湖北省孝感市等三地2023届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省孝感市等三地2023届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省孝感市等三地九年级（下）开学
数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（　　）
A．10℃ B．0℃ C．﹣10℃ D．﹣20℃
2．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（　　）

A．msinα B．mcosα C．mtanα D．
4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
5．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
①四边形EFGH一定是平行四边形；
②若AC＝BD，则四边形EFGH是菱形；
③若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．①②③
6．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．

则数轴上点B所对应的数b为（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
7．定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
8．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE＝S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．2022年2月4日北京冬奥会开幕，据统计当天约有57000000人次访问了奥林匹克官方网站和APP，打破了冬奥会历史纪录，这个访问量可以用科学记数法表示为 　 　人次．
10．一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 　 　．
11．如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 　 　．

12．若点P（2，a）关于x轴的对称点为Q（b，1），则（a+b）3的值是 　 　．
13．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．直线l经过点A，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CF⊥l于点F．若BE＝2，CF＝5，则EF＝　 　．

14．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝5，DE＝2，AC＝15，则EF＝　 　．

15．当自变量﹣1≤x≤3时，函数y＝|x﹣k|（k为常数）的最小值为k+3，则满足条件的k的值为　 　．
16．如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．解方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0；
（2）（x+1）2＝2（x+1）．
18．已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．

19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．

20．2022年冬奥会在我国北京和张家口举行，如图所示为冬奥会和冬残会的会徽“冬梦”“飞跃”，吉祥物“冰墩墩”“雪容融”，将四张正面分别印有以上4个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上洗匀．

（1）若从中随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上的图案恰好为吉祥物“冰墩墩”的概率是 　 　；
（2）若从中一次同时随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的图案正好一张是会徽另一张是吉祥物的概率．
21．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．

22．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
23．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝SABC+SABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为　 　cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．

24．在△ABC中，∠B＝90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当∠BAC＝50°时，则∠AED＝　 　°；
（2）当∠BAC＝60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD＝∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE﹣PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为 　 　，并证明．



参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．解：∵零上10℃记作+10℃，
∴零下10℃记作：﹣10℃，
故选：C．
2．解：设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
3．解：由题意得：
PT⊥PQ，
∴∠APQ＝90°，
在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，
∴PT＝PQ•tanα＝mtanα（米），
∴河宽PT的长度是mtanα米，
故选：C．
4．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
5．解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH∥BD，GF∥BD，EF∥AC，EH＝BD，EF＝AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC＝BD，则EF＝EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故选：D．
6．解：∵5.4÷（4+5）＝0.6（cm），
∴1.8÷0.6＝3，
∴﹣5+3＝﹣2，
故选：C．
7．解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．

∴y＝，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
故选：C．
8．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠APB＝180°﹣（∠BAD+∠ABE）＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，
∴∠PAH＝∠BAP＝∠PFD，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH＝PD，
∴AD＝AP+PD＝PF+PH．故②正确．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，
∵∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH＝S△EPD，
∴S△APH＝S△AED，故⑤正确，
∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
＝S△ABP+S△APH+S△PBD
＝S△ABP+S△FPD+S△PBD
＝S△ABP+S△FBP
＝2S△ABP，故④不正确．
若DH平分∠CDE，则∠CDH＝∠EDH，
∵DH∥BE，
∴∠CDH＝∠CBE＝∠ABE，
∴∠CDE＝∠ABC，
∴DE∥AB，
这个显然与已知条件不符，故③错误，
综上所述，正确的结论有3个，
故选：B．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．解：57000000人次＝5.7×107人次．
故答案为：5.7×107．
10．解：（x﹣2）（x+7）＝0，
x﹣2＝0或x+7＝0，
x1＝2，x2＝﹣7，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣7．
11．解：由图可得，
“神”字对面的字是“月”，
故答案为：月．
12．解：∵点P（2，a）关于x轴的对称点为Q（b，1），
∴a＝﹣1，b＝2，
∴（a+b）3＝（﹣1+2）3＝1，
故答案为：1．
13．解：由题意可知，CF⊥EF，BE⊥EF，
∴∠CFA＝∠AEB＝90°，
∴∠FCA+∠CAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAF＝90°，
∴∠BAE＝∠ACF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF＝BE，FC＝AE，
∴EF＝AE+AF＝BE+FC，
∵BE＝2，CF＝5，
∴EF＝7，
故答案为：7．
14．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，DE＝2，AC＝15，
∴＝，
解得：DF＝6，
∴EF＝DF﹣DE＝4，
故答案为：4．
15．解：当x≥k时，函数y＝|x﹣k|＝x﹣k，此时y随x的增大而增大，
而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+3，
∴x＝﹣1时取得最小值，即有﹣1﹣k＝k+3，
解得k＝﹣2，（此时﹣1≤x≤3，x≥k成立），
当x＜k时，函数y＝|x﹣k|＝﹣x+k，此时y随x的增大而减小，
而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+3，
∴x＝3时取得最小值，即有﹣3+k＝k+3，
此时无解，
故答案为：﹣2．
16．解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
而∠BAD的度数不确定，
∴∠ADC与∠CAD不一定相等，
∴AC与CD不一定相等，
故①错误；
②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠B＝∠AED＝45°，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
∵AE＝AD，AB＝BC，
∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，
∴AD2＝AF•BC，
故②正确；
④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，
∴△ADH∽△BAH，
∴＝，
∴AH2＝DH•BH，
而BH与AC不一定相等，
故④不一定正确；
③∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADG＝45°，
∵AH⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∵AD＝3，
∴AG＝DG＝，
∵DH＝5，
∴GH＝＝＝，
∴AH＝AG+GH＝2，
由④知：AH2＝DH•BH，
∴（2）2＝5BH，
∴BH＝8，
∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，
故③正确；
本题正确的结论有：②③
故答案为：②③．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．解：（1）∵（x﹣1）2﹣4＝0，
∴（x﹣1）2＝4，
则x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣1）＝0，
则x+1＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
18．证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，
∴．
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
19．解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
在Rt△DEF中，
∵DF＝0.5m，EF＝0.3m，
由勾股定理得DE＝＝0.4（m），
∵CD＝10m，
∴＝，
∴BC＝7.5（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），
答：树高AB是9m．
20．解：（1）抽取的卡片上的图案恰好为吉祥物“冰墩墩”的概率是；
故答案为：；

（2）把“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”“雪容融”图案的卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两张卡片的图案正好一张是会徽另一张是吉祥物的有8种，
则两张卡片上的图案正好一张是会徽另一张是吉祥物的概率是＝．
21．（1）证明：∵＝，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD＝．
在Rt△ODE中，
∵DE＝sin60°•OD＝＝，
∴S△BOD＝＝＝，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝．
∴S阴影＝．

22．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
23．解：（1）由题意可得，
AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，
则△EAC的面积是：＝2（cm2），
即四边形ABCD的面积为2cm2，
故答案为：2；
（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，
在△GFH和△NFO中，
，
∴△GFH≌△NFO（SAS），
∴FH＝FO，
∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，
∴HM＝OM，
在△HFM和△OFM中，
，
∴△HFM≌△OFM（SSS），
∵△OFM的面积是：＝2cm2，
∴△HFM的面积是2cm2，
∴四边形HFOM的面积是4cm2，
∴五边形FGHMN的面积是4cm2．

24．解：（1）如图1中，

∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA＝EC＝ED，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC＝280°，
∴∠AED＝360°﹣280°＝80°，
故答案为：80．

（2）①结论：△ADE时等边三角形．
理由：如图2中，

∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA＝EC＝ED，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACD＝180°﹣30°＝150°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC＝300°，
∴∠AED＝360°﹣300°＝60°，
∴△ADE时等边三角形；

②结论：PE﹣PD＝2AB．
理由：如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′．

当点P在ED′的延长线上时，PE﹣PD的值最大，此时PE﹣PD＝ED′，
∵∠CFD+∠CFE＝180°，∠CFD＝∠CAE，
∴∠CAE+∠CFE＝180°，
∴∠ACF+∠AEF＝180°，
∵∠AED＝60°，
∴∠ACF＝120°，
∴∠ACB＝∠FCD＝30°，
∴∠DCF＝∠FCD′＝30°，
∴∠DCD′＝60°，
∵CD＝CD′，
∴△CDD′时等边三角形，
∴DC＝DD′，∠CDD′＝∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝∠EDD′，
∵DA＝DE，
∴△ADC≌△EDD′（SAS），
∴AC＝ED′，
∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB，
∴PE﹣PD＝2AB．
故答案为：PE﹣PD＝2AB．