝4（种）