数学（全国乙卷理）-2023年高考第二次模拟考试卷

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学·参考答案

参考答案：

13．  （5分）

14．  （5分）

15．  （5分）

16．  （5分）

17．（1），

由正弦定理，得，则，（2分）

即，（3分）

因为，所以，

设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理知，

所以△ABC的外接圆半径为．（5分）

（2）由BD平分∠ABC，得，

则，即．（7分）

在△ABC中，由余弦定理可得，

又，则，（9分）

联立，可得，

解得（舍去）．

故．（12分）

18．（1）证明：翻折前，在中，，翻折后，有，，

又，、平面，所以平面，

因为平面，所以. （4分）

（2）解：因为二面角为，，，

所以，二面角的平面角为，（6分）

以点为坐标原点，、所在直线为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则、、、、.

，，，. （8分）

设，，其中，

设平面的法向量为，

由得，

取，可得，（10分）

，解得，合乎题意，

故当时，直线与平面所成角的正弦值为. （12分）

19．（1）;

; （2分）

.

可以用线性回归模型拟合变量间的关系. （4分）

（2）设，则.

；

;

，（6分）

,当时，.

所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为毫米（8分）

（3），

下沉速率：，（10分）

所以设第n天下沉速率超过9毫米/天，

则：，，，，，

所以第8天该隧道拱顶的下沉速率超过9毫米/天，

最迟在第7天需调整支护参数，才能避免塌方．（12分）

20．（1）∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．（1分）

∴双曲线的方程为．

依题意直线的方程为．

由 消去y整理得：，

依题意：，，点A，B的横坐标分别为，

则．（3分）

∵，∴．

∴，∴．

即，解得或（舍去），且时，，

∴双曲线的方程为．（5分）

（2）依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．

由消去整理得：，（7分）

∴，．

设，，则，．

直线的方程为，令得：，∴．

同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，（9分）

设该定点为，则，，

故

．

解得或．

故以线段为直径的圆过定点和．（12分）

21（1）由题意得．

因为，所以．

当时，，，所以在上单调递减．（2分）

当时，令，则．

①若，则，当时，，所以在上单调递增；

②若，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．（4分）

综上，

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．（5分）

（2）证明：方程，即，

因为，则，（7分）

令，，所以函数在上单调递增，

因为方程有两个实根，，令，，则关于t的方程也有两个实根，，且，

要证，即证，即证，即证，

由已知，

所以，

整理可得，（9分）

不妨设，

即证，

即证，

令，即证，其中，

构造函数，，

所以函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立．（12分）

22．（1）由曲线（为参数），

消去参数，得，（2分）

所以曲线的直角坐标方程为.

又由，得，

所以曲线的极坐标方程为.

由曲线，得，即，

所以曲线的普通方程为. （5分）

（2）由题意，设，则，

又曲线与直线有且仅有一个公共点，故为点到直线的距离，

由曲线的极坐标方程，得，（7分）

所以，，

所以，即，所以；（9分）

又，

所以，

即所求实数的值为. （10分）

23．（1）解：由可得，（1分）

当时，则有，解得，此时；（3分）

当时，则有，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为. （5分）

（2）解：由绝对值三角不等式可得，（6分）

当且仅当时，即当时，等号成立，故，

所以，（8分）

又因为、、均为正数，

所以，

，

当且仅当时，等号成立，故. （10分）