人教版（五四学制）九上数学 28.1.4 二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图象和性质第1课时 课件+教案

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28.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第一课时
向上
向下
（2）抛物线的平移规律：
（h）左加右减，(k)上加下减
活动1
探究一：从旧知识过渡到新知识
复习配方
填空：（1）x2 + 4x+ 9=（x+ ）2+ ； （2）x2 - 5x+ 8=（x- ）2+ .
2
5
总结规律：
当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方．
活动2
探究一：从旧知识过渡到新知识
以旧引新
1.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，可以由函数y＝ax2的图象先向________平移____个单位，再向________平移____个单位得到．
2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向 ，对称轴是_______，顶点坐标是________．
左或右
|h|
上或下
|k|
a＞0，向上；a<0，向下
x=h
(h，k)
活动1
探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴
合作探究
重点、难点知识★▲
分析：首先要用配方法将函数写成y＝a(x－h)2＋k的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线．
活动1
探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴
重点、难点知识★▲
解：
所以它的开口向上，对称轴是x=6， 顶点坐标是（6，3）.
同学们自己画图！
归纳：一般式化为顶点式的思路：
(1)二次项系数化为1；(2)加、减一次项系数一半的平方；(3)写成平方的形式．
合作探究
活动2
探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴
小组讨论
重点、难点知识★▲
如果每次都采取“配方”，岂不是很麻烦？有更好的办法吗？
例2 求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
解：把二次函数y=ax²+bx+c的右边配方，得
活动2
探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴
重点、难点知识★▲
点拨：
1.运用配方法，可以将二次函数表达式的两种形式y=ax2+bx+c与y＝a(x－h)2＋k相互转化.
将二次函数y=ax2+bx+c（一般式）转化为y＝a(x－h)2＋k（顶点式）的形式，
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a(x－h)2＋k中，
小组讨论
活动
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质
师生共研，探究性质
解：
列表：
描点、连线：
活动
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质
观察图象知：开口向上，对称轴是x＝4，顶点坐标是(4，2)．当x>4时，y随x的增大而增大；当x<4时，y随x的增大而减小．当x＝4时，函数y取最小值2.
师生共研，探究性质
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质
思考、讨论下列问题：
1.对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？2.观察二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x的增大有什么变化规律？3.函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质吗？
活动
师生共研，探究性质
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质：
a＞0
(1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸.
简记为“左减右增”.
活动
师生共研，探究性质
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质：
a<0
(1)当a<0时，抛物线开口向下，并且向下无限延伸.
简记为“左增右减”.
活动
师生共研，探究性质
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动1
基础型例题
【解题过程】
解法一：用配方法：
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动1
【思路点拨】一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种是代入公式法．
基础型例题
【解题过程】
解法二：用公式法：
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动1
基础型例题
练习：若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为( )A.0，5 B.0，1 C.－4，5 D.－4，1
解：∵y＝(x－2)2＋k=x2-4x+4+k，∴b=-4，4+k=5，∴k=1,故选D.
D
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动1
基础型例题
（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
【解题过程】
解：(1)开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8)．
所以与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．
令x＝0，得y＝－6，所以与y轴的交点坐标为(0，－6)．
(3)当x≥1时，y随x的增大而增大．
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动1
基础型例题
练习：若点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1　 　y2（填“＞”、“＜”、“=”）．
【解题过程】
解：∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点， 1＜2＜3，
∴y1＜y2.
＜
【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动2
提升型例题
﹣10.5 B.2 C.﹣2.5 D.﹣6
【解题过程】
解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．
∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．
C
【思路点拨】确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动2
提升型例题
从上表可知，下列说法中正确的是 　 ．（填写序号）
【思路点拨】题中给出表格，可根据所给数据，求出函数解析式，再据此即可作出判断；也可根据表格中的数据，抛物线的对称性，以及二次函数的图象性质，进行判断。
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动2
提升型例题
【解题过程】
解法一：略.（请同学们自己完成）
解法二：
∵抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3,0），①选项正确；
观察表格知，在对称轴左侧，y随x增大而增大，④选项正确.
故正确的是①③④.
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动2
提升型例题
例4 将抛物线y=ax²+bx+c向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线y＝x² +2x+3，求a，b，c的值．
【解题过程】
解：∵y＝x² +2x+3=（x+1）²+2，
∴把抛物线y＝（x+1）²+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到抛物线y＝（x+4）²+4，
∴ax²+bx+c ＝（x+4）²+4= x²+8x+20，
∴a＝1，b＝8，c＝20.
【思路点拨】此题应用了逆向思维．由抛物线y=ax²+bx+c变到抛物线y＝x² +2x+3，不易求a，b，c的值；但反过来由抛物线y＝x² +2x+3平移成抛物线y=ax²+bx+c就可轻松求解．
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动2
提升型例题
【思路点拨】先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移.
D
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动3
探究型例题
例5 如图所示，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
【解题过程】
解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得－32+2×3+m=0．解得，m=3．
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动3
（2）求点B的坐标；
解：（2）二次函数解析式为y=－x2+2x+3，令y=0，得－x2+2x+3=0．解得x=3或x=－1．∴点B的坐标为（－1，0）．
探究型例题
例5 如图所示，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
【解题过程】
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动3
【思路点拨】解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，底相同且面积相等的两个三角形高相等。
探究型例题
例5 如图所示，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
【解题过程】
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动3
探究型例题
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
【解题过程】
解：（1）
因此钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动3
【解题过程】
解：（2）
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
探究型例题
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动3
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
【思路点拨】（1）将二次函数解析式配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;（2）由左右两条抛物线关于y 轴对称，得出另一条抛物线解析式，可知它们的顶点坐标，从而求得两条钢缆最低点之间的距离。
探究型例题
知识梳理
归纳二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质：
a＞0
(1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸.
(2)对称轴是直线
顶点坐标为
简记为“左减右增”.
知识梳理
归纳二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质：
a<0
(1)当a<0时，抛物线开口向下，并且向下无限延伸.
(2)对称轴是直线
顶点坐标为
简记为“左增右减”.
重难点归纳
1.在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征.
(1)抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称.
(2)如果抛物线交x轴于两点，那么这两点一定关于对称轴对称.
重难点归纳
3.直接运用公式确定对称轴和顶点坐标时，不能忽视a，b，c的值的符号。
4.一般式的二次函数图象的平移法：对于一般式的图象平移，是先将一般式化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”规则来求解．
特别提醒：对于一般式的图象平移，一般式也可以不化成顶点式，只要熟记左加右减在所有的x上加减，上加下减在函数表达式的末尾加减即可．
重难点归纳
(1)配方法：
重难点归纳
(2)公式法：
(3)图象法：
作出二次函数的图象，通过图象可以直观地观察到图象的最高点和最低点，此时的函数值为函数的最大值和最小值.
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