2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一上学期第一阶段考（月考）数学试题含解析

这是一份2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一上学期第一阶段考（月考）数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一上学期第一阶段考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据补集、交集的定义计算可得.【详解】解：因为，所以，又，所以.故选：B2．设命题：，，则以下描述正确的是（    ）A．为假命题，是“，”B．为假命题，是“，”C．为真命题，是“，”D．为真命题，是“，”【答案】B【分析】通过取特殊值，使得是有理数，所以为假命题【详解】当时，，与，矛盾，所以，，所以为假命题而是，故选：B3．已知，则函数的解析式是（    ）A． B．（且）C． D．【答案】B【分析】根据换元法求解析式即可.【详解】解：由题知且，令，则（且），∴（且），∴（且）．故选：B．4．若实数满足，则的最小值为A． B．2 C． D．4【答案】C【详解】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.【解析】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． 5．函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【分析】利用配方法可得,则,,根据二次函数的对称性即可判断的范围【详解】由题,,因为,,且对称轴为,所以,因为在区间上的最大值是5,最小值是1,所以故选：B【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题6．若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（        ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分离参数为，转化为求函数的值域．【详解】由题意在内有解，，时，，时，，所以．故选：A．7．若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，即求，利用基本不等式，可解得，进而得到，进而可求解.【详解】至少存在一组使得成立，即，又由两个正实数满足，可得， 当且仅当，即时，等号成立，，故有，解得，故，所以实数的取值范围是故选：C.8．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）A．  B． C．  D． 【答案】C【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.【详解】由得 ，若，则不等式无解．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．综上，满足条件的的取值范围是故选：C． 二、多选题9．若a，b，，则下列命题正确的是（    ）A．若且，则 B．若，则C．若且，则 D．【答案】BCD【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；对于B，等价于，又，故成立，故B正确；对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；对于D，等价于，成立，故D正确.故选：BCD.10．下面命题正确的是（    ）A．“”是“”的必要不充分条件B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件C．设，则“”是“且”的充分不必要条件D．“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B选项；由“”，则不一定有“且”，即可判断C选项；若，则或，结合必要不充分条件的定义，即可判断D选项.【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确；对于B，若，则，所以一元二次方程有两个根，且一正一负根，若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确；对于C，若“”，则不一定有“且”，而若“且”，则一定有“”，所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确；对于D，若，则或，则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：ABD.11．下面结论正确的是（        ）A．若，则的最大值是B．函数的最小值是2C．函数（）的值域是D．，且，则的最小值是3【答案】ACD【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C．【详解】时，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，从而的最大值是，A正确；，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错；时，，，因为，所以时，，时，，时，．所以值域是，C正确；，且，，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，D正确．故选：ACD．12．已知，，且，则（    ）A．的取值范围是B．的取值范围是C．的最小值是3D．的最小值是【答案】BD【分析】根据基本不等式可求得，判断A;将变形为结合基本不等式，判断B；由整理得到结合基本不等式可判断C,D.【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，即，解得，即，A错误；对于B, 由，,，当且仅当时取等号，得，所以,又，所以，B正确；对于C, 由，，，得，则 ，当且仅当，即时等号成立,但，所以．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：，,,，当且仅当，即时等号成立，D正确，故选：BD 三、填空题13．已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，则a的值为________．【答案】5或－3【解析】根据元素与集合关系列方程，再代入验证，即得结果.【详解】因为9∈(A∩B)，所以9∈A，即2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意；当a＝3时，A＝，a－5＝1－a＝－2，B中有元素重复，不符合题意，舍去；当a＝－3时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意，综上所述，a＝5或a＝－3.故答案为：5或－3【点睛】本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.14．若函数的定义域为，则的值为_________．【答案】【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．【详解】由题意的解是，所以，解得，，所以．故答案为：．15．若关于x的二次方程的两个根分别为，且满足，则m的值为______【答案】【分析】先求出方程有两根时的范围，再由根与系数关系将用表示，建立关于的方程，求解即可.【详解】关于x的二次方程有两个根，则，，又，即，解得或（舍去），的值为.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.16．已知函数，若且，则的取值范围是 _____．【答案】【分析】确定函数的单调性，由已知得出的范围，及的关系，把表示为的函数，然后由二次函数性质得结论．【详解】时，是增函数，且，时，是增函数，且，如图，且，则，，由得（负值舍去），因此，，，，，所以时，取得最大值，时，取得最小值，所以的取值范围是．故答案为：． 四、解答题17．设集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由根式、分式性质求定义域得集合A，根据已知及集合并运算求即可；（2）求，根据交集结果，讨论、求参数m的范围.【详解】(1)对于集合A：，得，故；当时，所以.(2)由或，而，当时，，即满足题设；当时，，可得；综上，.18．已知命题 “，”，命题 “，”．(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；(2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据命题是真命题，参变分离，构造函数求最值，得实数的取值范围；（2）根据命题和中有且仅有一个是假命题，分别求解命题和是真命题和假命题时实数的取值范围，按要求即可得实数的取值范围．【详解】(1)解：当命题是真命题，则不等式对满足的一切恒成立．由，得．设，则在上单调递增，在上单调递减，，．因此，实数的取值范围是．(2)解：当命题是真命题时，实数的取值范围是，（1）当命题是假命题时，实数的取值范围是．…………………（2）当命题是假命题时，则命题“，”是真命题．由，得，，且当时取等号，的最小值是．当命题是假命题时，实数的取值范围是．…………………（3）当命题是真命题时，实数的取值范围是．…………………（4）当命题是真命题且是假命题时，由（1）、（3），得实数的取值范围是；当命题是假命题且是真命题时，由（2）、（4），得实数的取值范围是；综上，实数的取值范围是或．19．（1）已知、、、是实数，求证：（2）已知，，，且，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】对不等式进行化简，利用完全平方公式、基本不等式证明即可；【详解】证明：（1），当且仅当时，取等号，对任意实数，，，，成立． （2）20．设函数．(1)若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；(2)若，解关于的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）把不等式整理为关于的不等式，然后利用其在时恒成立可得关于的不等关系从而得结论；（2）不等式化简为，然后分类讨论求解．【详解】(1)不等式对于实数时恒成立，即，，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；(2)不等式，即，当时，，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，，，当，即时，或，当，即时，或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.21．某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．(1)求x关于t的函数；(2)将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【答案】(1)(2)(3)当促销费投入7万元时，企业年利润最大 【分析】（1）利用待定系数法求解即可.（2）利用销售收入减去成本即得利润.（3）利用基本不等式处理该最值问题.【详解】(1)由题意：与成反比例，所以设，                           将t＝0，x＝1代入，得k＝2，                    所以.(2)当年生产x(万件)时，年生产成本为：，        当销售x(万件)时，年销售收入为：，       由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，所以即：.(3)由（2）有：        因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，，即.所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大．22．对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．(1)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若，且，求使得等式成立的x的取值范围；(3)在（2）的条件下，求在区间上的最小值．【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根据条件可得对任意的恒成立，利用根的判别式即可求出取值范围；（2）整理为，表示出，分类讨论即可；（3）由（2）得到，，，分类讨论求出取值范围进而得最小值.【详解】(1)解：由题意可得，（2）恒成立，即对任意的恒成立，所以，解得，；(2)解：因为，所以，因为，，所以，时，；①当时，，所以，又因为，所以；②当时，，所以，因为，，所以，，所以上式不成立；综上可知，的取值范围是；(3)由（2）知，且，即，所以当时，，所以（1），当时，，①当时，又，即时，；②当时，即时，（6）；综上，，，，由，解得时，；由，解得时，；当，即时，（6）；综上．【点睛】本题考查利用二次函数根的判别式求参数取值范围，考查新定义函数的最值，分类思想，属于难题．