人教版 (五四制)八年级上册21.1 整式的乘法精品ppt课件

21.2 乘法公式 第3课时

21.2.1完全平方公式

一、教学目标

（一）学习目标

1.知道添括号法则，并能熟练地给一些代数式添括号.

2.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式进行计算.

（二）学习重点

理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理运用．

（三）学习难点

 在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到运用公式的目的．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）阅读类任务：阅读课本完成下列问题

添括号法则：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变为相反数．

（2）模仿类任务： ①a+()=a-b+c         ②a-( b-c ) = a-b+c

 ③-( a-b )-c= -a+b-c                        ④-( -a-b )+c=a+b+c

【设计意图】巩固去括号法则，为新知铺垫.

（3）探索归纳类任务：计算下列各式.

①（     ）      ② (      )

③（     ）-c    ④-(        )+c

【设计意图】通过简单的添括号运算，同时巩固去括号法则.

2.预习自测

（1）在括号内填上适当的项

①（   ）   ②  -（    ）d

【知识点】添括号法则

【思路点拨】添括号时，括号前面是正号，括到括号里面的各项都不变号，括号前面是负号，括到里面的每一项都要都要变成相反的符号，用去括号的逆运算验证.

【解题过程】

【答案】①    ②

 （2）下列去括号和添括号的变形中，错误的是（    ）

A.                B. 

C.       D.

【知识点】添括号、去括号法则

【思路点拨】添（去）括号时，括号前面是正号，括号里（外）的各项都不变号，括号前面是负号，括号里（外）面的每一项都要都要变成相反的符号.

【解题过程】

【答案】C

（3）将 化为 的形式为(    )

A.                 B.  

C.                D.

【知识点】添括号法则在公式中的运用

【思路点拨】识别相同项和相反项，通过添括号把相同项和相反项分别结合即可

【解题过程】 = 

【答案】  B

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）多项式与多项式相乘，就是用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；

（2）两数和乘以两数差等于两数的平方差；

（3）两数和（差）的平方等于两数的平方和再加上（减去）两数乘积的2倍

2.问题探究

探究一  添括号法则

●活动1  回顾旧知

问题1  前面我们学习了整式的运算，其中整式的运算中去括号的法则是什么呢？

请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．

 （1）4+（5+2）  （2）4（5+2）  （3）a+（b+c）   （4）a（bc）

   解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11

       （2）4（5+2）=452=-3

    或：4（5+2）=47=-3

      （3）a+（b+c）=a+b+c

      （4）a（bc）=ab+c

去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号．也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．

师生活动：学生计算，师生共同分析结果

【设计意图】承前启后，为本节内容的引入作铺垫；让学生在计算过程中进一步巩固去括号法则，体会去括号与添括号的互逆关系，从一般到特殊；四个算式从数到式，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础.

●    活动2  整合旧知

追问1：上述问题中恒等的两个多项式左右两边可以交换位置吗？

 4+5+2=4+（5+2），a+b+c= a+（b+c）

追问2：从左到右就从无括号变成了有括号，那添括号的法则又是什么呢？

追问3：你能对发现的规律用语言表述出来吗？

师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现添上括号时，括号前面是正号，括号里的各项都不变号，括号前面是负号，括号里面的每一项都要变成相反的符号 .

【设计意图】让学生经历具体---抽象的过程，体会研究数学问题从具体到抽象的思想方法，体会从特殊到一般的数学思想.

探究二  添括号法则在乘法公式中的应用  ★▲

●活动1  添括号法则在平方差公式中的应用

（1）（x+2y3）（x2y+3）

 (2)  (2x+y+z) (2xyz)

问题2  你能把上面的式子表示成吗？

【设计意图】让学生将式子转化平方差公式，发展学生观察，比较，归纳的能力；学生转化的过程中，可以加深对公式结构特征的理解，也加深了理解相同项组合和相反项组合的组合原理.

●活动2  理解平方差公式的结构特征

上面的式子变形为（1）

 (2)

问题3  你能说出谁代表公式里的a和b吗？

师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，师引导学生回答分解问题.

追问：你能运用平方差公式进行计算吗？

【设计意图】重视公式的结构特征，可以帮助学生识别公式中的相同项和相反项

●    活动3  添括号法则在完全平方公式的应用

你能把变形成 或者吗？

【设计意图】让学生将式子转化成完全平方公式，发展学生观察，比较，归纳的能力；学生转化的过程中，可以加深对公式结构特征的理解，也加深了理解 或 不同的组合原理.

●    活动4  深刻理解完全平方公式的结构特征

你能说出谁代表公式里的a和b吗？

 探究三  利用乘法和添括号技巧进行计算

例1            

【知识点】平方差公式，添括号法则

【解题过程】 = =

【思路点拨】平方差公式的特征：组合成两数和与两数差．

【答案】

针对练习   把代数式写成 的形式，求M．

 【知识点】平方差公式结构特征，添括号法则．

【解题过程】

=  

【思路点拨】平方差公式的特征：辨析相同项和相反项，组合成两数和与两数差

【答案】

例2             计算：

【知识点】完全平方公式，添括号法则．

【解题过程】 = 或 或 等，答案为．

【思路点拨】完全平方公式特征：两数和或两数差的平方．

【答案】见解题过程

针对练习  计算：

【知识点】完全平方公式，添括号法则．

【解题过程】  = 或 或 等，答案为

【思路点拨】完全平方公式特征：两数和或两数差的平方

【答案】见解题过程

3. 课堂总结  

知识梳理

（1）添括号法则，并能熟练地给一些代数式添括号.

添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号

（2）进一步熟悉平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式进行计算.

重难点归纳

（1）理解添括号法则，总体原则，添括号后不改变原式大小.

（2）在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到运用公式的目的．

（3）三项式的完全平方，等于各项的平方和加上两两相乘的积的2倍，即

（三）课后作业

基础型 自主突破

1. 在下列式子中，变形正确的是（    ）

 A.          B.

 C.          D.

【知识点】添括号法则

【思路点拨】运用法则括号前面是“+”，括号里面的每一项都不变号，括号前面是“-” ，写在括号里面的每一项都要变成相反的符号.

【解题过程】A.  B.   C.

【答案】D

2. 下列运算正确的是（     ）

A．（x+2）(x－2)=x2－2                 B.(x+3y)(x－3y)=x2－3y2

C．   D.(-3a－2)(3a－2)=4－9a2

【知识点】平方差、完全平方公式，添括号法则

【解题过程】A符合平方差公式的结构特征，但是积应该是两数的平方差，2没有平方 B同A，D添括号后符号没变正确，因此选C．

【思路点拨】ABD都能运用平方差公式计算，C运用完全平方公式计算．

【答案】C

3. （－x－y）(    )=x2－y2

【知识点】平方差公式

【解题过程】（－x－y）(－x+y )=x2－y2

【思路点拨】多项式的乘法积要得到两项式，不能直接用平方差公式，对式子进行变形，逆用平方差公式

【答案】（－x+y）

4.计算 的结果是____________.

【知识点】平方差公式，积的乘方

【解题过程】 = =

【思路点拨】积的乘方的逆运算，平方差公式的运用

【答案】

5.如图所示，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小正方形，小明将图a中的阴影部分拼成了一个如图b所示的矩形，这一过程可以验证（    ）
A.a2+b2-2ab=（a-b）2               B.a2+b2+2ab=（a+b）2

C.2a23ab+b2=（2ab）（a-b）       D.a2-b2=（a+b）（ab）

【知识点】完全平方公式

【解答过程】D.a2b2=（a+b）（a-b）

【思路点拨】等积法

【答案】D

6.已知 则 的值是（    ）

A．1           B. 2

C． -3          D. -1

【知识点】添括号法则

【解题过程】 =

【思路点拨】把式子变成已知的形式，整体代入即可

【答案】-3

能力型  师生共研

7. 需要变形成（     ）或（     ）或（    ）才能利用完全平方公式计算.

【知识点】添括号法则

【解题过程】= = =

【思路点拨】添括号有两种要么添“+”要么添“-”，再依据法则进行变形

【答案】 等

8. 若 ，则代数式 的值为（    ）

【知识点】完全平方公式，添括号法则

【解题过程】∵∴

 ∴=

【思路点拨】由已知所得，由问题变形为和已知的形式，然后整体代入即可.

【答案】

探究型 多维突破

9.已知（mn）2=144，（m+n）2=400，则m2+n2的值为（    ）
【知识点】完全平方公式

【数学思想】方程思想

【解题过程】∵（m+n）2=  ∴（m-n）2=

∵（m-n）2=144，（m+n）2=400

∴ =544，∴m2+n2=272．

【思路点拨】完全平方和与完全平方差的转换

【答案】272

10. 若x2+y2=12，且x+y=6，求xy的值．

【知识点】完全平方公式

【数学思想】方程思想

【解题过程】∵ x+y=6,

∴= =36∴xy=12

【思路点拨】完全平方的结构特征

【答案】12

自助餐

1.不改变代数式的值，把 的二次项放在前面带有“+”的括号里，把一次项放在带有“-”的括号里，正确的是（    ）

A．           B. 

C.           D.

【知识点】添括号法则

【思路点拨】在不改变原式大小的前提下运用添括号法则

【答案】  D

2. 已知 （     ），括号内所填的代数式是（      ）

A.            B.

C.        D 

【知识点】添括号法则

【解题过程】AD改变了原式的大小；B括号前面是“-”每一项都要要改变符号；因此选C.

【思路点拨】不改变原式大小的前提下，用添括号法则做，用去括号法则验证

【答案】C

3.为了方便计算 下列变形正确的（     ）

A.            B.

C.         D.

【知识点】平方差公式的结构特征，添括号法则

【解题过程】AC两个式子并不是完全相同；B添括号法则正确：括号前是正号，括号里面每一项都不变号，D项符号错误.因此选B．

【思路点拨】先从平方差公式的结构特征辨析，然后用添括号法则进行变形．

【答案】B

4. 如果多项式 ，则的最小值是（    ）

A.2013      B. 2014        C.2015        D. 2016

【知识点】完全平方公式，平方的非负性

【解题过程】=

 = 

∵≥0， ≥0，

∴的最小值为2015．

【思路点拨】观察式子的特征，平方的非负性，灵活运用完全平方公式．

【答案】C

5. 已知实数a,b满足(a+b)2=1，(a-b)2=25，求a2+b2+ab的值．

【知识点】完全平方差公式

【数学思想】方程思想

【解题过程】∵，

∴ - = ∵(a+b)2=1，(a-b)2=25∴ a2+b2+ab

∴a2+b2+ab=(a+b)2- =7

【思路点拨】运用完全平方公式展开找到条件与问题的联系

【答案】7

6.已知 ， ， ，求多项式 的值 ．

【知识点】 添括号法则

【解题过程】解：∵ ，，

∴

∴

=

=

=3．

【思路点拨】先求出 的值，再把式子整理成这种形式代入即可．

【答案】3