人教版（五四学制）九上数学 28.1.3 二次函数y=a（x－h）^2＋k的图象和性质 第1课时 课件+教案

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28.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
第一课时
│ a│越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是y轴
顶点坐标是原点(0，0)
开口向上
开口向下
在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
顶点是最低点，当x=0时，y最小值=0
顶点是最高点当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
活动1
探究一: 画二次函数y=ax2+k的图象
在同一坐标系中画出二次函数的y=2x2+1， y=2x2 - 1图象.
合作探究
先列表：
探究一: 画二次函数y=ax2+k的图象
然后描点、连线，画出这两个函数的图象，如下图所示：
思考：（1）抛物线y=2x2+1， y=2x2 - 1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（2）抛物线y=2x2+1， y=2x2 - 1抛物线y=2x2有什么关系？
探究一: 画二次函数y=ax2+k的图象
结论：（1）观察图象知，抛物线y=2x2 +1的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点是（0, 1）；抛物线y=2x2 - 1的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点是（0,-1）.
（2）抛物线y=2x2 抛物线y=2x2+1
抛物线y=2x2 抛物线y=2x2-1
向上平移1个单位
向下平移1个单位
活动2
举一反三
在同一直角坐标系中，画出函数y = - x2+1， y = - x2 - 1的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线y = - x2+1得到抛物线y = - x2 – 1.
探究一: 画二次函数y=ax2+k的图象
解：列表．
描点、连线，画出这两个函数的图象，如下图所示．
可以看出，抛物线y = - x2 - 1是由抛物线y = - x2 +1向下平移两个单位得到的．
探究一: 画二次函数y=ax2+k的图象
活动1
重点、难点知识★▲
探究二: 二次函数y=ax2+k的图象与性质
归纳概括
1.二次函数y=ax2+k（a、k为常数，a≠0）的图象性质是什么？
y轴
(0，k)
开口向上
开口向下
当x=0时，y最小值=k
当x=0时，y最大值=k
(0，k)
y轴
当x＜0时，y随着x的增大而减小。当x＞0时，y随着x的增大而增大。
当x＜0时，y随着x的增大而增大。当x＞0时，y随着x的增大而减小。
2.思考：抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的形状相同；而在画某个函数的图象时，可以用描点法，也可以由与之形状相同的函数的图象平移得到．其平移规律如下：
当k＞0时，向上平移k个单位当k<0时，向下平移│k│个单位
重点、难点知识★▲
探究二: 二次函数y=ax2+k的图象与性质
活动2
应用举例
重点、难点知识★▲
探究二: 二次函数y=ax2+k的图象与性质
（2）因为抛物线的开口向下，对称轴为y轴，所以当x＞0时，y随x的增大而减小．所以当x1 > x2＞0时， y1 重点、难点知识★▲
探究二: 二次函数y=ax2+k的图象与性质
【解题过程】
【思路点拨】（1）在二次函数y=ax2+k中，根据y随x的变化情况来比较函数值的大小时，通常有三种方法：一是直接根据抛物线的开口方向和性质进行比较；二是利用数形结合思想，画出草图直观地进行比较；三是利用取特殊值法，根据自变量的大小关系取特殊值代入函数表达式中，求出函数值，然后进行比较．
重点、难点知识★▲
探究二: 二次函数y=ax2+k的图象与性质
【思路点拨】（2）抛物线y=ax2+k1与y=ax2+k2可以相互平移得到．当k1 > k2时，将抛物线y=ax2+k1向下平移（ k1 - k2 ）个单位可得抛物线y=ax2+k2 ；当k1 重点、难点知识★▲
探究二: 二次函数y=ax2+k的图象与性质
活动3
巩固练习
1.抛物线 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物 向 平移 个单位得到的．
下
重点、难点知识★▲
探究二: 二次函数y=ax2+k的图象与性质
上
y轴
（0，-9）
9
【思路点拨】由抛物线y=ax2+k的性质以及抛物线y=ax2+k与y=ax2抛物线的关系可得答案
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致是下图中的（　　）
解：A、由一次函数的图象可知a＞0 ，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾；
重点、难点知识★▲
探究二: 二次函数y=ax2+k的图象与性质
【思路点拨】先由一次函数图象得到a、c符号，再由此判断二次函数图象正确与否.
D、由一次函数的图象可知a＜0 ，c＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾．
B
C、由一次函数的图象可知a＜0 ，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾；
B、由一次函数的图象可知a＜0 , c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合；
【解题过程】
y1＜y2＜y3
重点、难点知识★▲
探究二: 二次函数y=ax2+k的图象与性质
【思路点拨】先判断抛物线的开口方向，然后根据离对称轴越近，越接近最值的方法排序.
【解题过程】
知识梳理
1.二次函数y=ax2+k的图象性质：
当a＞0时，抛物线y=ax2+k的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x=0时，取得最小值，这个值等于k；当a<0时，抛物线y=ax2+k的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，当x=0时，取得最大值，这个值等于k.
当k＞0时，向上平移k个单位当k＜0时，向下平移│k│个单位
2.抛物线平移规律：
抛物线
抛物线
重难点突破
1.解二次函数y=ax2+k的问题要注意两点：(1)二次项系数的符号⇔开口方向；二次项系数的绝对值相等⇔抛物线的形状相同；c⇔顶点的纵坐标．(2)抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2向上(下)平移得到，可简记为“上加下减”．平移的方向决定是加还是减，平移的距离决定加或减的数值．2.二次函数y=ax2+k中k的取值决定了抛物线与y轴交点的情况：当k>0时，抛物线交于y轴的正半轴；当k<0时，抛物线交于y轴的负半轴；当k=0时，抛物线经过原点.
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