数学八年级上册22.1 分式完美版ppt课件

22.2  分式的运算

22.2.1 分式的乘除 第1课时

一、教学目标

（一）学习目标

1．经历探索分式的乘除法法则的过程；能将分式的各种运算与分数的相应运算

进行类比；能结合具体情境说明其合理性，培养代数化归的意识．

2．理解并掌握分式的乘除法法则．

3．能运用法则进行计算，及解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题．

（二）学习重点

合理运用法则进行分式的乘除运算．

（三）学习难点

   当分子和分母为多项式时的分式乘除法运算．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

(1)温故知新: 　　 　，　　   ，　 　  ．

(2)提问: 分数的乘除法法则是什么？

分式的乘除法法则又是什么？

它们有什么异同之处？

当分式的分子、分母是多项式时的乘除运算的步骤是怎样的？  

(3)请阅读教材第79～81页，试着自己完成例1、例２、例３，并在课本上勾画出自己有疑问的地方．

(4)知识点：

分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的　分子　，分母的积作为积的　分母　．用式子表示为：

分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式　相乘　．用式子表示为：

2．预习自测

（1）计算：        ，        ．

【知识点】约分；分式的乘除法．

【解题过程】计算分式的乘法时，分式的分子、分母交叉约分；计算分式的除法时，要把除法变乘法，同时除式的分子、分母要颠倒位置，即．

【思路点拨】熟记法则，正确运用．

【答案】；．

（2）计算：        ，        ．

【知识点】约分；分式的乘除法．

【解题过程】在进行分式的除法运算时，可以把除法统一成乘法进行运算；当分式的分子、分母为多项式时，可以先把多项式进行因式分解，然后约分，最后再运用乘法法则进行计算．

【思路点拨】熟记法则，正确运用．

【答案】，．

（3）判断正误：

　　 ① ．                                   （　 　）.

　　 ② ．                                    （　 　）.　　　　

     ③  ．                                         （　 　）.

【知识点】分式的乘除法.

【解题过程】 ①分子的系数应相乘，最后结果应化成最简分式，正确答案应为，所以①错； ②在进行分式的除法运算时，应把除法变乘法，同时除式的分子、分母颠倒位置，正确答案应为，所以②错；③对．

【思路点拨】熟记法则，正确运用．

【答案】× ，× ，√

（4）下列各式中，计算结果正确的有（　　 ）.

①．          ②．

③．       ④．

　A．0个        B．1个        C．2个        D．3个

【知识点】分式的乘除法．

【解题过程】①遗漏符号，故①错；②因式约分错误，故②错；③分式的除法法则没牢记，除法变乘法时除式的分子、分母未颠倒位置，故③错；④严格按照分式的乘法法则运算，故④正确.

【思路点拨】熟记法则，正确运用．

【答案】B．

(二)课堂设计

1. 问题探究

探究一 经历探索分式的乘除法法则的过程；能将分式的各种运算与分数的运算进行类比；能结合具体情境说明其合理性，培养代数化归的意识．

●活动①　出示两个问题．

问题1：一个水平放置的长方形容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？

教师给出问题．

学生思考并交流，然后回答．

问题2：大拖拉机天耕地，小拖拉机天耕地，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？

【设计意图】贴近生活，创设情境，导入新课.

●活动②  整合旧知,探究新知．

观察下列运算：     

猜一猜：？　　　？

【设计意图】明确目标，激活思维，增强兴趣．

探究二  理解并掌握分式的乘除法法则．★ ▲

●活动①  大胆猜想，探究新知识.

教师提出问题后，学生思考、讨论后在小组内进行交流．

经过观察、类比不难发现：　　　

【设计意图】问题引领，激发兴趣．

●活动②  集思广益，寻找方法．

请同学们以小组为单位，再次举例探究．

【设计意图】发散思维，各抒己见．借助学生对于分数的乘除法的已有认识，学习分式的乘除法是十分自然的知识扩充，按照从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程，启发学生温故而知新．

●活动③  反思过程，发现结论．

你能归纳总结出分式的乘除法法则吗？

让学生自己试着归纳总结．

【设计意图】让学生类比发现、自己总结结论，实现学生主动参与、探究新知的目的．

●活动④  多元思维，重新认识．

学生总结，教师板书．

分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．

分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：．

【设计意图】培养学生语言表达能力，以及数学语言的精准性．

探究三  能运用法则进行计算，及解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题． ★ ▲

●活动①　运用分式的乘除法法则进行简单的计算．

 例1：计算：（1）        （2）

【知识点】约分；分式的乘除法．

【解题过程】（1）根据分式的乘法法则，．

　　　　　　（2）根据分式的除法法则，．

【思路点拨】牢记分式的乘除法法则，约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分．

【答案】 ；．

练习1：计算：（1）        （2）

【知识点】约分；分式的乘除法．

【解题过程】（1）根据分式的乘法法则， ．     

（2）根据分式的除法法则， ．

【思路点拨】牢记分式的乘除法法则，约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分，结果应化为最简分式．

【答案】 ；．

例2：计算：（1）     　　（2）

【知识点】约分；分式的乘除法．

【解题过程】

（1）根据分式的乘法法则，

．

（2）根据分式的除法法则，

．

【思路点拨】当分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．

【答案】；．

练习2：计算：（1）  （2）

【知识点】约分；分式的乘除法．

【解题过程】

（1）根据分式的乘法法则，．

（2）根据分式的除法法则，

．

【思路点拨】当分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．

【答案】；．

【设计意图】通过练习，掌握法则，熟练技能．

●活动2  解决简单的实际问题.

例3：如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg．

（1）哪种小麦的单位面积产量高？

（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

【知识点】列分式代数式；约分；分式的乘除法．

【解题过程】解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是（a2-1）m2，单位面积产量是kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2，单位面积产量是kg/m2． ∵a>1，∴(a-1)2>0，a2-1>0．由图可得(a-1)2 < a2-1．

∴<．所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高．

（2）．所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．

【思路点拨】（1）在实际问题中比较两个分式的大小时，当分子相同，只需要比较分母的大小就可以了；（2）牢记分式的除法法则．

【答案】（1）“丰收2号”小麦的单位面积产量高；（2）．

练习3：夏天到了，人们都喜欢吃西瓜．购买西瓜时，西瓜的质量越大则花费的钱越多，所以人们都希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把一个西瓜看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为(其中R为球的半径)，那么：(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？(2)西瓜瓤占整个西瓜的体积的比是多少？

【知识点】列分式代数式；约分；分式的乘除法．

【解题过程】

(1)西瓜瓤的体积是，整个西瓜的体积是；

(2) 西瓜瓤占整个西瓜的体积的比是

     ．

【思路点拨】牢记分式的除法法则．

【答案】(1) ， ；(2) ．

【设计意图】通过具体的实际问题，让学生自主探究，并进行充分讨论，最后统一认识，实现学生主动参与、探究新知的目的．把培养学生将实际问题转化为数学问题的能力贯穿于教学的整个过程之中．

●活动3

例4：已知，则的值是        ．

【知识点】非负数的性质；约分；分式的乘除法；分式的化简求值．

【解题过程】根据非负数的性质，∵，∴，，可以得到，．

根据分式的乘法法则可得，再把x、y的值代入化简后的分式得．

【思路点拨】理解并运用非负数的性质和分式的乘除法法则．

【答案】．

练习4：已知，则的值是        ．

【知识点】非负数的性质；约分；分式的乘除法；分式的化简求值．

【解题过程】根据非负数的性质，∵，∴， ，解得， ．根据分式的除法法则可得

，再把a、b的值代入化简后的分式得.

【思路点拨】理解并运用非负数的性质和分式的乘除法法则．

【答案】．

【设计意图】联系旧知，自然过渡，强化新知．

2. 课堂总结

知识梳理

（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用  分子的积  作为积的　分子　， 分母的积  作为积的　分母　．用式子表示为：．

（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母  颠倒位置  后，与被除式　相乘　．用式子表示为：．

重难点归纳

（1）理解并掌握分式的乘除法法则．

（2）合理运用法则进行分式的乘除运算．

（3）当分子和分母为多项式时的分式乘除法运算．

（三）课后作业

基础型  自主突破

1．化简的结果正确的是（    ）．

A.     　     B.    　      C.     　    D.

【知识点】约分；分式的乘除法．

【解题过程】

由分式的乘除法法则得 .

【思路点拨】注意约分时寻找到正确的公因式．

【答案】B．

2．下列计算正确的是（    ）．

A.     B.    C.    D.

【知识点】约分；分式的乘除法．

【解题过程】在A选项中，没找准公因式乱约分；在B选项中，除法变乘法时除式的分子、分母未颠倒位置；在D选项中，最后结果的符号弄掉了．

【思路点拨】找准公因式，符号不能掉．

【答案】C．

3．计算：        ．

【知识点】分式的乘除法．

【解题过程】根据分式的乘除法法则可得 .

【思路点拨】除法变乘法，分子分母颠倒位置．

【答案】．

4．计算：

【知识点】分式的乘除法．

【解题过程】根据分式的乘法法则可得

.

【思路点拨】理解法则，灵活运用．

【答案】-2．

5．已知m米布料能做a件衣服，m米布料能做b条裤子，则一件衣服的用料是一条裤子用料的多少倍？

【知识点】列分式代数式；分式的乘除法．

【解题过程】根据题意可知，一件衣服的用料为米，一条裤子的用料为米，则一件衣服的用料是一条裤子用料的倍数为倍．

【思路点拨】弄清题意，列出代数式，牢记法则进行运算．

【答案】．

6． 要使代数式有意义的x的值为（    ）．

A.    B.     C.    D.

【知识点】分式有意义的条件．

【解题过程】要使分式有意义，首先是两个分式本身的分母不能为0，然后是运算的最后结果的分式分母不能为0．所以，则使分式有意义的x的值为．

【思路点拨】先看分式本身的分母，再看分式结果的分母． 

【答案】D．

能力型　师生共研

1．先化简，再求值：，其中．

【知识点】分式的化简求值．

【解题过程】

根据题意可得， ，

然后把代入化简后的式子，最后为．

【思路点拨】牢记法则，正确计算．

【答案】25．

2．已知，则A的值为多少？

【知识点】分式的乘除法．

【解题过程】

根据题意可知， ．

【思路点拨】思维逆向，牢记法则．

【答案】

探究型　多维突破

1. 已知：，，，，……，

，则的值为多少？

【知识点】分式的乘除法．

【解题过程】

根据题意可得，，，，，……，规律为每３个为一组，有2017÷3=672……1，所以的值为．

【思路点拨】牢记法则，寻找规律，确定结果．

【答案】．

2. 有甲乙两个工程队合作修一条公路，已知甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米（其中m＞3），则甲工程队修800米所用的时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？

【知识点】列分式代数式；分式的乘除法．

【解题过程】

根据题意可得，甲工程队修800米所用的时间是天，乙工程队修600米所用的时间是天，则甲工程队修800米所用的时间是乙工程队修600米所用时间的倍数为

．

【思路点拨】弄清题意，列出代数式，牢记法则进行运算．

【答案】．

自助餐

1. 计算的结果是（    ）．

A.            B.           C.           D.

【知识点】分式的乘除法．

【解题过程】由分式的乘除法法则得．

【思路点拨】牢记分式的乘除法法则．

【答案】A．

2. 计算的结果是（    ）．

A.       　　  B.     　　   C.    　 　   D.

【知识点】约分；分式的乘除法.

【解题过程】根据分式的乘除法法则，得，故D对．

【思路点拨】最后结果应化为最简分式．

【答案】D．

3. 若分式的值等于３，则m的值为        ．

【知识点】分式的化简求值．

【解题过程】根据题意可得，即是，所以．

【思路点拨】牢记分式的乘除法法则．

【答案】．

4. 若m等于它的算术平方根，则分式的结果为        .

【知识点】算术平方根；分式的化简求值．

【解题过程】根据题意可得，分式化简为

．然后把代入，分式结果为1．

【思路点拨】理解算术平方根，牢记分式的乘除法法则．

【答案】1．

5. 化简代数式，当x满足不等式组 时，判断该代数式的符号．

【知识点】分式的乘除法；解一元一次不等式组．

【解题过程】根据题意代数式化简为

，解得不等式组的解集为-2＜x＜-1．由x的取值范围可知x+1＜0，x+2＞0，所以＜0，即该代数式的符号为负号．

【思路点拨】牢记法则，正确解得不等式组，判定符号．

【答案】负号．

6. 已知x、y、z均不为0，且满足，，则的值为多少？

【知识点】解方程组；分式的化简求值．

【解题过程】根据题意，可得，，代入分式可得．

【思路点拨】将条件中两个方程中的z看成常数，用含有z的式子表示出x、y，再代入求值即可．

【答案】．