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2023年广东省佛山市中考数学模拟试卷（三）（含答案）
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这是一份2023年广东省佛山市中考数学模拟试卷（三）（含答案），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省佛山市2023年中考数学模拟试卷（三）
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．2a3+3a3=5a6 B．a10÷a5=a2
C．(-2a3)3=8a9 D．(a+b)(a-b)=a2-b2
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．三个角都是直角的四边形是矩形
D．正八边形的每一个外角都等于40°
3．（3分）三个数，﹣π，﹣3.14，﹣ 3 的大小关系正确的是（ ）
A．﹣π＜﹣3.14＜﹣ 3 B．﹣3.14＜﹣π＜﹣ 3
C．﹣3.14＜﹣ 3 ＜﹣π D．﹣ 3 ＜﹣π＜﹣3.14
4．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．两点之间线段最短 D．内错角相等
5．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是点 （ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
6．（3分）有15瓶饮料，其中一瓶比其它饮料更轻一些，用天平称，至少称（ ）次，才能保证找到该次品.
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b2-4ac>0；③a-b+c>0；④c+3a>0；⑤a+b≥m(am+b)，其中正确信息的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）近十年我国不断加快推进科技自立自强，全社会研发经费支出达28000亿元，研发人员总量居世界首位28000亿=2800000000000，将“2800000000000”用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×1012 B．28×1011 C．2.8×104 D．28×1012
9．（3分）如图， ΔABC 中，点 D、E、F 分别在三边上， AD、BE、CF 交于一点 G, E 是 AC 的中点， BD=2CD,SΔGDC=6,SΔGEC=4 则 SΔABC= （ ）
A．1785 B．1985 C．40 D．42
10．（3分）某数学兴趣小组6名成员通过一次数学竞赛进行组内评比，他们的成绩分别是89，92，91，93，96，91，则关于这组数据说法正确的有（ ）
A．中位数是92.5 B．平均数是92
C．众数是96 D．方差是5
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）因式分解：3a3﹣3ab2＝ ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'＝ °．
13．（3分）已知 α ， β 均为锐角，且满足 |cosα-0.5|+tanβ-3=0 ，则 α+β 的度数为 ．
14．（3分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°，沿山坡向上走200米到达B处，在B处测得点P的仰角为15°．已知山坡AB的坡度i＝1： 3 ，且H、A、B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为 米．（结果保留根号形式）
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC、CA、AB边上动点，则PM+MN的最小值是 ．
三、解答题(共8题；共75分)
16．（9分）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 1.5 倍，甲队改造 240 米的道路比乙队改造同样长的道路少用 2 天.
（1）（4分）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）（5分）若甲队工作一天的改造费用 7 万元，乙队工作一天的改造费用为 5 万元，如需改造的道路全长为 1800 米，改造总费用不超过 220 万元，至少安排甲队工作多少天？
17．（9分）已知：如图，两点A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b(k≠0)和反比例函数y=mx(m≠0)图像的两个交点．
（1）（3分）求一次函数和反比例函数的的解析式．
（2）（4分）求△AOB的面积．
（3）（2分）观察图像，直接写出不等式kx+b≥mx的解集．
18．（12分）如图已知点A （﹣2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．
（1）（3分）求m、n；
（2）（4分）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）（5分）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
19．（8分）在计算[-43+(-12)3]×▲时，误将“×”看成“÷”，从而算得的结果是-3548．
（1）（4分）请你求出▲的值；
（2）（4分）请你求出正确的结果．
20．（8分）如图，直线 y=2x+4 与 x 轴相交于点A，与 y 轴相交于点B.
（1）（4分）求A，B两点的坐标；
（2）（4分）过B点作直线与 x 轴交于点P，若△ABP的面积为8，试求直线BP的解析式.
21．（8分）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
求：
（1）（3分）转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少；
（2）（5分）现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB上的中点，连接CD，以CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．过点N作NE⊥AB，垂足为点E．
（1）（4分）求证：NE为⊙O的切线；
（2）（5分）连接MD，若NE＝3，sin∠BCD＝ 35 ，求MD的长．
23．（12分）如图(1)，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点.作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG.
（1）（4分）试猜想线段BG和AE的关系(位置关系及数量关系)，请直接写出你得到的结论；
（2）（4分）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度α后(0°＜α＜90°)，如图(2)，通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）（4分）若BC＝DE＝2，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α (0°＜α＜360°)过程中，当BG为最小值时，求AF的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 2a3+3a3=5a3 ，故此选项不符合题意；
B. a10÷a5=a5 ，故此选项不符合题意；
C. (-2a3)3=-8a9 ，故此选项不符合题意；
D. (a+b)(a-b)=a2-b2 ，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，平方差公式计算求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
C、三个角都是直角的四边形是矩形，故符合题意；
D、正八边形的每一个外角都等于 360°8=45°，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形、菱形和矩形的判定及正多边形的性质逐项判断即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：|﹣π|=π≈3.14159，
|﹣3.14|=3.14
|﹣ 3 |= 3 ≈1.732
∵1.732＜3.14＜3.14159，
∴﹣π＜﹣3.14＜﹣ 3 ．
故选：A．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A.对顶角相等，是真命题；
B.同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
C.两点之间线段最短，是真命题；
D.两直线平行，内错角相等，∴原命题是假命题
故答案为：D
【分析】根据对顶角的性质对A作判断；根据平行线的判定定理对B作判断；根据线段的性质对C作判断；根据平行线的性质对D作判断.
5．【答案】B
【解析】【解答】根据旋转的性质，知：旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上．
则其旋转中心是NN1和PP1的垂直平分线的交点，即点B．
选B
【分析】本题难度中等，考查旋转的性质，要结合三角形的性质和网格特征解答．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：第一次，把15瓶饮料平均分成三份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则变质的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量；
第二次，把含有较轻的一份（5瓶）分成三份：2瓶、2瓶1瓶，取2瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的是未取的一瓶，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量；
第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的变质饮料．
答：至少3次一定能找出次品．
故答案为：C．
【分析】根据题意，把15瓶饮料平均分成三份， 根据每次称取的平衡性，再次分成2,2,1瓶，再次进行称量即可判断.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线对称轴位于y轴的右侧，a，b异号，即ab<0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0．
所以abc<0．
故①不符合题意．
由抛物线与x轴有两个交点可得b2-4ac>0．
故②符合题意．
根据图象知道当x=-1时，y=a-b+c<0．
故③不符合题意；
抛物线开口方向向下，则a<0，
由于对称轴是x=-b2a，且-b2a=1，
所以b=-2a，
当x=-1时，y=a-b+c<0，即a-(-2a)+c<0．
所以c+3a<0，
故④不符合题意．
抛物线开口方向向下，则a<0，对称轴为x=1，
∴当x=1时，y=ax2+bx+c(a≠0)有最大值y=a+b+c，
∴当x=m时，a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥m(am+b)，
故⑤符合题意，
正确信息的个数有2个，
故答案为：A
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：2800000000000用科学记数法表示为2.8×1012．
故答案为：A
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：BD＝2DC，
∴S△ABD＝2S△ACD，
∴S△ABC＝3S△ACD，
∵E是AC的中点，
∴S△AGE＝S△CGE，
又∵S△GEC＝4，S△GDC＝6，
∴S△ACD＝S△AGE＋S△CGE＋S△CGD＝4＋4＋6＝14，
∴S△ABC＝3S△ACD＝3×14＝42.
故答案为：D.
【分析】由于BD＝2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD＝2S△ACD，而S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，可得出S△ABC＝3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE＝S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：89，91，91，92，93，96，
则中位数为： 91+922=91.5 ，故A不符合题意；
平均数为： 89+91+92+93+966=92 ，故B不符合题意；
众数为：91，故C不符合题意；
方差S2= 16[(89-92)2+(91-92)2+(91-92)2+(92-92)2+(93-92)2+(96-92)2]
= 143 ，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】 平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从小到大的顺序排列，只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数的平均数；对于众数是出现次数最多的数据； 根据方差公式计算方差.
11．【答案】3a（a﹣b）（a＋b）
【解析】【解答】解：3a3﹣3ab2
=3a（a2﹣b2）
=3a（a﹣b）（a＋b）
故答案为：3a（a﹣b）（a＋b）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
12．【答案】50
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，
∴∠AC′C＝∠ACC′，
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝65°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠B′AB＝50°，
故答案为50．
【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，则∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB，最后根据三角形内角和求出即可．
13．【答案】120°
【解析】【解答】解：由题意得，cosα-0.5=0，tanβ- 3 =0，
∴cosα=0.5，tanβ= 3
解得，α=60°，β=60°，
则α+β的度数为120°，
故答案为：120°．
【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可。
14．【答案】100 3
【解析】【解答】解：过B作BM⊥HA于M，过B作BN∥AM
则∠AMB＝90°，∠ABN＝∠BAM，
由题意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，
∵山坡AB的坡度i＝1： 3 ，
∴tan∠BAM＝1： 3 ＝ 33 ，
∴∠BAM＝30°，
∴∠ABN＝30°，
∴∠PAB＝180°﹣∠PAH﹣∠BAM＝90°，∠ABP＝∠ABN+∠PBN＝45°，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∴PA＝AB＝200米，
在Rt△PAH中，sin∠PAH＝ PHPA=32 ，
∴PH＝ 32PA=1003 ，
故答案为：100 3 ．
【分析】过B作BM⊥HA于M，过B作BN∥AM，由题意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，利用坡度求出∠BAM＝30°，可证△PAB是等腰直角三角形，可得PA＝AB＝200米，在Rt△PAH中，由sin∠PAH＝ PHPA=32即可求出PH的长.
15．【答案】2 3
【解析】【解答】解：作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）．
∵△ABC是等边三角形，易知，四边形ABCK是菱形，N′P′是菱形的高= 32 ×4=2 3 ，
∴PM+MN的最小值为2 3 ，
故答案为2 3 ．
【分析】作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）．
16．【答案】（1）解：设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为 1.5x 米.
根据题意得： 240x-2401.5x=2
解得 x=40 ,
检验：当 x=40 时， 1.5x≠0
∴ 原分式方程的解是 x=40 ,
∴32x=32×40=60 .
答：乙工程队每天能改造道路的长度为 40 米，甲工程队每天能改造道路的长度为 60 米.
（2）解：设安排甲队工作 m 天，则安排乙队工作 1800-60m40 天，
根据题意得： 7m+5×1800-60m40≤220
解得 m≥10
答：至少安排甲队工作 10 天.
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作 1800-60m40 天，根据总费用=甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间，结合改造总费用不超过220万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
17．【答案】（1）解：∵A(-4，2)在y=mx上，
∴m=-8．
∴反比例函数的解析式为y=-8x．
∵B(n，-4)在y=-8x上，∴n=2
∵y=kx+b经过A(-4，2)，B(2，-4)，
∴-4k+b=22k+b=-4
解之得：k=-1b=-2．
∴一次函数的解析式为y=-x-2．
（2）解：∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=-2．
∴点C(-2，0)．
∴OC=2．
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×2+12×2×4=6
（3）解：由图可得，不等式kx+b≥mx的解集为：x≤-4或0
（2）先求出点C的坐标，可得OC的长，再利用三角形的面积公式求出△AOB的面积即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
18．【答案】（1）解：由于抛物线经过A （﹣2，4）和点B （1，0），则有：
4m-4m+n=4m+2m+n=0 ，解得 m=-43n=4 ；
故m=﹣ 43 ，n=4
（2）解：由（1）得：y=﹣ 43 x2﹣ 83 x+4=﹣ 43 （x+1）2+ 163 ；
由A （﹣2，4）、B （1，0），可得AB= (1+2)2+(0-4)2 =5；
若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y=﹣ 43 （x+1﹣5）2+ 163 =﹣ 43 （x﹣4）2+ 163 ．
（3）解：如图，由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；∵A（﹣2，4），B′（6，0），
∴直线AB′：y=﹣ 12 x+3；
当x=4时，y=1，故C（4，1）；
所以：AC=3 5 ，B′C= 5 ，BC= 10 ；
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：
①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：
B'C'AB = B'DAC ，即 55 = B'D35 ，B′D=3，
此时D（3，0）；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：
B'CAC = B'DAB ，即 535 = B'D5 ，B′D= 53 ，此时D（ 133 ，0）；综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（ 133 ，0）
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法即可求解析式；
（2）将线段AB放在直角三角形中可求得AB的长，再根据四边形A A′B′B为菱形可求得B′的坐标，由点B和B′的坐标可得出平移的距离，则根据平移规律“左加右减”可求平移后抛物线的表达式；
（3）由（2）中求得的解析式可求出平移后抛物线的对称轴为：x=4，由（2）中求得的点A、B的坐标，用待定系数法可求得直线AB′的解析式，把x=4代入直线AB′的解析式可求得点C（4，1）；由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；由题意知，以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，由相似三角形的性质得出比例式求得B′D的值，则点D的坐标可求解；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，由相似三角形的性质得出比例式求得B′D的值，则点D的坐标可求解。
19．【答案】（1）解：根据已知得；
▲= [-43+(-12)3]÷(-3548)
=(-43-18)×(-4835）
=(-3524)×(-4835)
=2
（2）解：正确结果为：
[-43+(-12)3]×2
=(-43-18)×2
=(-3524)×2
=-3512．
【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法法则计算求解即可；
（2）利用有理数的加减乘除法则计算求解即可。
20．【答案】（1）解：当x=0时，y=4，
当y=0时，2x+4=0，解得x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，4）；
（2）解：由（1）可得OA=2，OB=4，
∵S∆ABP=8，
∴12AP·OB=8，
∴AP=4，
∴点P的坐标为（2，0）或（-6，0）.
【解析】【分析】 （1）把x=0，y=0分别代入函数解析式，求得相应的y、x的值，即可求出点A、B的坐标；
（2）由（1）求出OA，OB的长，根据S∆ABP=8，求出AP的长，利用OP=AP-OA或OP=AP+OA，即可求出点P的坐标.
21．【答案】（1）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，
∴转出的数字大于3的概率是 46 ＝ 23 ；
（2）解：①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，
∴这三条线段能构成三角形的概率是 56 ；
②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种，
∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是 26 ＝ 13 ．
【解析】【分析】（1）根据题意得到所有可能的数字的数，根据3的次数列出概率公式即可；
（2）根据题意，分别由概率公式计算得到答案即可。
22．【答案】（1）证明：连接ON．∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，
∴CD＝DA＝DB＝ 12 AB，
∴∠BCD＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠BCD＝∠ONC，
∴∠ONC＝∠B，
∴ON∥AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为⊙O的切线．
（2）解：由（1）得到：∠BCD＝∠B，
∴sin∠BCD＝sin∠B＝ NEBN ＝ 35 ，
∵NE＝3，
∴BN＝5，连接DN．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CND＝90°，
∴DN⊥BC，
∴CN＝BN＝5，
易证四边形DMCN是矩形，
∴MD＝CN＝BN＝5．
【解析】【分析】（1） 连接ON ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ∴CD＝DA＝DB＝ 12 AB， 根据等边对等角得出 ∠BCD＝∠B， ∠BCD＝∠ONC， 故 ∠ONC＝∠B， 根据同位角相等，二直线平行得出 ON∥AB， 从而根据平行线的性质，由 NE⊥AB， 得出 ON⊥NE， 故 NE为⊙O的切线；
（2）根据等角的同名三角函数值相等及三角函数的定义得出 sin∠BCD＝sin∠B＝ NEBN ＝ 35 ， 从而求出BN的长， 连接DN． 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠CND＝90°， 即 DN⊥BC， 根据等腰三角形的三线合一得出 CN＝BN＝5， 易证四边形DMCN是矩形， 根据矩形的对边相等得出 MD＝CN＝5．
23．【答案】（1）解：如图（1）
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中
BD＝AD∠BDG＝∠ADEDG＝DE
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延长EA到BG于一点M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴线段BG和AE相等且垂直；
（2）解：成立，
如图（2），延长EA分别交DG、BG于点M′、N′两点，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中
BD＝AD∠BDG＝∠ADEDG＝DE
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；
（3）解：由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；
∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，
∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图（3），
若BC=DE=m，则AD= m2 ，EF=m，
在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=（AD+DE）2+EF2= 134m2
∴AF= 132m ，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF= 132m .
【解析】【分析】（1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出DG=DE，AD=BD，进而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延长EA分别交DG、BG于点N、M两点，首先证明△BDG≌△ADE，进而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大，进而求出即可
广东省佛山市2023年中考数学模拟试卷（三）
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．2a3+3a3=5a6 B．a10÷a5=a2
C．(-2a3)3=8a9 D．(a+b)(a-b)=a2-b2
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．三个角都是直角的四边形是矩形
D．正八边形的每一个外角都等于40°
3．（3分）三个数，﹣π，﹣3.14，﹣ 3 的大小关系正确的是（ ）
A．﹣π＜﹣3.14＜﹣ 3 B．﹣3.14＜﹣π＜﹣ 3
C．﹣3.14＜﹣ 3 ＜﹣π D．﹣ 3 ＜﹣π＜﹣3.14
4．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．两点之间线段最短 D．内错角相等
5．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是点 （ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
6．（3分）有15瓶饮料，其中一瓶比其它饮料更轻一些，用天平称，至少称（ ）次，才能保证找到该次品.
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b2-4ac>0；③a-b+c>0；④c+3a>0；⑤a+b≥m(am+b)，其中正确信息的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）近十年我国不断加快推进科技自立自强，全社会研发经费支出达28000亿元，研发人员总量居世界首位28000亿=2800000000000，将“2800000000000”用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×1012 B．28×1011 C．2.8×104 D．28×1012
9．（3分）如图， ΔABC 中，点 D、E、F 分别在三边上， AD、BE、CF 交于一点 G, E 是 AC 的中点， BD=2CD,SΔGDC=6,SΔGEC=4 则 SΔABC= （ ）
A．1785 B．1985 C．40 D．42
10．（3分）某数学兴趣小组6名成员通过一次数学竞赛进行组内评比，他们的成绩分别是89，92，91，93，96，91，则关于这组数据说法正确的有（ ）
A．中位数是92.5 B．平均数是92
C．众数是96 D．方差是5
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）因式分解：3a3﹣3ab2＝ ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'＝ °．
13．（3分）已知 α ， β 均为锐角，且满足 |cosα-0.5|+tanβ-3=0 ，则 α+β 的度数为 ．
14．（3分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°，沿山坡向上走200米到达B处，在B处测得点P的仰角为15°．已知山坡AB的坡度i＝1： 3 ，且H、A、B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为 米．（结果保留根号形式）
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC、CA、AB边上动点，则PM+MN的最小值是 ．
三、解答题(共8题；共75分)
16．（9分）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 1.5 倍，甲队改造 240 米的道路比乙队改造同样长的道路少用 2 天.
（1）（4分）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）（5分）若甲队工作一天的改造费用 7 万元，乙队工作一天的改造费用为 5 万元，如需改造的道路全长为 1800 米，改造总费用不超过 220 万元，至少安排甲队工作多少天？
17．（9分）已知：如图，两点A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b(k≠0)和反比例函数y=mx(m≠0)图像的两个交点．
（1）（3分）求一次函数和反比例函数的的解析式．
（2）（4分）求△AOB的面积．
（3）（2分）观察图像，直接写出不等式kx+b≥mx的解集．
18．（12分）如图已知点A （﹣2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．
（1）（3分）求m、n；
（2）（4分）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）（5分）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
19．（8分）在计算[-43+(-12)3]×▲时，误将“×”看成“÷”，从而算得的结果是-3548．
（1）（4分）请你求出▲的值；
（2）（4分）请你求出正确的结果．
20．（8分）如图，直线 y=2x+4 与 x 轴相交于点A，与 y 轴相交于点B.
（1）（4分）求A，B两点的坐标；
（2）（4分）过B点作直线与 x 轴交于点P，若△ABP的面积为8，试求直线BP的解析式.
21．（8分）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
求：
（1）（3分）转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少；
（2）（5分）现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB上的中点，连接CD，以CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．过点N作NE⊥AB，垂足为点E．
（1）（4分）求证：NE为⊙O的切线；
（2）（5分）连接MD，若NE＝3，sin∠BCD＝ 35 ，求MD的长．
23．（12分）如图(1)，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点.作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG.
（1）（4分）试猜想线段BG和AE的关系(位置关系及数量关系)，请直接写出你得到的结论；
（2）（4分）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度α后(0°＜α＜90°)，如图(2)，通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）（4分）若BC＝DE＝2，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α (0°＜α＜360°)过程中，当BG为最小值时，求AF的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 2a3+3a3=5a3 ，故此选项不符合题意；
B. a10÷a5=a5 ，故此选项不符合题意；
C. (-2a3)3=-8a9 ，故此选项不符合题意；
D. (a+b)(a-b)=a2-b2 ，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，平方差公式计算求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
C、三个角都是直角的四边形是矩形，故符合题意；
D、正八边形的每一个外角都等于 360°8=45°，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形、菱形和矩形的判定及正多边形的性质逐项判断即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：|﹣π|=π≈3.14159，
|﹣3.14|=3.14
|﹣ 3 |= 3 ≈1.732
∵1.732＜3.14＜3.14159，
∴﹣π＜﹣3.14＜﹣ 3 ．
故选：A．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A.对顶角相等，是真命题；
B.同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
C.两点之间线段最短，是真命题；
D.两直线平行，内错角相等，∴原命题是假命题
故答案为：D
【分析】根据对顶角的性质对A作判断；根据平行线的判定定理对B作判断；根据线段的性质对C作判断；根据平行线的性质对D作判断.
5．【答案】B
【解析】【解答】根据旋转的性质，知：旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上．
则其旋转中心是NN1和PP1的垂直平分线的交点，即点B．
选B
【分析】本题难度中等，考查旋转的性质，要结合三角形的性质和网格特征解答．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：第一次，把15瓶饮料平均分成三份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则变质的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量；
第二次，把含有较轻的一份（5瓶）分成三份：2瓶、2瓶1瓶，取2瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的是未取的一瓶，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量；
第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的变质饮料．
答：至少3次一定能找出次品．
故答案为：C．
【分析】根据题意，把15瓶饮料平均分成三份， 根据每次称取的平衡性，再次分成2,2,1瓶，再次进行称量即可判断.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线对称轴位于y轴的右侧，a，b异号，即ab<0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0．
所以abc<0．
故①不符合题意．
由抛物线与x轴有两个交点可得b2-4ac>0．
故②符合题意．
根据图象知道当x=-1时，y=a-b+c<0．
故③不符合题意；
抛物线开口方向向下，则a<0，
由于对称轴是x=-b2a，且-b2a=1，
所以b=-2a，
当x=-1时，y=a-b+c<0，即a-(-2a)+c<0．
所以c+3a<0，
故④不符合题意．
抛物线开口方向向下，则a<0，对称轴为x=1，
∴当x=1时，y=ax2+bx+c(a≠0)有最大值y=a+b+c，
∴当x=m时，a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥m(am+b)，
故⑤符合题意，
正确信息的个数有2个，
故答案为：A
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：2800000000000用科学记数法表示为2.8×1012．
故答案为：A
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：BD＝2DC，
∴S△ABD＝2S△ACD，
∴S△ABC＝3S△ACD，
∵E是AC的中点，
∴S△AGE＝S△CGE，
又∵S△GEC＝4，S△GDC＝6，
∴S△ACD＝S△AGE＋S△CGE＋S△CGD＝4＋4＋6＝14，
∴S△ABC＝3S△ACD＝3×14＝42.
故答案为：D.
【分析】由于BD＝2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD＝2S△ACD，而S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，可得出S△ABC＝3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE＝S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：89，91，91，92，93，96，
则中位数为： 91+922=91.5 ，故A不符合题意；
平均数为： 89+91+92+93+966=92 ，故B不符合题意；
众数为：91，故C不符合题意；
方差S2= 16[(89-92)2+(91-92)2+(91-92)2+(92-92)2+(93-92)2+(96-92)2]
= 143 ，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】 平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从小到大的顺序排列，只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数的平均数；对于众数是出现次数最多的数据； 根据方差公式计算方差.
11．【答案】3a（a﹣b）（a＋b）
【解析】【解答】解：3a3﹣3ab2
=3a（a2﹣b2）
=3a（a﹣b）（a＋b）
故答案为：3a（a﹣b）（a＋b）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
12．【答案】50
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，
∴∠AC′C＝∠ACC′，
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝65°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠B′AB＝50°，
故答案为50．
【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，则∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB，最后根据三角形内角和求出即可．
13．【答案】120°
【解析】【解答】解：由题意得，cosα-0.5=0，tanβ- 3 =0，
∴cosα=0.5，tanβ= 3
解得，α=60°，β=60°，
则α+β的度数为120°，
故答案为：120°．
【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可。
14．【答案】100 3
【解析】【解答】解：过B作BM⊥HA于M，过B作BN∥AM
则∠AMB＝90°，∠ABN＝∠BAM，
由题意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，
∵山坡AB的坡度i＝1： 3 ，
∴tan∠BAM＝1： 3 ＝ 33 ，
∴∠BAM＝30°，
∴∠ABN＝30°，
∴∠PAB＝180°﹣∠PAH﹣∠BAM＝90°，∠ABP＝∠ABN+∠PBN＝45°，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∴PA＝AB＝200米，
在Rt△PAH中，sin∠PAH＝ PHPA=32 ，
∴PH＝ 32PA=1003 ，
故答案为：100 3 ．
【分析】过B作BM⊥HA于M，过B作BN∥AM，由题意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，利用坡度求出∠BAM＝30°，可证△PAB是等腰直角三角形，可得PA＝AB＝200米，在Rt△PAH中，由sin∠PAH＝ PHPA=32即可求出PH的长.
15．【答案】2 3
【解析】【解答】解：作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）．
∵△ABC是等边三角形，易知，四边形ABCK是菱形，N′P′是菱形的高= 32 ×4=2 3 ，
∴PM+MN的最小值为2 3 ，
故答案为2 3 ．
【分析】作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）．
16．【答案】（1）解：设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为 1.5x 米.
根据题意得： 240x-2401.5x=2
解得 x=40 ,
检验：当 x=40 时， 1.5x≠0
∴ 原分式方程的解是 x=40 ,
∴32x=32×40=60 .
答：乙工程队每天能改造道路的长度为 40 米，甲工程队每天能改造道路的长度为 60 米.
（2）解：设安排甲队工作 m 天，则安排乙队工作 1800-60m40 天，
根据题意得： 7m+5×1800-60m40≤220
解得 m≥10
答：至少安排甲队工作 10 天.
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作 1800-60m40 天，根据总费用=甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间，结合改造总费用不超过220万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
17．【答案】（1）解：∵A(-4，2)在y=mx上，
∴m=-8．
∴反比例函数的解析式为y=-8x．
∵B(n，-4)在y=-8x上，∴n=2
∵y=kx+b经过A(-4，2)，B(2，-4)，
∴-4k+b=22k+b=-4
解之得：k=-1b=-2．
∴一次函数的解析式为y=-x-2．
（2）解：∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=-2．
∴点C(-2，0)．
∴OC=2．
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×2+12×2×4=6
（3）解：由图可得，不等式kx+b≥mx的解集为：x≤-4或0
（2）先求出点C的坐标，可得OC的长，再利用三角形的面积公式求出△AOB的面积即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
18．【答案】（1）解：由于抛物线经过A （﹣2，4）和点B （1，0），则有：
4m-4m+n=4m+2m+n=0 ，解得 m=-43n=4 ；
故m=﹣ 43 ，n=4
（2）解：由（1）得：y=﹣ 43 x2﹣ 83 x+4=﹣ 43 （x+1）2+ 163 ；
由A （﹣2，4）、B （1，0），可得AB= (1+2)2+(0-4)2 =5；
若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y=﹣ 43 （x+1﹣5）2+ 163 =﹣ 43 （x﹣4）2+ 163 ．
（3）解：如图，由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；∵A（﹣2，4），B′（6，0），
∴直线AB′：y=﹣ 12 x+3；
当x=4时，y=1，故C（4，1）；
所以：AC=3 5 ，B′C= 5 ，BC= 10 ；
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：
①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：
B'C'AB = B'DAC ，即 55 = B'D35 ，B′D=3，
此时D（3，0）；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：
B'CAC = B'DAB ，即 535 = B'D5 ，B′D= 53 ，此时D（ 133 ，0）；综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（ 133 ，0）
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法即可求解析式；
（2）将线段AB放在直角三角形中可求得AB的长，再根据四边形A A′B′B为菱形可求得B′的坐标，由点B和B′的坐标可得出平移的距离，则根据平移规律“左加右减”可求平移后抛物线的表达式；
（3）由（2）中求得的解析式可求出平移后抛物线的对称轴为：x=4，由（2）中求得的点A、B的坐标，用待定系数法可求得直线AB′的解析式，把x=4代入直线AB′的解析式可求得点C（4，1）；由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；由题意知，以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，由相似三角形的性质得出比例式求得B′D的值，则点D的坐标可求解；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，由相似三角形的性质得出比例式求得B′D的值，则点D的坐标可求解。
19．【答案】（1）解：根据已知得；
▲= [-43+(-12)3]÷(-3548)
=(-43-18)×(-4835）
=(-3524)×(-4835)
=2
（2）解：正确结果为：
[-43+(-12)3]×2
=(-43-18)×2
=(-3524)×2
=-3512．
【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法法则计算求解即可；
（2）利用有理数的加减乘除法则计算求解即可。
20．【答案】（1）解：当x=0时，y=4，
当y=0时，2x+4=0，解得x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，4）；
（2）解：由（1）可得OA=2，OB=4，
∵S∆ABP=8，
∴12AP·OB=8，
∴AP=4，
∴点P的坐标为（2，0）或（-6，0）.
【解析】【分析】 （1）把x=0，y=0分别代入函数解析式，求得相应的y、x的值，即可求出点A、B的坐标；
（2）由（1）求出OA，OB的长，根据S∆ABP=8，求出AP的长，利用OP=AP-OA或OP=AP+OA，即可求出点P的坐标.
21．【答案】（1）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，
∴转出的数字大于3的概率是 46 ＝ 23 ；
（2）解：①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，
∴这三条线段能构成三角形的概率是 56 ；
②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种，
∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是 26 ＝ 13 ．
【解析】【分析】（1）根据题意得到所有可能的数字的数，根据3的次数列出概率公式即可；
（2）根据题意，分别由概率公式计算得到答案即可。
22．【答案】（1）证明：连接ON．∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，
∴CD＝DA＝DB＝ 12 AB，
∴∠BCD＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠BCD＝∠ONC，
∴∠ONC＝∠B，
∴ON∥AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为⊙O的切线．
（2）解：由（1）得到：∠BCD＝∠B，
∴sin∠BCD＝sin∠B＝ NEBN ＝ 35 ，
∵NE＝3，
∴BN＝5，连接DN．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CND＝90°，
∴DN⊥BC，
∴CN＝BN＝5，
易证四边形DMCN是矩形，
∴MD＝CN＝BN＝5．
【解析】【分析】（1） 连接ON ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ∴CD＝DA＝DB＝ 12 AB， 根据等边对等角得出 ∠BCD＝∠B， ∠BCD＝∠ONC， 故 ∠ONC＝∠B， 根据同位角相等，二直线平行得出 ON∥AB， 从而根据平行线的性质，由 NE⊥AB， 得出 ON⊥NE， 故 NE为⊙O的切线；
（2）根据等角的同名三角函数值相等及三角函数的定义得出 sin∠BCD＝sin∠B＝ NEBN ＝ 35 ， 从而求出BN的长， 连接DN． 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠CND＝90°， 即 DN⊥BC， 根据等腰三角形的三线合一得出 CN＝BN＝5， 易证四边形DMCN是矩形， 根据矩形的对边相等得出 MD＝CN＝5．
23．【答案】（1）解：如图（1）
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中
BD＝AD∠BDG＝∠ADEDG＝DE
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延长EA到BG于一点M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴线段BG和AE相等且垂直；
（2）解：成立，
如图（2），延长EA分别交DG、BG于点M′、N′两点，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中
BD＝AD∠BDG＝∠ADEDG＝DE
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；
（3）解：由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；
∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，
∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图（3），
若BC=DE=m，则AD= m2 ，EF=m，
在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=（AD+DE）2+EF2= 134m2
∴AF= 132m ，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF= 132m .
【解析】【分析】（1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出DG=DE，AD=BD，进而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延长EA分别交DG、BG于点N、M两点，首先证明△BDG≌△ADE，进而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大，进而求出即可
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