高中数学新教材选择性必修第一册课件+讲义 第2章 §2.4 2.4.1　圆的标准方程

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高中数学新教材同步课件选择性必修第一册 高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。2.4.1　圆的标准方程第二章　 §2.4　圆的方程1.掌握圆的定义及标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.学习目标《古朗月行》唐 李白小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？导语随堂演练课时对点练一、圆的标准方程二、点与圆的位置关系三、待定系数法求圆的标准方程内容索引一、圆的标准方程问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？提示　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.问题2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？提示　设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2注意点：(1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆.(2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.例1　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为___________________.解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是_____________________.解析　∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，(x－1)2＋(y－2)2＝25∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.反思感悟　直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.跟踪训练1　求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；解　r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).解　设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.二、点与圆的位置关系问题3　点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，>>＝＝<<例2　(1)已知a，b是方程x2－x－ ＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是A.点P在圆C内 B.点P在圆C外C.点P在圆C上 D.无法确定√∴点P在圆C内.(2)已知点P(2,1)和圆C： ＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝_________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为_______________.－2或－6a<－6或a>－2解得a＝－2或－6.解得a<－6或a>－2.反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.[0,1)三、待定系数法求圆的标准方程例3　求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.解　方法一　(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.方法二　(几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，即圆心坐标为(4，－3)，即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.反思感悟　待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练3　过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4√所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x.所以圆心坐标为(1,1)，半径为2，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法二　本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线x＋y－2＝0上，排除B，D；根据点B(－1,1)在圆上，排除A.1.知识清单：(1)圆的标准方程.(2)点和圆的位置关系.2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.3.常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况.课堂小结随堂演练1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16√1234解析　以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.2.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.不确定√12343.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1√1234解析　方法一　(直接法)∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二　(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.4.若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为_______________.1234解析　∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，课时对点练√基础巩固123456789101112131415162.已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是A.(x－1)2＋(y＋1)2＝25B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25C.(x－1)2＋(y＋1)2＝100D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100√所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.12345678910111213141516√解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，123456789101112131415164.已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在A.圆内 B.圆外C.圆上 D.圆上或圆外√解析　由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a，1)，123456789101112131415165.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是A.圆M的圆心为(4，－3)B.圆M的圆心为(－4,3)C.圆M的半径为5D.圆M被y轴截得的线段长为6√解析　由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心为(4，－3)，半径为5，则AC正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，线段长为6，故D正确.12345678910111213141516√√6.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为A.(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝1C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D.(x－2)2＋(y－2)2＝1√解析　在圆C2上任取一点(x，y)，则此点关于直线x－y－1＝0的对称点(y＋1，x－1)在圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1上，所以(y＋1＋1)2＋(x－1－1)2＝1，即(x－2)2＋(y＋2)2＝1.123456789101112131415167.与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为________________.(x－1)2＋y2＝18解析　圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，12345678910111213141516又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为(x－1)2＋y2＝18.8.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________.解析　圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)，123456789101112131415169.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a；解　∵点M(6,9)在圆N上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10.12345678910111213141516(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.解　由已知，得圆心N(5,6).12345678910111213141516∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，10.已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；12345678910111213141516解　当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程.12345678910111213141516即x－3y＋3＝0，由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3,2).12345678910111213141516故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.12345678910111213141516方法二　待定系数法设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.11.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20√解析　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.12345678910111213141516综合运用过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.√12.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18D.(x－2)2＋(y＋3)2＝912345678910111213141516√解析　由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，12345678910111213141516∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.13.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________.(x－4)2＋y2＝112345678910111213141516解析　设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.14.已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为_____.解析　∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.∵y∈[－1,1]，∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.12345678910111213141516－415.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为A.4 B.5 C.6 D.7所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号.√拓广探究12345678910111213141516化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，16.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的方程.12345678910111213141516解　设圆心为(a，b)，半径长为r，12345678910111213141516消去r，得2b2－a2＝1， ①设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式，整理得2b2＋4bk＋k2＋1＝0.判别式Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1，当k＝1时，a＝b＝－1，圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；当k＝－1时，a＝b＝1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.12345678910111213141516