人教版 (五四制)八年级上册20.4 课题学习 最短路径问题优质课课件ppt

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20.4 最短路径问题
第一课时
（1）两点的所有连线中，线段最短；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边.
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：问题1. 如图，A为马厩，B为帐篷. 某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动1
创设情境，引入新知
重点、难点知识★▲
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题. 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
解： 连接AB，线段AB与直线l交于点C， 到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.
【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线，则AC+BC的最小值为线段AB的值. 此情况可简称为“两点(直线异侧)一线型” .
探究一：“两点一线”的最短路径问题
重点、难点知识★▲
问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动2
整合旧知，探究新知
重点、难点知识★▲
问题2. 牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A 位于河的同侧. 如图，牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？
学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这就是著名的 “将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
将问题2抽象为数学问题：如图，点A，B 在直线l 的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？
【思路点拨】将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线. 则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小” 的数学问题. 此情况可简称为“两点(直线同侧)一线型”.
探究一：“两点一线”的最短路径问题
重点、难点知识★▲
解：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求．
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动3
大胆猜想，建立模型
重点、难点知识★▲
追问1 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动4
反思过程，验证新知
重点、难点知识★▲
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′，∴ AC+BC=AC+ CB′=AB′，AC′+ C′B=AC′+ C′B′．又在△AB′C′中，AB′ ﹤AC′+B′C′，∴ AC+BC﹤AC′+BC′，即AC +BC 最短．
追问2 证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′ (与点C不重合)？
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动5
集思广益，理解新知
重点、难点知识★▲
若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．
追问3 回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？
【方法归纳】 1、“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动6
反思总结，归纳新知
重点、难点知识★▲
练习 有两棵树位置如图，树脚分别为A，B. 地上有一只昆虫沿A→B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置. (保留作图痕迹，不写作法)
【思路点拨】本题为“同侧两点一线型”， 通过“作D关于AB的对称点D′”转化为“异侧两点一线型”，再根据“两点之间，线段最短”解决.
探究一：“两点一线”的最短路径问题
解：（1）将树顶C，D抽象为两个点，将路径A→B抽象为一条直线；（2）如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点.
探究一：“两点一线”的最短路径问题
重点、难点知识★▲
问题3. 如图，有一条河流和一块草地，马厩A建在河流和草地所成的∠MON内部. 牧马人某一天要从A牵出马，先到笔直的草地边牧马，再到笔直的河边饮马，然后回到马厩A. 请你帮他确定马这一天行走的最短路线.
探究二：“一点两线型”的最短周长问题
海伦善于观察与思考，一天他在旅游途中遇到了一个不同情景的“将军饮马问题”：
解：分别作点A关于OM、ON的对称点A′、A′′，连接A′A′′分别交OM、ON于E、F，此时△AEF周长有最小值.
探究二：“一点两线型”的最短周长问题
【思路点拨】（1）将OM，ON抽象为两条相交的直线，将马厩A 抽象为一个点；（2）抽象为数学问题：如图，点A在∠MON内部，试在OM、ON上分别找出两点E、F，使△AEF周长最短；（3）当AE、EF和AF三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小，类比“探究一”作图. 求三角形周长最短，即求AE+EF+AF的最小值为A′A′′的值，根据轴对称的性质得AE=A′E，AF=A′′F，再由“两点之间，线段最短”解决. 此情况简称为“一点两线型”.
探究二：“一点两线型”的最短周长问题
能不能类比探究一，证明一下“周长最短作图”的正确性？
【理由简要分析】如图2，在OM上任取一个异于E的点E′，在ON上任取一个异于F的点F′，连接AE′，A′E′，E′F′，A″F′，AF′，则AE′＝A′E′，AF′＝A″F′，且A′E′＋E′F′＋F′A″＞A′A″=A′E＋EF＋FA″= AE＋EF＋FA，所以△AEF的周长最小，故E，F就是我们所求使△AEF周长最短的点．
探究二：“一点两线型”的最短周长问题
练习 如图所示，点P为∠AOB内一点，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点E，交OB于点F. 若P1P2=9，则△PEF的周长是（ ）A.7 B.8 C.9 D.10
解：因为P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点， 根据轴对称的性质得PE= P1E，PF=FP2， 所以PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9 .
C
探究二：“一点两线型”的最短周长问题
问题4. 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l 饮马，然后回到帐篷B. 请你帮他确定马这一天行走的最短路线.
探究三：“两点两线型”的最短路径问题
回到家的海伦继续思考：如果在草地和河流所成的区域里有马厩和帐篷，又怎样设计行走的最短路线呢？
解：（1）作点A关于MN的对称点A′，作B点关于l的对称点B′；（2）连接A′B′，分别交MN于点C、交l于点D，则沿A→C→D→B的路线行走，马一天行走的路程最短．
【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB的最小值为A′B′的值，根据轴对称的性质得CA=CA′，DB=DB′，再由“两点之间，线段最短”即可解决. 此情况简称为“两点两线型”.
探究三：“两点两线型”的最短路径问题
练习 某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排 (图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再去拿糖果，然后到D处座位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短. (保留作图痕迹，不写作法)
探究三：“两点两线型”的最短路径问题
作法：(1)作点C关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA于P、交OB于Q，那么当小明沿C→P→Q→D的路线行走时，所走的总路程最短.
【方法归纳】 “一点两线型”求三角形周长最短问题，先作点分别关于两直线的对称点，再连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形. “两点两线型”，也可以为求四边形CPQD的周长最短问题，类比“一点两线型”即可解决.
探究三：“两点两线型”的最短路径问题
知识梳理
1、利用轴对称知识解决最短路径问题，主要依据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”；2、运用轴对称的知识将“不在同一条直线上的两条线段”转化到“同一条直线上”，然后用“两点之间线段最短”解决问题.
重难点归纳
最短路径问题的主要类型▲
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