初中数学人教版 (五四制)九年级上册第28章 二次函数28.3 二次函数与实际问题优秀课件ppt

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28.3 二次函数与实际问题
第二课时
（1）对于任意一个二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0） ，可以利用配方把它化为顶点式 ，进而写出顶点坐标（h,k）和对称轴x=h.
（2）求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点，即令y=0即可；其与x轴交点即为（x1，0）、（x2，0）； 求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点，即令x=0即可；其与y轴交点即为（0，c）.
（3）将二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0）转化成顶点式 来求二次函数最值，当x=h时，y取最值为k.
请你画一个周长为24厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？
探究一：最大面积
活动1
创设情境，发现问题
重点知识★
画周长一定的矩形时，我们会发现矩形长、宽、面积不确定．要求其面积的最大值，我们需要用二次函数的知识去解决.
例1. 李老师计划用长为24米的篱笆，围成长方形花圃，他想请同学们帮他思考一下如何围才能使围成的花圃面积最大，最大值是多少？
设矩形宽为x厘米，则长为 厘米.
当x=6时，S取最大值为36.
探究一：最大面积
活动2
师生共研，探索解法
重点知识★
练习1. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？
【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．
解：设矩形一边长l ，则长为 厘米．
当l=15时，S取最大值为225.
探究一：最大面积
重点知识★
例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米的墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？
探究一：最大面积
活动3
变式应用
重点知识★
解：设矩形长为x（x≤8）厘米，则宽为 厘米.
∴ 当x=8时，S取最大值为64.
例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？
【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．考虑实际问题中靠墙所造成的易错点，最值不是由顶点处取到，学会区间求最值．
探究一：最大面积
活动3
变式应用
重点知识★
练习2. 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式时考虑实际问题中靠墙所造成的易错点．
解：与墙垂直的一边为x米，则 ∵ 0≤60-2x≤32. ∴ 14≤x≤30 当x=15时，S取最大值为450.
探究一：最大面积
重点知识★
小结：在实际问题中求解二次函数的最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过前面问题的对比，希望你们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．
探究一：最大面积
重点知识★
例1. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m²．(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围. (2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动1
基础性例题
解：（1）  ， 自变量x的取值范围是0＜x≤25；
例1. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m²．(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围. (2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动1
基础性例题
（2）  ∵ 20＜25， ∴ 当x=20时，y有最大值200， 即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大.
解：
【思路点拨】中间线段用x的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内．
练习. 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
解：由题意可知 ，化简得 ，设窗户的面积为S m2，则 ，∵ ，∴S有最大值．∴当x＝1.25 m时，S最大值≈4.69(m2)，即当x＝1.25 m时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m2.
练习. 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
例2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm²，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动2
提升型例题
【思路点拨】根据题目题意画出相关的图形，充分利用几何关系来求解同时写出自变量x的取值范围内．
解：如图，阴影部分的重叠部分的面积为y当0≤x≤2时，如下面的左边的图形所示，PQ=BP=x，此时y=PQ²=x²，其中0≤x≤2；当2≤x≤4时，如下面的右边的图形所示， PQ=BP=x ，此时PC=BC-BP=4-x，其中2≤x≤4；
，其中2≤x≤4；
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习. 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
【思路点拨】根据图形之间的关系，表示出两个正方形的边长，进而表示出两个正方形的面积之和，转化为二次函数求最值．
解：令DE=x，AD=a，则AE=a-x，所以面积之和 ，所以当 时，面积最小，即E应选在AD的中点.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（1）横向甬道的面积为： （2）依题意： 整理得： 解得：x1=5， x2 =150，（舍去） 故甬道的宽为5米.
解：
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
（3）设建设花坛的总费用为y万元． 则： 当 时，y的值最小． ∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米， ∴ 当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元．
例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米．
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
解：
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形．解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最大，最大面积是____________．
【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的关系式，进而列式转化为二次函数求解．
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最大，最大面积是____________．
两腰与下底的和为4得到：下底为
解：底角为120°，则高和腰之间的夹角为30°，水渠深度为 x ,则得到： ，腰长
所以上底为设横断面的面积为S，则
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
例4. 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？(2)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(3)t为何值时S最小？求出S的最小值.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动3
探究型例题
例4. 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动3
探究型例题
解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8，则AP=x，QB=2x， ∴ PB=6﹣x．∴ ×（6﹣x）2x=8，解得x1=2， x2 =4，所以2秒或4秒后△PBQ的面积等于8.
例4. 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(2)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动3
探究型例题
解：（2）第t秒钟时，AP=t cm，故PB=(6-t) cm，BQ=2t cm，故
例4. 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(3) t为何值时S最小？求出S的最小值.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动3
探究型例题
∴ 当t=3秒时，S取最小值为63.
解：（3）
练习. 曾经有这样一道题： 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？（该题答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m²）
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与该例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
解：（1）由已知可以得到：
此时窗户的透光面积
（2）设AB=x，则
设窗户的面积为S，由已知可以得到
与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
知识梳理
1. 二次函数的三种形式：一般式
交点式
顶点式
2. 二次函数的三种形式之间的相互转化：一般式可以利用配方化为顶点式 ，进而可以得到顶点坐标公式 ，对称轴 ．交点式可以先化为一般式再配方转化为顶点式，有时也可以利用交点式快速的求对称轴 .
3.利用二次函数求矩形周长一定的情况下，矩形面积的最大值，在求解的过程中需要标注自变量x的取值范围，求解的过程中注意是顶点最值还是区间最值，这里往往难度较大.
重难点归纳
1. 利用二次函数的一般式求最值，有两种思路，第一可以先通过配方
第二可以直接利用顶点坐标公式 来求解.
把一般式化为顶点式，再利用顶点式求函数的最值；
2. 实际问题中已知矩形的周长来求解面积最大，此时需要结合题意求解相关的边长，列出方程或是等式转化为二次函数的形式，但需要注意实际问题中往往需要注明自变量x的取值范围.
3. 强化利用二次函数求面积时，应该用一个变量来表示另一个变量，进而表示出面积，写出自变量的取值范围，再结合二次函数求最值的方法来求解，在求解的过程中应该注意是顶点最值还是区间最值，最后还需检验解的合理性．4. 数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.
重难点归纳
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