重庆市第八中学2023届高三数学下学期高考适应性月考（七）试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第八中学2023届高三数学下学期高考适应性月考（七）试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了 若集合，则， 若复数， 若向量满足，则， 若为奇函数，则， 若，则， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（七）数学一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，再求出集合B，最后根据交集的定义计算可得；【详解】由已知得，.所以.故选：A.2. 若复数（是虚数单位），则对应的点在（    ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简得复数，再根据共轭复数与复数的几何意义，可得共轭复数应的点所在象限.【详解】因为，则，因此，对应的点，在第三象限.故选：C.3. 若向量满足，则（    ）A.  B.  C. 8 D. 12【答案】A【解析】【分析】根据数量积的运算求得，再利用模长与数量积的关系求解即可.【详解】，得，所以.故选：A.4. 已知函数，若是函数图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据余弦函数的对称轴公式求解，再由对称中心公式求得结果.【详解】因为是函数图象的对称轴，所以，则又因为，所以.令，得，所以函数图象的一个对称中心为.故选：A.5. 文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简单的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个“”，两个“”和两个“”.把它们从上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为“”，同一种图形不相邻，那么可以传递的信息数量有（    ）A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个【答案】B【解析】【分析】列出所有的基本事件即可..【详解】列举得：，，共10种，故选：B.6. 若为奇函数，则（    ）A. 2 B. -2 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义分类讨论求解即可【详解】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称.若，则的定义域不关于原点对称，所以的定义域为且，从而，解得.所以，定义域为.令，得经检验，为奇函数，故选：C.7. 半径均为R的四个球两两之间有且仅有一个公共点，在以四个球心为顶点的三棱锥的内部放一个小球，小球体积的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知所求小球即棱长为的正四面体的内切球，根据几何性质求得内切球半径与R的关系，即可得小球的体积最大值.【详解】所得三棱锥是边长为的正四面体，不妨记为，令体积最大的小球半径为，球心为，连接并延长交平面于点，则平面，为正三角形的中心，且，连接，，则由正弦定理得，所以，在Rt中，，在Rt中，由得，则所以小球的最大体积为.故选：D.8. 若，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数研究的单调性及最值，得出，即，再进一步计算和放缩得到结果.【详解】令，，所以在上单调递减，又，所以，即.令，则，则，即，所以.由，得，所以，综上.故选：.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根据条件求出，的值可得答案.【详解】由条件，，所以，故A正确，B错误；因为，所以，故C正确，错误，故选：AC.10. 如下图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】根据线面平行判定定理逐项验证即可.【详解】对于A，如下图，连接，则，又平面，则平面，所以不平行平面，故A不正确；对于B，因为，平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，如下图，取中点，连接，由正方体得，又，所以六点共面，故C不正确；对于D，如下图，连接交于，连接，在正方体中，由于四边形为正方形，所以为中点，又为中点，所以，平面，平面，所以平面，故D正确.故选：BD.11. 已知抛物线，过焦点的直线与交于两点，与关于原点对称，直线和直线的倾斜角分别是，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】作轴于，作轴于，则，可设直线的方程为，联立直线与抛物线可得交点坐标关系，结合倾斜角与斜率的坐标关系逐项判断即可得答案.【详解】作轴于，作轴于，则由，则，抛物线的焦点，因为，所以，即，所以直线的斜率存在设为，可得直线的方程为，与抛物线方程联立，整理得，所以，则，对于A：，所以，故A错误；对于B：因为，所以，所以直线与的倾斜角互补，即，故B正确；对于C：因为，所以，即，因为，所以，故错误；对于D：因为，所以，，所以，所以，即，故D正确，故选：BD.12. 函数与的定义域为，且.若的图像关于点对称.则（    ）A. 的图像关于直线对称 B. C. 的一个周期为4 D. 的图像关于点对称【答案】AC【解析】【分析】根据条件可得，即可判断A，然后可得，即可判断B，由条件可得，即可判断C，举特例可判断D.【详解】A选项：由，得，又，所以的图像关于对称，A选项正确；B选项：由的图像关于点对称，得，由选项结论知，所以，从而，故，即的一个周期为4，因为，所以B选项错误；C选项：由，及，则，得，函数的周期为C选项正确；D选项：取，又，与的图像关于点对称矛盾，D选项错误，故选：AC.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设随机变量，若，则的最大值为___________.【答案】3【解析】【分析】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据方差运算公式结合基本不等式求得的最大值.【详解】随机变量，由可得，所以又当且仅当时，成立，故的最大值为.故答案为：.14. 若直线与圆心为的圆相交于两点，则___________.【答案】【解析】【分析】过点作，垂足为，求出圆心到直线的距离，然后可求出，即可得到答案.【详解】过点作，垂足为，圆心到直线的距离为，所以，即，所以.故答案为：15. 已知正实数满足，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解.【详解】由，得，令，则在上单调递增，所以，即，又因为是正实数，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：16. 已知点在函数的图象上，过点作曲线的两条切线，，若的倾斜角互补，则___________.【答案】##【解析】【分析】设分别与函数相切于两点，根据导数的几何意义可得，解方程即可得的值.【详解】对于函数，则，则可设分别与函数相切于两点，所以，即，解得.故答案为：.四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 记数列的前项和为，且.（1）若，求；（2）若是等差数列，证明：.【答案】（1）答案见解析    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，得，代入即可求得的值，从而可得；（2）若是等差数列，设公差为，结合，可得，即可求得的值，证得结论.【小问1详解】因为，所以，即①，若，则由①得：，解得或，当时，，当时，.【小问2详解】证明：若是等差数列，设公差为，则由①得：，化简得，即，所以且，得证.18. 已知的内角所对的边分别为.（1）求；（2）为内一点，的延长线交于点，___________，求的面积.请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.①的三个顶点都在以为圆心的圆上，且；②的三条边都与以为圆心的圆相切，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据已知等式结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换，即可得角的大小；（2）选择条件①，利用三角形的外心为，根据正弦定理、余弦定理可得为等边三角形，再利用面积公式可得的面积；选择条件②，利用三角形的内心为，利用等面积法求得，再根据余弦定理得，即可求得的面积.【小问1详解】在中，因为，所以，由正弦定理，得，因为，所以，化简，得，因为，所以.【小问2详解】选条件①：设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，由题意知：，由余弦定理知：，所以.在中，由正弦定理知：，所以，从而，所以为等边三角形，的面积.选条件②：由条件知：，由，得，因为，所以，即，由（1）可得，即，所以，即，又因为，所以，所以的面积.19. 如图，在三棱锥中，平面，点满足平面，且在平面内的射影恰为的重心.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知先求出平面法向量，再求，进而得到直线与平面所成角的正弦值；（2）先求出平面的法向量，点到平面的距离利用距离公式求解即可.【小问1详解】由条件，以为原点，方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.设，则，则重心.设，则，,因为平面，所以，则，即.
,因为平面，且，所以，即，又由，得.解得.，.所以，直线与平面所成角的正弦值为.【小问2详解】，设平面的法向量为，则，即，取，又，点到平面的距离.20. 某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A，B，C，D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A，B，C，D四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A种疫苗后，再为居民们接种，记第n位居民（不包含张医生）接种A，B，C，D四种疫苗的概率分别为.（1）第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；（2）证明：；（3）张医生认为，一段时间后接种A，B，C，D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A，B，C，D四种的概率，解释张医生观点的合理性.参考数据：【答案】（1）第2位居民接种疫苗的概率最大    （2）证明见解析    （3）答案见解析【解析】【分析】（1）易知第1位居民接种疫苗的概率分别为，再分若第2位居民接种则第1位居民接种BCD，若第2位居民接种B则第1位居民接种CD，利用互斥事件和独立事件的概率求解；（2）由题意得到，同理，两式相减，结合，证明，同理可得；（3）由，得到故数列是公比为的等比数列求解,进而得到，比较.【小问1详解】解：第1位居民接种疫苗的概率分别为，第2位居民接种疫苗的概率；第2位居民接种疫苗的概率；同理，第2位居民接种疫苗的概率也等于.故第2位居民接种疫苗的概率最大.【小问2详解】证明：由于第位居民接种疫苗概率分别为，则，同理：，相减得，又，同理可得，故.【小问3详解】因为，所以，故数列是公比为的等比数列.又由，故，即，从而，同理，所以，第10位居民接种疫苗概率应该相差无几.第位居民接种疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生的话合理.21. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆相交于两点（其中在第一象限），且与关于轴对称，延长交㮋圆于点.（1）设直线的斜率分别为，证明：为定值；（2）求直线的斜率的最小值.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）设，由可得，表示直线、的斜率，证得结果即可；（2）设，直线与椭圆联立，得出韦达定理，表示点的坐标，得出直线的斜率结合均值不等式得出结果.【小问1详解】设，由可得.直线的斜率，直线的斜率，此时，所以为定值.【小问2详解】设，直线的方程为，直线的方程为，联立整理得.由，可得，所以.同理.所以，，所以.因为，所以，等号当且仅当时取得，所以直线的斜率的最小值为.22. 已知函数，其中.（1）若，讨论的单调性；（2）若不为的极值点，求.【答案】（1）在上单增，在上单减    （2）【解析】【分析】（1）若，则，求导解不等式即可得函数的单调区间确定函数单调性；（2）结合函数的极值情况，确定导函数的单调性从而得的取值情况.【小问1详解】若，则，.令，得；，得，所以在上单增，在上单减.【小问2详解】由（1）知，只需讨论时的情形，，其中，令，则，其中，令，则，其中（这里有.证明：令，则，令，解得，所以在上单增，在上单减，故）因为，且，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即在上单增.①当，即时，在上单减，在上单增，此时在上恒成立，所以在上单增，不为的极值点，符合题意.②当，即时，取，则当时，故存在，使得，则在上单减，在上单增，又因为，所以在上单减，在上单增，此时为的极小值点，不合题意.③当，即时，取，则当时，故存在，使得，则在上单减，在上单增，又因为，所以在上单增，在上单减，此时为的极大值点，不合题意.综上所述，