初中数学北师大版七年级上册第三章 整式及其加减3.5 探索与表达规律课时训练

《5　探索与表达规律》同步练习

一、基础巩固

知识点1   探索日历图中的规律

1. 如图所示是某月的日历图.

(1)求日历图中画出的位于楼梯形中的三个数的和.

(2)用代数式表示位于楼梯形中的三个数的和.

(3)若位于这样的楼梯形中的三个数的和等于72,则这三个数分别是多少?

(4)位于这样的楼梯形中的三个数的和可以是57吗?若可以,请求出这三个数;若不可以,请说明理由.

知识点2   探索图形中的规律

2. [2019青海中考]如图,将图1中的菱形剪开得到图2,图中共有4个菱形;将图2中的一个菱形剪开得到图3,图中共有7个菱形;如此剪下去,第5个图中共有　　　　个菱形……第n个图中共有　　　　个菱形. 

3. [2020山西中考]如图是一组有规律的图案,它们是由边长相等的正三角形组合而成的,第1个图案有4个三角形,第2个图案有7个三角形,第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去,第n个图案有　　　　个三角形(用含n的代数式表示). 

知识点3    探索算式中的规律

4. 观察下列算式,探究其规律:

12=;12+22=;12+22+32=;12+22+32+42=;…

(1)根据你发现的规律,计算12+22+32+42+52=　　　　　. 

(2)请用一个含n的代数式表示这个规律:12+22+32+…+n2=　　　　　. 

5. [2021嘉兴中考]观察下列等式:1=12-02,3=22-12,5=32-22,…按此规律,则第n个等式为2n-1=　　　　. 

知识点4    探索数字中的规律

6. [2021济宁中考]按规律排列的一组数据:,,□,,,,…,其中□内应填的数是(　　)

A.  B.  C.  D.

7. 根据图中数字的规律,则x+y的值是 (　　)

A.729 B.550 C.593 D.738

知识点5    探索数值转换机中的规律

8. [2022扬州期末]如图,在这个运算程序中,若开始输入的正整数n为奇数,则计算3n+1;若n为偶数,则除以2.当n=21时,经过1次上述运算输出的数是64;经过2次上述运算输出的数是32;经过3次上述运算输出的数是16……经过2 022次上述运算输出的数是 (　　)

A.1  B.2  C.3  D.4

二、能力提升

1. [2021郴州模拟]小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,…称为“三角形数”.类似地,图2中的4,8,12,16,…称为“正方形数”.下列数中既是“三角形数”又是“正方形数”的是 (　　)

A.2 022  B.2 020  C.2 018  D.2 016

2. [2021云南中考]按一定规律排列的单项式:a2,4a3,9a4,16a5,25a6,…,第n个单项式是 (　　)

A.n2an+1     B.n2an-1

C.nnan+1     D.(n+1)2an

3. [2022合肥包河区期中]将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列,例如,位于第4行第3列的数为27,则位于第32行第13列的数是 (　　)

A.2 025  B.2 023  C.2 021  D.2 019

4. [2022济南槐荫区期末]将一列有理数-1,2,-3,4,-5,6,…按如图所示进行排列,则2 022应排在 (　　)

A.A位置    B.B位置   C.C位置    D.D位置

5. 如图是一组有规律的图案,它们由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成,第1个图案中有4个三角形,第2个图案中有7个三角形,第3个图案中有10个三角形……依此规律,第n个图案中有　　　　个三角形.(用含n的式子表示) 

6. [2021厦门外国语学校月考]从2开始,连续的偶数相加,它们和的情况如下表:

(1)若n=7,则S的值为　　　　. 

(2)根据表中的规律猜想:用含n的式子表示S的公式为S=2+4+6+8+…+2n=　　　　. 

(3)根据(2)中总结的规律计算300+302+304+…+2 016+2 018+2 020的值.

参考答案

一、基础巩固

1.解:(1)8+14+20=42.

(2)设这三个数中,中间的一个数为n,

则另外两个数分别为n-6,n+6,

 所以这三个数的和为(n-6)+n+(n+6)=3n.

(3)令3n=72,则n=24,

所以n-6=18,n+6=30,

即这三个数分别是18,24,30.

(4)不可以.理由如下:

令3n=57,则n=19,所以n-6=13,n+6=25,

因为13和19在此日历图中位于同一行,不能构成“楼梯”,

所以位于这样的楼梯形中的三个数的和不可以是57.

2.13　(3n-2)　第1个图中菱形的个数为1,第2个图中菱形的个数为4=1+3,第3个图中菱形的个数为7=1+3×2,第4个图中菱形的个数为10=1+3×3……第n个图中菱形的个数为1+3(n-1)=3n-2,所以当n=5时,3n-2=3×5-2=13.

3.(3n+1)　解法一　第1个图案有4个三角形,从第2个图案开始,每个图案中三角形的个数比前一个图案中三角形的个数多3,故第n个图案中三角形的个数为4+3(n-1)=3n+1.

解法二　第1个图案中有4个三角形,4=3+1;第2个图案中有7个三角形,7=3×2+1;第3个图案中有10个三角形,10=3×3+1;第4个图案中有13个三角形,13=3×4+1……所以第n个图案中三角形的个数为3n+1.

4.(1)55;(2)

5.n2-(n-1)2

6.D　观察题中数据发现:分子为连续的奇数,分母为序号的平方加1,所以第n个数据为.当n=3时,□的分子为5,分母为32+1=10,所以这个数为=.

7.C　根据题图中数字的规律,得5=22+1,12=5×2+2;17=42+1,72=17×4+4;37=62+1,

228=37×6+6.所以x=82+1=65,y=65×8+8=528,所以x+y=65+528=593.

8.B　当n=21时,经过1次运算输出的数是64,经过2次运算输出的数是32,经过3次运算输出的数是16,经过4次运算输出的数是8,经过5次运算输出的数是4,经过6次运算输出的数是2,经过7次运算输出的数是1,经过8次运算输出的数是4,经过9次运算输出的数是2……所以第1次输出的数到第4次输出的数只出现一次,从第5次开始,每3次循环一次,(2 022-4)÷3=672……2,所以经过2 022次运算输出的数与第6次输出的数相同.

二、能力提升

1.D　因为3,6,9,12,…称为“三角形数”,所以“三角形数”都是3的倍数.因为4,8,12,16,…称为“正方形数”,所以“正方形数”都是4的倍数,所以既是“三角形数”又是“正方形数”的数是12的倍数.选项中的数只有2 016能被12整除.

2.A　因为第1个单项式a2=12·a1+1,第2个单项式4a3=22·a2+1,第3个单项式9a4=32·a3+1,第4个单项式16a5=42·a4+1……所以第n(n为正整数)个单项式为n2an+1.

3.B　由题意可知,行数为1的方阵内包含“1”,共1个数;行数为2的方阵内包含“1,3,5,7”,共22个数;行数为3的方阵内包含“1,3,5,7,9,11,13,15,17”,共32个数.所以行数为32的方阵内包含“1,3,5,7,…,”,共322个数,即共1 024个数,所以位于第32行第13列的数是连续奇数的第(1 024-12)=1 012个数,所以位于第32行第13列的数是2×1 012-1=2 023.

4.A　由题图可知,每个凸起对应5个数字,这些数字的奇数都是负数,偶数都是正数,(2 022-1)÷5=2 021÷5=404……1,所以2 022应排在A位置.

5.(3n+1)　第1个图案中三角形的个数为4,4=3×1+1,第2个图案中三角形的个数为7,7=3×2+1,第3个图案中三角形的个数为10,10=3×3+1,所以第n个图案中三角形的个数为3n+1.

6.解:(1)56

(2)n(n+1)

(3)300+302+304+…+2 016+2 018+2 020

=(2+4+6+…+2 020)-(2+4+6+…+298)

=1 010×1 011-149×150

=998 760.