初中数学21.1 整式的乘法完整版课件ppt

21.1整式的乘法（第3课时）

21.1.4 整式的乘法（第1课时）

一、教学目标

（一）学习目标

1．以实际问题为背景引入，激发学生对新知探索的欲望，调动学生的学习积极性．

2．理解单项式与单项式相乘的法则和单项式与多项式相乘的法则，并会运用法则进行计算．

3．两个法则的熟练，灵活运用．

（二）学习重点 

单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则的理解及其运用．

（三）学习难点

灵活地运用单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则进行计算．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）单项式与单项式相乘的法则：

单项式与单项式相乘，把他们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（2）单项式与多项式相乘的法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

2.预习自测

（1）计算：

【知识点】单项式与单项式相乘的法则．

【数学思想】

【解题过程】

【思路点拨】利用单项式与单项式相乘的法则计算．

【答案】 ．

（2）计算：

【知识点】单项式与单项式相乘的法则．

【数学思想】

【解题过程】

【思路点拨】先进行积的乘方运算，再利用单项式与单项式相乘的法则计算．

【答案】 ．

（3）

【知识点】单项式与多项式相乘的法则．

【数学思想】转化思想

【解题过程】

【思路点拨】先转化成单项式与单项式相乘，再利用单项式与单项式相乘的法则．

【答案】．

（4）

【知识点】单项式与多项式相乘的法则．

【数学思想】转化思想

【解题过程】

【思路点拨】先转化成单项式与单项式相乘，再利用单项式与单项式相乘的法则，注意符号的确定．

【答案】．

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）同底数幂的乘法的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

 即（，为正整数）．

（2）幂的乘方的性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

即（，为正整数）．

（3）积的乘方的性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

即（为正整数）．

2.问题探究

探究一：回顾旧知，创设情境，引入新课．

●活动① 回顾旧知，回忆乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律

乘法交换律：  

乘法结合律： 

乘法分配律：

【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.

●活动② 整合旧知，引出课题

问题1：探索火星、月球以及其他星球的奥秘已逐渐被世人关注，飞向月球、进入太空也不再是遥远的事，浩瀚的宇宙期待着人们的光临.天文学上计算星球之间的距离的一种单位叫“光年”，即光在一年里通过的距离.

一年约等于s，光的速度约为km／s，则1光年大约是多少千米？

学生容易得出：1光年大约是（）×（）km．

问题2：如何计算（）×（）呢？

师:学习了今天的知识，你一定就会迎刃而解了．

【设计意图】用光年知识，激发学生对新知主动探索的欲望，调动学生学习兴趣．

探究二：探究单项式与单项式相乘的法则，并会运用法则计算．★

●活动①大胆猜想，探究单项式与单项式相乘的法则．

问题1：怎样计算（）×（）？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？

学生计算后，展示计算过程：

（）×（）

运用了乘法交换律、乘法结合律及同底数幂的乘法的性质．

问题2：如果将上式中的数字改为字母，比如，怎样计算这个式子呢？

学生独立思考后，展示：．

【设计意图】学生通过类比（）×（）的计算，来计算，体会由特殊到一般，具体的数字抽象到字母的学习方法，让学生在独立思考，实践中获得计算的方法．

问题3：你能根据的计算方法，来计算下列式子吗？

（1）；   （2）．

学生动手计算．

展示答案：（1）；   （2）．

【设计意图】让学生通过类比（）×（）和的计算方法，用前面获得经验来计算和，从四个题目的计算，使单项式与多项式相乘的法则在学生心中基本成型．

●活动② 集思广益，归纳单项式与单项式相乘的法则．

师：观察，，都是单项式与单项式相乘，通过刚才的尝试，究竟怎样进行单项式与单项式的乘法运算呢？

先独立思考，再小组讨论．

小组派代表发表小组的观点．

学生发言，老师完善，得出结论:

单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

【设计意图】通过小组合作，用文字语言表述单项式与单项式相乘的法则，培养学生的独立思考，观察，猜想，归纳，语言表达能力，和小组合作意识．

例1计算：（1） ；（2）．

【知识点】单项式与单项式相乘的法则

【数学思想】

【解题过程】解：（1）

（2）

【思路点拨】注意运算顺序，先算乘方，再算乘法，先确定运算中的符号，再利用单项式与单项式相乘的法则进行计算．

【答案】（1）；（2）．

练习：1．计算: （1）；（2）.

【知识点】单项式与单项式相乘的法则

【数学思想】

【解题过程】（1）＝ ；（2）＝

【思路点拨】确定运算顺序，先算乘方，再算乘法，注意确定运算中的符号，再利用单项式与单项式相乘的法则进行计算．

【答案】（1）； （2）．

2．下面计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

（1）；（2）.

【知识点】单项式与单项式相乘的法则

【数学思想】

【解题过程】（1）；（2）

【思路点拨】利用单项式与单项式相乘的法则来判断

【答案】（1）不对，应当为；（2）不对，应当为．

【设计意图】巩固新知，达到强化的目的．

回顾课前引例，1光年大约是多少千米？怎样计算（）×（）？

（）×（）

实际上就是把（）×（）看作是单项式与单项式相乘，运用单项式与单项式相乘的法则计算得到．

【设计意图】解决引例，前后照应，让学生对引例问题豁然开朗，同时也让给学生感受到数学源于生活，又服务于生活．

探究三：再探新知，升华提高，探究单项式与多项式相乘的法则，并会运用法则计算．★

●活动① 展示实际问题，引出单项式与多项式相乘的法则的思考．

问题1：如图，为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长米，宽米的长方形绿地，向两边加宽米和米，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？

学生思考．

师生共同得出结论：方法一：； 

                  方法二：．

师：这两种方法结果有什么样的关系？

学生思考得出关系：相等关系，即：．

师：观察上式，左边是一个单项式与一个多项式的乘积，右边是几个单项式的和，怎样进行单项式与多项式的乘法运算呢？

【设计意图】由生活中的实际问题，从不同的面积计算方法，引发对单项式与多项式相乘的运算法则的思考，体现数学源于生活，渗透数形结合思想．同时让学生从直观上感知单项式与多项式的乘法运算．

●活动② 集思广益，归纳单项式与多项式相乘的法则．

师：观察式子，可以根据运算律得到这个等式吗？

思考得出：可以根据乘法对加法的分配律得到．

师：你能说说单项式与多项式的相乘的法则吗？

学生独立思考，再小组讨论，小组派代表发表看法

学生发言，老师完善，得出结论:

单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

【设计意图】让学生从面积问题和乘法分配律两个角度，得到单项式与多项式的相乘的法则，使得学生理解更深入，通过法则的得出，培养学生的合作意识和归纳能力．

例2 计算（1）；（2）．

【知识点】单项式与多项式相乘的法则．

【数学思想】将单项式与多项式相乘转化成单项式与单项式相乘，渗透转化思想

【解题过程】解：（1）

               （2）

【思路点拨】利单项式与多项式相乘的法则计算，要注意（1）单项式乘多项式，结果仍是多项式，且项数与原多项式的项数相同；（2）符号的确定.

【答案】（1）；（2）.

练习：1.计算：（1）；（2）.

【知识点】单项式与多项式相乘的法则．

【数学思想】

【解题过程】（1）＝；

 （2）＝.

【思路点拨】运用单项式与多项式相乘的法则计算

【答案】（1）；（2）.

2．化简：. 

【知识点】单项式与多项式相乘的法则，合并同类项．

【数学思想】

【解题过程】

【思路点拨】运用单项式与多项式相乘的法则计算，注意各项符号的确定.

【答案】.

【设计意图】巩固新知，达到强化的目的．

●活动③ 灵活运用两个法则进行计算．

例3 化简求值: ，其中，

【知识点】单项式与单项式，单项式与多项式相乘的法则，合并同类项

【数学思想】

【解题过程】

当，时，=-6

【思路点拨】根据单项式与单项式，单项式与多项式相乘的法则计算，打开括号，注意各项符号的确定，再根据整式加法的合并同类项法则得，最后把，值代入从而求解．

【答案】－6

练习：化简求值：，其中

【知识点】单项式与单项式，多单项式与多项式相乘的法则，合并同类项．

【数学思想】

【解题过程】

当时，

【思路点拨】根据单项式与单项式，单项式与多项式相乘的法则计算，打开括号，注意各项符号的确定，再根据整式加法合并同类项法则得，再把代入从而求解．

【答案】18

【设计意图】巩固所学两个法则，灵活运用两个法则进行计算．

例4已知，求的值．

【知识点】单项式与多项式相乘的法则

【数学思想】整体代换思想

【解题过程】解：

因为，所以：

【思路点拨】用单项式与多项式相乘的法则对式子化简，再观察条件中的可能值较多，不可能逐一代入求解，所以考虑整体代换思想，将整体代入，从而求解．

【答案】－6

练习：已知，求的值．

【知识点】单项式与多项式相乘的法则

【数学思想】整体代换思想

【解题过程】解：

因为，所以：

【思路点拨】用单项式与多项式相乘的法则对式子化简，再观察条件中的可能值较多，不可能逐一代入求解，所以考虑整体代换思想，将整体代入，从而求解．

【答案】－78

【设计意图】熟练运用法则进行计算，渗透整体代换的数学思想．

3．课堂总结

知识梳理

（1）单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（2）单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

（3）计算时要注意的方面：运算顺序，符号的确定

重难点归纳：

（1）两个法则的理解及灵活熟练运用；

（2）学习和运用法则过程中，类比，特殊到一般等方法的运用，渗透了转化，整体代换，数形结合等数学思想．

（三）课后作业

基础型 自主突破

1．计算结果正确的是（    ）

A．             B．            C．           D．

【知识点】单项式与单项式相乘法则

【数学思想】

【解题过程】

【思路点拨】利用单项式与单项式相乘法则计算

【答案】D．

2．下列计算正确的是（    ）

A．                           B．    

C．                 D．

【知识点】单项式与单项式相乘法则

【数学思想】

【解题过程】

【思路点拨】利用单项式与单项式相乘法则计算

【答案】D．

3．计算结果正确的是（    ）

A．         B．          C．          D．

【知识点】单项式与多项式相乘的法则

【数学思想】

【解题过程】

【思路点拨】利用单项式与多项式相乘的法则计算

【答案】C． 

4．下列计算正确的是（   ）

A.               B.  

C.             D.

【知识点】单项式与多项式相乘的法则

【数学思想】

【解题过程】

【思路点拨】利用单项式与多项式相乘的法则计算，注意符号的确定．

【答案】B．

5．若的展开式中项的系数为，则的值为（   ）

A.              B.              C.                D.

【知识点】单项式与多项式相乘的法则

【数学思想】对应思想

【解题过程】

因为原式中的的系数为，所以

【思路点拨】单项式与多项式相乘的法则，展开括号，再根据要求，对应求出．

【答案】A．

6．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图所示的几何图形的面积可表示的代数恒等式是（   ）

A.            B.  

C.            D.

【知识点】通过面积恒等反映单项式与多项式相乘的运算方法．

【数学思想】数形结合思想

【解题过程】几个图形的面积相加得：，长乘以宽得长方形的面积为，即：

【思路点拨】大长方形由两个面积相等的正方形和两个面积相等的的长方形组成，因此，面积有两种算法：

一是由几个图形的面积相加得：；

二是由长乘以宽得长方形的面积为，

所以可以得到一个恒等式：

【答案】D．

能力型 师生共研

7．“三角”表示，“方框” 表示，则×=__________．

【知识点】单项式与单项式相乘的法则

【数学思想】对应思想

【解题过程】

【思路点拨】根据题中新定义化简所求的式子，利用单项式与单项式相乘的法则计算即可得结果．

【答案】．

8．解下列方程：

【知识点】单项式与多项式相乘的法则，解一元一次方程．

【数学思想】

【解题过程】

【思路点拨】利用单项式与多项式相乘的法则计算，把左边化简，再解关于一元一次方程．

【答案】．

探究型 多维突破

9．有理数满足条件，求代数式的值．

【知识点】单项式与单项式相乘的法则，等式的非负性．

【数学思想】方程思想

【解题过程】

因为

所以

   解得，所以

【思路点拨】根据单项式与单项式相乘的法则进行计算化简，在化简过程中注意运算顺序和符号的确定，再根据等式非负性组成方程组求出的值，将的值代入化简的式子，从而求解．

【答案】192．

10．试说明：对于任意自然数，代数式的值能被6整除．

【知识点】单项式与多项式相乘的法则，合并同类项

【数学思想】

【解题过程】

因为代数式计算后的结果为6和的积，所以原代数式能被6整除．

【思路点拨】化简式子后，观察是6的倍数．

【答案】见解答过程．

自助餐

1．若，则的值为（    ）

A．9               B．15               C．18               D．10

【知识点】单项式与单项式相乘的法则

【数学思想】对应思想

【解题过程】

因为 ，所以 ，

所以，解得：，即

【思路点拨】先计算括号内单项式与单项式的乘法，再利用积的乘方得到，组成方程组，求出，的值，再代入式子求解．

【答案】A．

2．若三角形的底边为，高为，则此三角形的面积为（    ）

A．         B．          C．         D．

【知识点】单项式与多项式相乘的法则

【数学思想】

【解题过程】

【思路点拨】根据三角形面积公式求面积

【答案】D． 

3．计算=____________

【知识点】单项式与单项式相乘的法则

【数学思想】

【解题过程】

【思路点拨】根据单项式与单项式相乘法则计算，对于三个单项式相乘，单项式与单项式相乘法则仍然适用．

【答案】．

4．单项式A、B满足，则A=_________，B=_________．

【知识点】单项式与多项式相乘的法则

【数学思想】对应思想

【解题过程】

因为，

所以，

所以

【思路点拨】利用单项式与多项式相乘的法则化简，与右边部分对应相等，从而求解

【答案】 ，．

5．小敏家新购了一套结构如图的住房,正准备装修．

（1）试用代数式表示这套住房的总面积；

（2）若=2.6m，=3.1m, ,装修客厅和卧室至少需要准备多少面积的木地板?

【知识点】单项式与单项式相乘的法则

【数学思想】数学源于生活，又服务于生活

【解题过程】解：（1）

（2）客厅和卧室的总面积为：，将＝2.6，＝3.1代入，得＝12×2.6×3.1＝96.72（）．

【思路点拨】先根据单项式乘以单项式法则求出总面积，再根据条件，代入求出答案．

【答案】（1）；（2）96.72（）．

6．已知中不含项,求的值．

【知识点】单项式与多项式相乘的法则，合并同类项．

【数学思想】

【解题过程】解：

因为原式不含项，

所以，=

【思路点拨】先利用单项式与多项式相乘的法则将式子化简，在合并同类项，得出的系数为，再根据条件，得到，从而求出值．

【答案】．