初中数学人教版 (五四制)八年级上册21.2 乘法公式优秀ppt课件

21.2 乘法公式 第1课时

21.2.1平方差公式

一、教学目标

（一）学习目标

1.会推导平方差公式；

2.理解平方差公式结构特征；

3.会用平方差公式进行计算.

（二）学习重点

平方差公式的推导和应用.

（三）学习难点

  理解平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）阅读类任务：两个数的和与两个数的差的积等于两数的平方差.

即           

（2）模仿类任务：①          ②

例：①原式=        

=

=3999999

②原式=

=

=999996

【设计意图】通过数的简便运算引起学生的兴趣，同时巩固多项式乘多项式的乘法运算.

（3）探索归纳类任务：计算下列各式.

① ；           ②

③   ；

观察上面的计算结果，你发现的规律是：两个数的和与两个数的差的积等于两数的平方差.

结论：

【设计意图】由数的运算过度到式的运算，符合学生的认知规律，体现由特殊到一般的数学思想.

（4）探究类任务：为何值时能够用平方差公式计算？

【设计意图】深刻理解平方差公式的结构特征. 

2.预习自测

（1）

【知识点】平方差公式

【思路点拨】两个因式都是二项式，有一项完全相同，有一项互为相反数，具备平方差公式的结构特征，运用平方差公式进行计算.

【解题过程】略

【答案】

（2）

【知识点】平方差公式

【思路点拨】两个因式都是二项式，有一项完全相同，有一项互为相反数，

具备平方差公式的结构特征，因此要注意项的位置，先进行变形，然后运用公式进行计算.

【解题过程】略

【答案】

（3）下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（    ）

A.       B.

C.       D.

【知识点】理解平方差公式的结构特征

【思路点拨】相乘的两个两项式，只要一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差的结构，是否符合，不能只看表面，要看实质．

【解题过程】略

【答案】B

（4）（        ） 

【知识点】平方差公式

【思路点拨】多项式的乘法积要得到两项式，不能直接用平方差公式，对式子进行变形，逆用平方差公式．

【解题过程】略

【答案】

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、同底数的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.

（2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.

（3）多项式与多项式相乘，就是用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

2.问题探究

探究一  平方差公式的推导

●活动1  回顾旧知

问题1  前面我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则，根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

（1）

（2）

（3） 

师生活动：学生计算，师生共同分析结果

【设计意图】承前启后，为本节内容的引入作铺垫；让学生在计算过程中进一步巩固多项式的乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系，从一般到特殊；三个算式既具有代表性也具有层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础.

●    活动2  整合旧知

追问1：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同特点？

追问2：相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？

追问3：你能将发现的规律用式子表示出来吗？

追问4：你能对发现的规律进行推导吗？

师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现相乘的两个多项式均为相同的两数和、两数差的形式，积恰好是两数的平方差.用一般化的式子可以表示为，运用多项式的乘法法则便可以推导这公式.

【设计意图】让学生经历具体---抽象的过程，体会研究数学问题从具体到抽象的思想方法，体会从特殊到一般的数学思想.

探究二  理解平方差公式   ★▲

●活动1  平方差公式的理解

前面我们研究的式子称为平方差公式，你能将平方差公式用文字语言表述吗？师生活动：学生回答问题，相互补充

【设计意图】让学生将符号语言转化成文字语言，发展学生的数学语言表达能力；学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解.

●活动2  平方差公式代数说理和几何验证

问题2  你能验证上面你猜想的结论吗？

方法一：计算

方法二：请从一个边长为a的正方形纸板上剪下一个边长为b的小正方形，拼成

如上图所示的长方形，你能根据图中的面积说明你猜想的结论成立吗？

师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程，师引导学生回答分解问题.

【设计意图】重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题.从而让学生体会数形结合的思想.

探究三  平方差公式的应用

例1   下列各式中，可以用平方差公式计算的是（    ）

A.     B.     C.    D.

【知识点】平方差公式

【解题过程】A .C都是一个数与它的相反数的乘积，不能用平方差公式，D两个相同也不能用平方差公式，B用加法交换律和乘法交换律转化成 ．

【思路点拨】平方差公式的特征，学生巩固法则，充分发挥学生主体性.

【答案】B

针对练习

下列各式相乘① ② ③   ④ ⑤ 能用平方差公式计算的有(    )

A. 3个          B. 4个         C. 5个         D. 6个

【知识点】平方差公式的应用

【解题过程】①两个多项式没有相同项，两项都互为相反数，不符合平方差公式的结构特征②③④⑤中既有相同项，也有互为相反数的项，符合平方差的结构特征，因此选B．

【思路点拨】平方差公式的特点：把一个因式分成两部分，与另一个因式比较，一部分完全相同，另一部分互为相反数.

【答案】B

例2  (1)(3x＋2 )( 3x－2 )   (2) (－x+2y) (－x－2y)

思考：你知道运用平方差公式要做到哪几步吗？公式中的a和b分别是什么？

师生活动：师生共同分析解答，教师板书（1），学生板书（2），在解答（1）的过程中，教师要引导学生明确本题中哪一个数或式子相当于公式中的a,b,然后依照公式，写出平方差，再化简得出结果．

【知识点】平方差公式

【解题过程】解：(1)(3x＋2 )( 3x－2 )=

（2）(－x+2y) (－x－2y)=

【思路点拨】先观察式子，是否符合平方差的结构特征．

【设计意图】及时应用巩固新知识点

【答案】见解题过程

针对练习  (b+2a)(2a－b)

【知识点】平方差公式

【解题过程】解： = =

【思路点拨】先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．

【答案】

例3 （1）102×98=      （2）

【知识点】平方差公式

【解题过程】解：（1）原式== =100004=9996

（2）原式=（） = 

【设计意图】及时应用巩固新知识点，同时引出公式的广泛性.

【思路点拨】观察式子特点与平方差公式结构的联系，然后对式子进行变形，运用平方差公式计算．

【答案】见解题过程

针对练习（1）47×53  （2）(  

【知识点】平方差公式

【解题过程】（1）47×53=(50-3)=   

(=

【思路点拨】观察式子特点与平方差公式结构的联系，然后对式子进行变形，运用平方差公式计算．

【答案】见解题过程

例4 身边的数学

一千克苹果4.9元，小明的妈妈买了5.1千克的苹果，你能帮她算一算，一共要付多少钱吗？

【知识点】平方差公式

【解题过程】4.9×5.1=（50.1）（5+0.1）=24.99（元）

【思路点拨】观察算式特点与平方差公式结构的联系，然后对式子进行变形，巩固平方差公式的运用.

【答案】一共要用24.99元钱.

【设计意图】让学生在问题情境中探究，提高学习兴趣，增强合作意识，体会成功的喜悦.并且感知数学来源于生活，也服务于生活.

针对训练:

八年级一班要订购一批校服，老师说：“我们班有58名学生，每套校服62元，谁能帮老师算一算，一共要准备多少钱？这个问题你会用我们今天学习的知识解决了吗？

【知识点】平方差公式

【解题过程】解：58×62=（602）（60+2）=36004=3596（元）

【思路点拨】观察算式特点与平方差公式结构的联系，然后对式子进行变形，巩固平方差公式的运用.

【答案】一共要准备3596元钱.

【设计意图】让学生在问题情境中探究，提高学习兴趣，增强合作意识，体会成功的喜悦.并且感知数学来源于生活，也服务于生活.

3.课堂总结

知识梳理

（1）会推导平方差公式：两数和乘以两数差等于两数的平方差

符号表示：

（2）理解平方差公式结构特征：左边（两数和乘以两数差）右边（两数的平方差）

（3）会用平方差公式进行计算.

重难点归纳

（1）平方差公式的推导和应用.

（2）理解平方差公式的结构特征

（3） 灵活运用平方差公式：①公式中的a、b既可以代表数，也可以代表式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些多项式的乘法表面上不能运用公式，但经过变形后能运用公式.变形方法：一变相同部分，二找相反部分.

（三）课后作业

基础型 自主突破

1. 在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（    ）

 A.(2a+b)(2a－b)           B. (2a+b) (b－2a)

 C.(2a+b)( －2a－b)           D. (2a－b)( －2a－b)

【知识点】辨析平方差公式的结构特征

【解题过程】ABD的两个因式中都有相同项和互为相反数的项，符合公式特征，而C没有相同项，因此选C．

【思路点拨】运用平方差结构特征:两数和乘以两数差.

【答案】C

2. 下列运算正确的是（     ）

A．（x+2）(x－2)=x2－2       B.(x+3y)(x－3y)=x2－3y2

C． (x+y)2=x2+y2              D.( －3a－2)(3a－2)=4－9a2

【知识点】平方差公式

【解题过程】A符合平方差公式的结构特征，但是积应该是两数的平方差，2没有平方 B同A，C是（x+y) 一个整体的平方，因此选D．

【思路点拨】运用平方差公式进行计算.

【答案】D

3. （－2x－3y）(    )=4x2－9y2

【知识点】平方差公式

【解题过程】∵4x2－9y2没有公因式

∴另一因式是两项式∴根据平方差公式的特点（－2x－3y）(    )=4x2－9y2

∴答案为

【思路点拨】与两项式相乘，积要得到两项式，一种是单项式，另一种则是平方差公式，对式子进行变形，逆用平方差公式．

【答案】

4. (x+2)(x－2)(x2+4)的计算结果是（    ）

【知识点】平方差公式

【解题过程】(x+2)(x－2)(x2+4)=  

【思路点拨】观察式子的特征，灵活运用平方差公式．

【答案】

5. 计算：（－x+2y）（－x－2y）

【知识点】平方差公式

【解题过程】（－x+2y）（－x－2y）=

【思路点拨】识别平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式

【答案】

6.计算： (－3a－2)(3a－2)

【知识点】平方差公式

【解题过程】(－3a－2)(3a－2)=

【思路点拨】观察式子的结构特点，变形成平方差公式的基本模型，运用公式计算即可.

【答案】

能力型 师生共研

7.计算： 803×797=    

【知识点】平方差公式

【解题过程】803×797=

【思路点拨】观察式子的结构特点，变形成平方差公式的基本模型，运用公式计算即可．

【答案】639991

8. 计算：(m+n+p)(m+n-p)=

【知识点】平方差公式

【解题过程】(m+n+p)(m+n－p)=（m+n）2－ p2

【思路点拨】相同项是（m+n），相反项是p,因此把（m+n）看成公式里的a,p看成公式里的b.

【答案】（m+n）2－ p2

探究型 多维突破

9.一个长方体游泳池的长为（4a2+9b2）m,宽为（2a+3b）m,高为（2a-3b）m ,则这个游泳池的体积为（    ）m3．

【知识点】平方差公式

【解题过程】（4a2+9b2）（2a+3b）（2a-3b）=（ ）m3

【思路点拨】观察式子的特征，灵活运用平方差公式．

【答案】（）m3

10. 若x2－y2=12，且x+y=6，求x-y的值．

【知识点】平方差公式

【数学思想】方程思想

【解题过程】∵

又∵x+y=6，x2－y2=12

∴6（x－y）=12

∴

【思路点拨】平方差公式的逆用

【答案】2

自助餐

1.下列多项式乘法中，不可以用平方差公式计算的是（    ）

A．(2x+y)(2x－y)           B.(2x+y) (y－2x)

C.  (2x+y)(-2x－y)          D.(2x－y)(-2x－y)

【知识点】辨析平方差公式的结构特征

【解题过程】ABD的两个因式中都有相同项和互为相反数的项，符合公式特征，而C只有相同项，因此选C．

【思路点拨】观察式子的结构特点，辨析平方差公式的结构特征：两数和乘以两数差.

【答案】C

2. 下列运算正确的是（     ）

A.            B. 

C.    D.

【知识点】平方差公式

【解题过程】A符合平方差公式的结构特征，正确运用了公式计算 ；B积应该是两数的平方差，2没有平方；C是都是相反数的项，没有相同项，不符合平方差的结构特征； D只有相同项，没有相反项，因此选A．

【思路点拨】先从平方差公式的结构特征辨析，然后从计算结果与因式的关系辨析．

【答案】A

3.为了方便计算 下列变形正确的(    )

A.2         B.

C.2         D.

【知识点】平方差公式的结构特征

【解题过程】A两个式子并不是完全相同；B添括号法则变换正确；C同A；D的前项括号打开后与原式不同错误.故选B．

【思路点拨】先从平方差公式的结构特征辨析，然后用添括号法则进行变形．

【答案】B

4. 已知 ， ，则 的值为

【知识点】平方差公式

【解题过程】∵，

∴=3×（-1）=-3

∴=-3

【思路点拨】由平方差公式

【答案】-3

5. 计算：×

【知识点】平方差公式，去括号法则

【解题过程】×=

【思路点拨】观察式子的结构特点，变形成平方差公式的基本模型，运用公式计算即可．

【答案】1

6.计算：  

【知识点】平方差公式

【解题过程】=

=（ ）

=

=

=

=232     

【思路点拨】观察式子，构建平方差公式的结构．

【答案】232