初中数学浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形5.1 矩形课后复习题

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第5章　特殊平行四边形5.1　矩形第2课时　矩形的判定基础过关全练知识点　矩形的判定1.【新考法】(2022山东聊城中考)要检验一个四边形的桌面是不是矩形,可行的测量方案是              (　　)A.测量两条对角线是否相等B.度量两个角是不是90°C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D.测量两组对边是否分别相等2.【一题多变】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC交BD于点O,再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形              (　　)A.AB∥CD,AB=AD　　　　B.OA=OC,BC=CDC.AB=CD,AC=BD　　　　D.AD=BC,AC=BD[变式]已知平行四边形ABCD,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是              (　　)A.①　　　　B.②   C.③　　　　D.④3.(2022甘肃中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何辅助线的前提下,要想四边形ABCD成为一个矩形,只需添加的一个条件是　　　　. 4.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠ABC=90°,∠2=60°,则∠1=　　　　°. 5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠1+∠2=90°,试作出四边形ABCD各边的中点E、F、G、H,并证明四边形EFGH是矩形.能力提升全练6.如图,在矩形ABCD中,AB=10,P是CD边上一点,M、N、E分别是PA、PB、AB的中点,有以下四种情况,在哪一种情况下四边形PMEN不可能为矩形              (　　)A.AD=3　　　　B.AD=4　　　　C.AD=5　　　　D.AD=67.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连结MN,则线段MN的长的最小值为　　　　. 8.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数. 9.如图,将▱ABCD的边AB延长至点E,使得AB=BE,连结DE、EC、BD,DE交BC于点O.(1)求证:△ABD≌△BEC;(2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形. 10.如图,点E为四边形ABCD外一点,AD∥BC,AD=BC,BC⊥CD,AE=DE,连结EB、EC,分别与AD相交于点F、G.求证:(1)△EAB≌△EDC;(2)∠EFG=∠EGF. 11.如图,在▱ABCD中,AC⊥AD,作∠ECA=∠ACD,CE交AB于点O,交DA的延长线于点E,连结BE.(1)求证:四边形ACBE是矩形;(2)连结OD,若AB=4,∠ACD=60°,求OD的长. 素养探究全练12.【推理能力】如图,在平面直角坐标系中,点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q<n),点B,D在直线y=x+1上.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,且AB∥CD,CD=4,BE=DE,△AEB的面积是2.求证:四边形ABCD是矩形.
答案全解全析基础过关全练1.C　测量两条对角线交点到四个顶点的距离是否相等,如果相等,那么对角线互相平分且相等,就可以判定这个四边形桌面是矩形,反之则不是矩形,故选项C符合题意.2.D　再添加AD=BC,AC=BD,可判定四边形ABCD为矩形.理由:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形,∵AC=BD,∴▱ABCD为矩形.[变式]B　当AC=BD时,▱ABCD是矩形.3.∠A=90°(答案不唯一)解析　答案不唯一.如:添加∠A=90°,理由如下:∵AB∥DC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.4.30解析　∵在平行四边形ABCD中,∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.∴AO=OC=BO=OD,∴∠1=∠OBC,∵∠2=60°,∠2=∠1+∠OBC,∴2∠1=60°,解得∠1=30°.5.解析　作出四边形ABCD各边的中点E、F、G、H,如图,连结EF,FG,GH,HE,则EF∥AC,GH∥AC,EH∥BD,FG∥BD,所以EF∥GH,EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.因为∠1+∠2=90°,所以∠BOC=90°,即AC⊥BD.因为AC∥EF,FG∥BD,所以FG⊥EF,所以四边形EFGH是矩形.能力提升全练6.D　∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=CD=10,∠C=∠D=90°,∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点,∴ME、NE是△ABP的中位线,∴ME∥BP,NE∥AP,∴四边形PMEN是平行四边形,当∠APB=90°时,平行四边形PMEN是矩形,设DP=x,则CP=10-x.由勾股定理得AP2=AD2+x2,BP2=BC2+(10-x)2,AP2+BP2=AB2,∴AD2+x2+AD2+(10-x)2=102,∴AD2+x2-10x=0,当AD=3时,x2-10x+9=0,解得x=1或x=9,所以A不符合题意;当AD=4时,x2-10x+16=0,解得x=2或x=8,所以B不符合题意;当AD=5时,x2-10x+25=0,解得x1=x2=5,所以C不符合题意;当AD=6时,x2-10x+36=0,(-10)2-4×1×36=-44<0,方程无解,所以D符合题意,故选D.7.解析　如图,连结AD,∵∠BAC=90°,BA=3,AC=4,∴BC==5,∵DM⊥AB,DN⊥AC,∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°,∴四边形DMAN是矩形,∴MN=AD,∴AD的长最小时,MN的长最小,当AD⊥BC时,AD的长最小,∵S△ABC=BC·AD,∴×5·AD,解得AD=.故线段MN的长的最小值为.8.解析　(1)证明:∵AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD,∴∠DAO=∠ADO,∴AO=DO,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,∵∠AOB∶∠ODC=4∶3,∴∠AOB∶∠ABO=4∶3,∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO=3∶4∶3,∴∠ABO=54°,∵∠BAD=90°,∴∠ADO=90°-54°=36°.9.证明　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,又∵AB=BE,∴BE∥CD,BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形,∴BD=CE,∴△ABD≌△BEC(SSS).(2)由△ABD≌△BEC可得∠A=∠CBE,∵∠BOD=2∠A,∴∠BOD=2∠CBE,∵∠BOD=∠OBE+∠OEB,∴∠OBE=∠OEB,∴BO=OE,由(1)可知四边形BECD是平行四边形,∴BC=2BO,ED=2OE,∴BC=DE,∴平行四边形BECD是矩形.10.证明　(1)在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,BC⊥CD,∴四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°.∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA.∴∠EAB=∠EDC.∴△EAB≌△EDC.(2)∵△EAB≌△EDC,∴∠AEF=∠DEG.∵∠EAD=∠EDA,∴∠EAF+∠AEF=∠EDG+∠DEG.即∠EFG=∠EGF.11.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AC⊥AD,∴∠EAC=∠DAC=90°,∵∠ECA=∠ACD,∴∠AEC=∠ADC,∴CE=CD,∴AE=AD=BC,∵AE∥BC,∴四边形ACBE是平行四边形,∵∠EAC=90°,∴四边形ACBE是矩形.(2)如图,过点O作OF⊥DE于F,∴∠OFA=90°.由(1)知四边形ACBE是矩形,∴OA=OC=OB=OE,∵OF⊥DE,∴AF=EF,∴OF=AC,∵∠ACD=∠ACO=60°,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA=2,∴OF=1,∴AF=,∴EF=,∴AD=AE=2,∴DF=AF+AD=,∴OD=.素养探究全练12.证明　∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∠BAC=∠ACD,又∵BE=DE,∴△ABE≌△CDE.∴AE=CE.∴四边形ABCD为平行四边形.∴AB=CD=4,易知AB∥CD∥x轴,∴m=6.∵点B在直线y=x+1上,∴n=4,∴A(2,4),B(6,4),∵△AEB的面积是2,∴平行四边形ABCD的面积是8,又∵CD=4,∴平行四边形ABCD的高是2,∴q=2,把q=2代入直线y=x+1得p=2,∴点D(2,2),∴点C(6,2).∴AD∥BC∥y轴,易知∠ADC=90°,∴四边形ABCD是矩形.