数学八年级上册20.2 画轴对称图形完美版ppt课件

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  20.2  画轴对称图形第二课时  用坐标表示轴对称一、教学目标（一）学习目标1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标；能表示点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标；能表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．3．能用坐标系中的对称知识解决问题，并在学习和解决问题中培养语言表达能力、观察能力、归纳能力，自觉探索的习惯，体验数形结合的思想，体验学习数学的乐趣．（二）学习重点用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．★（三）学习难点找对称点的坐标之间的关系．▲二、教学设计（一）课前设计1．预习任务(1)教材图20.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？(-3.5，4)(2)如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( B )A．(－4，6)    B．(4，6)    C．(－2，1)    D．(6，2). 2．预习自测(1)如图，△ABC与△DFE关于x轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，C(－2，1)，则点D、E、F的坐标分别为____________. 【知识点】轴对称、点的坐标.【解题过程】观察坐标系中的已知对称图形；利用格点确定(数出)相应点的坐标.【思路点拨】确定对称点，数格点得坐标.【答案】D(－4，－6)，E(－6，－2)，F(－2，－1)(2)在坐标系中描出点A(3，4)及其关于x轴、y轴的对称点A1、A2，并写出A1、A2坐标__________．                     【知识点】根据点的坐标描点；轴对称；点的坐标．【解题过程】描出点A→作出A关于x轴、y轴的对称点→确定A1、A2坐标．【思路点拨】有坐标网格的坐标系数格子就可以确定点的位置和坐标．【答案】A1(3，－4)、A2(－3，4)．(3)已知l过点(1，0)且平行于y轴，作出点A(－1，2)关于l的对称点A1，并写出A1的坐标_____．                    【知识点】轴对称；点的坐标．【解题过程】作出A关于直线l的对称点→确定A1坐标．【思路点拨】有坐标网格的坐标系数格子就可以确定点的位置和坐标．【答案】A1(3，2) ．(4) 作出A(－3，4)绕原点旋转180°得到的点A1，并写出A1的坐标_____________．                    【知识点】根据点的坐标描点；旋转；点的坐标．【解题过程】描出点A→作出A绕原点旋转180°得到的点A1→确定A1坐标．．【思路点拨】以O为圆心，OA为半径作半圆．【答案】(3，－4)．(二)课堂设计1．知识回顾画一个图形的轴对称图形的一般步骤：①过已知点作已知直线的垂线，并确定垂足；②在直线的另一侧，以垂足为一端点，在垂线上作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接通过原图形已知点所作的这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．这个方法可以称为作轴对称图形的“垂线法”．2．问题探究探究一  在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点●活动①  在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)；B(－1，2)；C(－6，－5)；D(3，5)；E(4，0)；F(0，－3).师问：怎么描出A点？生答：……师总结：坐标系中描点，应通过对应的横纵坐标轴上的数据作坐标轴的垂线，两垂线的交点即为该点.【设计意图】培养学生语言表达能力；回忆、熟悉、巩固坐标系中点的描法.●活动②  画出以上点分别关于x轴和y轴的对称点.师问：怎么作出已知点关于x轴和y轴的对称点．生答：……教师总结：在坐标系中作已知点关于坐标轴的对称点有两种办法，一是利用“垂线法”，二是在有网格的坐标系中直接数格点.【设计意图】培养学生语言表达能力；巩固“垂线法”作对轴称图形；在坐标系中寻求不同于“垂线法”的作轴对称图形的方法．探究二(1)关于坐标轴的对称点▲★●活动①  根据探究一的作图，填写表格.已知点A(2，－3)B(－1，2)C(－6，－5)D(3，5)E(4，0)F(0，－3)关于x轴的对称点(2，3)(-1，-2)(-6，5)(3，-5)(4，0)(0，3)关于y轴的对称点(-2，-3)(1，2)(6，-5)(-3，5)(-4，0)(0，-3)仔细观察已知点和其对称点的坐标，探索关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律．生答：……教师总结：点关于什么轴对称，则对应坐标不变，另一个变为相反数．【设计意图】通过探究，初步得到坐标系中点关于坐标轴对称的规律；培养学生观察、归纳、探索能力；让学生体验数形结合的思想．●活动②  想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．生答：……教师总结：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等．【设计意图】通过探究，得到坐标系中点关于坐标轴对称的规律；培养学生质疑、求是的科学精神．(2)一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点●活动①  在坐标系中作出点A(2，－3)关于x轴的对称点A1，又作出A1关于y轴的对称点A2．生：(动手作图)师：(巡视、指导)教师总结：可以利用前述点关于坐标轴的对称规律快速描点．【设计意图】检验学生对新知的运用，巩固新知．●活动②  探究点P(x，y)连续经过x轴、y轴对称后得到的点P'的坐标．师问：点P(x，y)连续经过x轴、y轴对称后得到的点P'的坐标是怎样的？学生回答：……师总结：一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点的坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．我们又称这种对称为两个点(图形)关于原点对称．【设计意图】拓展延伸，为后继学习做铺垫．(3)关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标●活动①  在坐标系中作出点A关于直线a、b的对称点．生：(动手作图)师：(巡视、指导)教师总结：这个不是关于坐标轴的对称点，可以 “垂线法”或“数格点”的办法描点．【设计意图】巩固所学．●活动②  探究坐标系中点P(x，y)关于平行于坐标轴的直线a的对称点的坐标规律生讨论：……生答：……教师总结：这种不是关于坐标轴对称的，最好是作图探究，不可停留在“空对空”的思索状态，动手往往比动脑更有实效．【设计意图】综合应用，拓展延伸，培养探究、综合能力，体会数形结合的重要性，为后继学习作铺垫．探究三  举例分析●活动①  巩固基础【例1】已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a、b的值．(1)A、B关于y轴对称；    (2) A、B关于x轴对称；(3) A、C关于x轴对称， B、C关于y轴对称．生：(解答、交流、展示)师：(巡视、指导、点评)【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合，方程思想．【解题过程】(1)第一步，根据点与点关于y轴对称的关系得到2＋(－b)＝0，a＝4；第二步，求出a＝4，b＝2．(2)第一步，根据点与点关于x轴对称的关系得到2=-b，a+4=0；第二步，求出a=-4，b=-2.(3)第一步，设C(m，n)；第二步，由A、C关于x轴对称得m＝2，a＋n＝0；又由B、C关于y轴对称得n＝4，－b＋m＝0；进而求出a＝－4，b＝2．【思路点拨】展开就近联想，两个点关于坐标轴对称，其坐标对应的是一同一反．如(1) A、B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反．(2)实际上是两个点(图形)关于原点对称．【答案】(1) a＝4，b＝2；(2) a＝－4，b＝－2；(3) a＝－4，b＝2．【巩固练习1】点P(2，3)关于x轴对称的点为P1，P1关于y轴对称的点为P2．则P2的坐标为(    )A. (2，3)    B. (2，－3)    C. (－2，3)    D. (－2，－3)生：(解答、交流、展示)师：(巡视、指导、点评)【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】第一步，根据点与点关于x轴对称的关系得到P1(2，－3)；第二步，根据点与点关于y轴对称的关系得到P2(－2，－3)．【思路点拨】展开就近联想，两个点关于坐标轴对称，其坐标对应的是一同一反．步步为营，一环扣一环，结果自然而然就出来了．当然，最好是画图，来得更快．此题实际上是两个点(图形)关于原点对称．【答案】选D．●活动②  能力提升【例2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴、x轴对称的图形．生：(解答、作图、交流、展示)师：(巡视、指导、点评)【知识点】点与点关于坐标轴对称，坐标系中的对称作图．【数学思想】数形结合．【解题过程】作四边形ABCD关于y轴对称的图形，第一步，求四个对称点坐标；第二步，描出四个对称点；第三步，连线．作四边形ABCD关于x轴对称的图形，同上.【思路点拨】坐标系中的对称作图，按“求对称点坐标→描点→连线”的方式比较好，如果采用课时1的作图方式则不够精确和简洁．【答案】如下．【巩固练习2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)．(1)画出四边形ABCD关于原点对称的图形；(2)画出四边形ABCD关于直线l对称的图形．        生：(解答、作图、交流、展示)师：(巡视、指导、点评)【知识点】点与点关于原点对称(一个点依次关于x、y轴对称)，点与点关于非坐标轴对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】(1)第一步，根据点与点关于原点对称的关系得到对称点坐标；第二步，描点；第三步，连线．(2)同上.【思路点拨】(1)展开就近联想，两个点关于原点对称，其坐标对应的是双反．            (2)两个点关于与y轴平行的直线对称，纵坐标相等，横坐标与直线横坐标之差的绝对值相等.【答案】如下        ●活动③  自主探究【例3】如图，梯形ABCD关于y轴对称，点A的坐标为(－3，3)，点B的坐标为(－2，0)，试写出点C和点D的坐标，并求出梯形ABCD的面积．【知识点】点与点关于坐标轴对称，坐标系中求图形(梯形)面积，平行于坐标轴的线段长．【数学思想】数形结合．【解题过程】求出C、D坐标→求AD、BC的长度→求梯形面积．【思路点拨】平行于x轴的两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值；求规则图形的面积应选用平行于x轴(或y轴)的边为底边，求面积较方便．【答案】∵点D与点A(－3，3)关于y轴对称，∴点D的坐标为(3，3)．同理点C的坐标为(2，0)．∴AD=|3－(－3)|＝6，BC＝|2－(－2)|＝4，∴S梯形＝(AD+BC)•OE÷2＝(6+4)×3÷2＝15．【巩固练习3】在坐标系中描出点A(－4，5)，B(－5，2)，C(－1，－2)，D(3，2)，E(2，5)，连接AB，BC，CD，DE，EA．①请你判断所得图形是轴对称图形吗？如果不是，请你说明理由；如果是，请说出对称轴；②求这个多边形的面积．【知识点】坐标系中描点；轴对称图形的判断；【数学思想】数形结合．【解题过程】作坐标系→描点→判定是否轴对称及其对称轴→确定面积求法→求面积．【思路点拨】如果图形规则，找准求面积的要素可求；如果图形不规则，可以参照坐标轴割补图形．【答案】如图，是轴对称图形，对称轴是x＝－1，面积是37个平方单位．3. 课堂总结(1)知识梳理①点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等．即两个点关于什么轴对称，则对应坐标不变，另一个变为相反数．②一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点的坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．我们又称这种对称为两个点(图形)关于原点对称．③两个点关于平行于坐标轴的直线对称，最好作图分析．(2)重难点归纳①用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．②找对称点的坐标之间的关系，利用方程(组)解决问题． （三）课后作业巩固基础，自主突破1.说出下列各点关于x轴，y轴对称的点的坐标：(－2，6)，(1，－2)，(－1，3)，(－4，－2)，(1，0)．【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】按点与点关于坐标轴对称的关系依次写出即可．【思路点拨】两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反；关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变．【答案】已知点(-2，6)(1，-2)(-1，3)(-4，-2)(1，0)关于x轴的对称点(-2，-6)(1，2)(-1，-3)(-4，2)(1，0)关于y轴的对称点(2，6)(-1，-2)(1，3)(4，-2)(-1，0)2.平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在(    )A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限【知识点】点与点关于坐标轴对称；象限内点的坐标符号．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】第一步，求出P关于x轴的对称点P ' (4，5)；第二步，确定P '所在象限．【思路点拨】两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反；四个象限内点的坐标符号依次为(正，正)，(负，正)，(负，负)，(正，负)．【答案】A．3.已知点P(－2，3)关于y轴对称的点为Q(a，b) ，则a＋b的值为(    )A.1    B.－1    C.5    D. －5【知识点】点与点关于坐标轴对称；方程．【数学思想】数形结合思想；方程思想．【解题过程】第一步，求出P关于y轴的对称点Q (2，3)，即a＝2，b＝3；第二步，求出a＋b＝5．【思路点拨】两个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．【答案】C．4. 点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，P1关于y轴对称的点为P2．则P2的坐标为(    )A. (a，b)    B. (a，－b)    C. (－a，b)    D. (－a，－b)【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】第一步，求出P关于x轴的对称点P1 (a，－b)；第二步，求出P1关于y轴的对称点P2(－a，－b)．【思路点拨】两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反；两个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．【答案】D．5.若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于(      )对称．A.x轴    B.y轴    C.x轴或y轴    D.不确定【知识点】点与点关于坐标轴对称，方程．【数学思想】数形结合思想，方程思想．【解题过程】第一步，由a＋m＝0，b－n＝0得到，两个点的横坐标相反，纵坐标相等；第二步，逆用“两点关于坐标轴对称关系”得到两点关于y轴对称．【思路点拨】顺向分析：如果关于x轴对称，会怎样?如此逐个分析．逆向分析，由方程变形得到a与m，b与n的数量关系，再对照“两点关于坐标轴对称关系”得到结果．【答案】B．6.已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是()A.    B.    C.    D.【知识点】不等式组．【数学思想】数形结合思想，方程思想．【解题过程】第一步，确定P点的坐标符号，得到不等式组；第二步，解不等式组．【思路点拨】第一象限内点的坐标符号是怎样的？【答案】B． 交流合作，能力拓展7. 已知点P(－1－2a，5)关于x轴的对称点和点Q(3，b)关于y轴的对称点相同，则A(a，b)关于x轴对称的点的坐标为()A.(1，－5)    B.(1，5)    C.(－1，5)     D.(－1，－5)【知识点】点与点关于坐标轴对称，方程组．【数学思想】方程思想．【解题过程】第一步，确定P点和Q点的坐标；第二步，得方程组；第三步，解方程组，得A点；第四步，求A的对称点．【思路点拨】两个点关于x轴、y轴对称，其坐标是怎样的？【答案】B．8.已知点P(x＋1，2x－1)关于x轴对称的点在第一象限，则化简：|x＋2|－|1－x|＝___________．【知识点】点与点关于坐标轴对称，象限内点的坐标符号，不等式组，去绝对值符号．【数学思想】数形结合，不等式思想．【解题过程】第一步，确定P点对称点的符号；第二步，列不等式组；第三步，解不等式组，求出x的取值范围；第四步，去绝对值符号，化简所求代数式．【思路点拨】第一象限内的点的坐标符号是怎样的？怎样去绝对值符号？【答案】2x＋1． 合作探究，多维突破9. 已知点A(a＋2b，1)，B(－2，2a－b)．①若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；②若点A、B关于y轴对称，求a＋b的值．【知识点】点与点关于坐标轴对称，方程组．【数学思想】方程思想．【解题过程】第一步，确定A、B横纵坐标的数量关系；第二步，列方程组；第三步，解方程组，求出a、b的值；第四步，解决新问题．【思路点拨】点与点关于坐标轴对称，横纵坐标的关系是怎样的？【答案】①          ② 10.如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴．①如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2，0)，B(－1，0)，C(－1，2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；②如果点P的坐标是(－a，0)，其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．【知识点】点与点关于坐标轴对称，两个点关于平行于坐标轴的直线的对称．【数学思想】数形结合，分类思想．【解题过程】①第一步，确定△A1B1C1各点坐标；第二步，作出△A2B2C2；第三步，确定△A2B2C2各点坐标．②略【思路点拨】点与点关于坐标轴对称，两个点关于平行于坐标轴的直线的对称，横纵坐标的关系是怎样的？【答案】①(1)A2(4，0)，B2(5，0)，C2(5，2)；②如果0＜a≤3，那么点P1在线段OM上．PP2＝PP1＋P1P2＝2OP1＋2P1M＝2(OP1＋P1M)＝2OM＝6．如果a＞3，那么点P1在点M的右边．PP2＝PP1－P1P2＝2OP1－2P1M＝2(OP1－P1M)＝2OM＝6.故PP2的长是6． 作业自助餐1. 已知点A(2，3)，则点A关于x轴的对称点的坐标为()A．(3，2)     B．(2，－3)    C．(－2，3)     D．(－2，－3)【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】直接利用点与点关于坐标轴对称的关系得到对称点坐标，抑或作图可得．【思路点拨】点与点关于坐标轴对称，两个点横纵坐标的关系是怎样的？【答案】B．2. 平面内点A(－2，2)和点B(－2，6)的对称轴是()A．x轴     B．y轴    C．直线y＝4    D．直线x＝－2【知识点】点与点关于平行于坐标轴的直线对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】作图，确定坐标．【思路点拨】作图．【答案】C．3.如图，以正方形ABCD的中心O为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为(－2，－2)，则B、C、D的坐标分别为________________________________．【知识点】正方形的对称性，点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】作图可得，确定．【思路点拨】作图，对称点，求坐标．【答案】(2，－2) 、 (2，2) 、 (－2，2)．4.点P(－4，1)关于过点(－2，0)且平行于y轴的直线的对称点的坐标为_____________．【知识点】点与点关于平行于坐标轴的直线对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】作图，确定坐标．【思路点拨】作图．【答案】(0，1)．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A1(2，5)关于y轴的对称点为A2，点A2关于x轴的对称点为A3．①画出△A1A2A3，并求△A1A2A3的面积；②如果将△A1A2A3沿着直线y＝－5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】确定坐标，作图，求面积．【思路点拨】作图．【答案】①    ，20.②点A1(2，5)关于y＝－5对称的点B1的坐标为(2，－15)；点A2(－2，5)关于y＝－5对称的点B2的坐标为(－2，－15)；点A3(－2，－5)关于y＝－5对称的点B3的坐标为(－2，－5)．6如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上．①画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；②将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【知识点】点与点关于坐标轴对称，坐标系中图形的平移．【数学思想】数形结合．【解题过程】确定点的坐标，作图．【思路点拨】作图．【答案】解：①如图所示：△A1B1C1即为所求．②如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2(－3，－1)，B2(0，－2)，C2(－2，－4)．