专题27 相似三角形压轴题的几种类型-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题27 相似三角形压轴题的几种类型-2023年中考数学二轮专题提升训练，共53页。试卷主要包含了相似三角形与多边形的综合题，相似中的“一线三等角”模型等内容，欢迎下载使用。
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 综合运用全等三角形与三角形的判定和性质求点的坐标
典例1（2022•建邺区二模）
1．如图，矩形ABCO，点A、C在坐标轴上，点B的坐标为．将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，则点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
针对训练
（2012•鹿城区校级二模）
2．已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ和△PHA相似，则点P的坐标为______.
类型二 综合运用相似三角形的判定和性质锐角三角函数求线段长的最值
典例2（2021•宜兴市模拟）
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．B．C．D．2＋2
针对训练
（2021秋•亳州月考）
4．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC⊥CD，若，则对角线BD长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
类型三 综合运用相似三角形的判定和性质一次函数求字母的值
典例3（2022•无锡二模）
5．如图，已知A（0，3）、B（4，0），一次函数y＝﹣x＋b的图象为直线l，点O关于直线l的对称点O′恰好落在∠ABO的平分线上，则（1）AB＝__________；（2）b的值为__________．
针对训练
（2016•汉川市模拟）
6．已知一次函数与轴轴分别交于、两点，另一直线交轴正半轴于、交轴于点，若与、、三点组成的三角形相似，那么值为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
类型四 利用相似三角形的判定和性质求线段长的最值
典例4（2022•涟水县一模）
7．如图，在正方形ABCD中，，点H在AD上，且，点E绕着点B旋转，且，在AE的上方作正方形AEFG，则线段FH的最小值是______．
针对训练
8．在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 __________．
类型五 利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”（动点D在圆弧上）型的最值（阿氏圆）
典例5（2022•南召县开学）
9．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为______．
针对训练
（2021秋•龙凤区期末）
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=9，BC＝4，，以点C为圆心3为半径作⊙C分别交AC，BC于D，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 _____．
类型七 相似三角形与多边形的综合题
典例6（2022•惠山区一模）
11．（1）【操作发现】如图1，四边形都是矩形，，，小明将矩形绕点C顺时针转，如图2所示．
①若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．
②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，画出图形并求出的长度．
（2）【类比探究】如图3，中， ， ，G为中点，D为平面内一个动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为 ．（直接写出结果）
针对训练
（2022•内江）
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
(2)若＝2，求的值；
(3)若MN∥BE，求的值．
类型八 相似中的“一线三等角”模型
典例8（2022•扬州）
13．如图1，在中，，，点D在边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作，交射线于点E．
(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；
①点E在线段的延长线上且；
②点E在线段上且．
(2)若．
①当时，求的长；
②直接写出运动过程中线段长度的最小值．
针对训练
（2022秋•虹口区期中）
14．在矩形中，，，P是射线上的一个动点，作，交射线于点E，射线交射线于点F，设，．
(1)当时，求的长；
(2)如图，当点P在边上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)当时，求的长．
第二部分 专题提优训练
（2022•如皋市一模）
15．矩形中，，．如图，分别以点A，D为圆心，以4和6为半径作弧，两弧交于点E，连接，则的最大值为（ ）
A．9B．C．15D．
（2022秋•定海区校级月考）
16．如图，在Rt△ABC中，，AC＝8，点D在BC上，且CD＝2，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．4
（2021秋•宜兴市校级月考）
17．如图，矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿运动到点停止．过点作交射线于点，联结．设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
（2022•东平县一模）
18．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为 （ ）
A．2－3B．2－2C．5D．3
（2022•武进区一模）
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D、E分别是BC、AC边上的动点，且∠ADE＝∠ABC，连接BE，则△AEB的面积的最小值为_______．
（2022春•漳州期末）
20．如图，点E在正方形ABCD的边BC上，BE＝2，EC＝4，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交DC于点G，连接AG．现给出以下结论：
①
②
③
④
其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号）
（2022•连云港）
21．【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．
【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．
(1)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．
(2)若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．
(3)连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长．
(4)如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____．
（2022秋•金东区期末）
22．在矩形中，，动点P从A出 发，以1个单位每秒速度，沿射线方向运动，同时，动点Q从点C出发，以2个单位每秒速度，沿射线方向运动，设运动时间为t秒，连接DP，DQ．

(1)如图1，证明：．
(2)作平分线交直线于点E；
①图2，当点E与点B重合时，求t的值．
②连接，，当与相似时，求t的值．
23．【问题发现】
（1）如图①，在边长为5的等边中，点D，E分别是，边上一点，且，点P是线段上一动点，以为边向右作等边．
①过点F作于点G，连接．试探究与之间的数量关系；
②当点P从点E运动到点A时，求点F运动的路径长；
【类比探究】
（2）如图②，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接和，求的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】如图，过作轴于点，延长交于，由题意知，四边形是矩形，由翻折的性质可知，，，则，，证明，则，即，计算求出、的长，进而可得点坐标．
【详解】解：如图，过作轴于点，延长交于，
由题意知，四边形是矩形，由翻折的性质可知，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了翻折的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于构造、，利用相似的判定与性质求出线段、的长．
2．P()
【分析】先根据点A、点C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，当△BQP∽△AHP时和△BQP∽△PHA时，利用相似三角形的性质就可以求出点P的坐标．
【详解】∵OC=2，OA=4，
∴C（0，2），A（4，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得，
解得，
故直线AC的解析式为：y=﹣x+2．
∵QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，
∴QH在点B的右侧，
如图：①当△BQP∽△AHP时，
则=，
∴BQPH=AHPQ．
∵点P在直线AC上，设点P的坐标为（x，﹣x+2）（0＜x＜4），
∴CQ=x，OH=x，PH=﹣x+2，
∵CB=2，OA=4，OH=2，
∴BQ=x﹣2，AH=4﹣x，PQ=x．
∴（x﹣2）（﹣x+2）=（4﹣x）（x），
解得x=4（舍去）．
②当△BQP∽△PHA时，
则，即BQAH=PHPQ，
（x﹣2）（4﹣x）=（﹣x+2）（x），
解得x1=，x2=4（舍去）
则y=，
则P（，）．
∴P（，）．
故答案为P（，）．
【点睛】本题考查相似三角形的性质的运用、待定系数法求直线的解析式的运用及分类讨论思想的运用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
3．B
【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．
【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，
∵∠ABC=90°，，
∴，
∴，
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
∴，
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
∴∠DAB=∠PAC，，
∴△ADB∽△APC，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PD