高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时当堂达标检测题

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用

必备知识基础练

1.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-11,=2,则S11=(　　)

A.-11 B.11 C.10 D.-10

2.(2021天津滨海高二期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,公差d=-,则Sn取得最大值时n的值为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

3.在等差数列{an}中,前m项(m为偶数)和为77,其中偶数项之和为44,且am-a1=18,则数列{an}的公差为(　　)

A.-4 B.4 C.6 D.-6

4.若Sn表示等差数列{an}的前n项和,,则=(　　)

A. B. C. D.

5.(多选题)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有(　　)

A.a10=0 B.S7=S12

C.S10最小 D.S20=0

6.已知等差数列{an},Sn为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6=　　　　　. 

7.已知等差数列{an},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是　　　　. 

8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,n∈N*,若S12>0,S13<0,则数列{|an|}的最小项是　　　　　. 

9.在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.

10.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a3=7,　　　　　. 

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an}的前n项和Sn的最值.

从①S6=51;②an=an-1-3;③S5=a3a5中任选一个,补充在上面的问题中并作答.

关键能力提升练

11.(2022河南驻马店高二期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=2 020,则a3+4a4+a8=(　　)

A.2 020 B.1 525 C.1 515 D.2 015

12.(2021新疆乌鲁木齐高三三模)在等差数列{an}中,a3=16,a7=8,Sn是数列{an}的前n项和,则满足数列的前n项和最大的n的值为(　　)

A.20 B.21

C.20或21 D.21或22

13.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,nSn+1>(n+1)Sn(n∈N*),且<-1,则在Sn中(　　)

A.最小值是S7 B.最小值是S8

C.最大值是S8 D.最大值是S7

14.(多选题)(2021广东中山高二期末)设{an}是等差数列,公差为d,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是(　　)

A.d<0 

B.S6与S7是Sn的最大值

C.S9>S5 

D.a7=0

15.(多选题)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且,则使得为整数的正整数n可以是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.6

16.(2021湖北武汉月考)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且,则=　　　　　. 

17.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数k为　　　　. 

18.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是和an的等差中项.

(1)证明:数列{an}为等差数列,并求an;

(2)若bn=-n+5,求{anbn}的最大值,并求出取最大值时n的值.

19.在等差数列{an}中,a1=60,a17=12,求数列{|an|}的前n项和.

学科素养创新练

20.(2021江苏海安高三期末)设数列{an}的前n项和为Sn,写出一个同时满足条件①②的等差数列{an}的通项公式.

①Sn存在最小值且最小值不等于a1;

②不存在正整数k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2.

参考答案

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用

1.A　∵{an}为等差数列,∴为等差数列,首项=a1=-11,设的公差为d,则=2d=2,

∴d=1,∴=-11+10d=-1,∴S11=-11.

2.A　∵a1=10,d=-,

∴Sn=10n+×-=-n2+n.

∵n∈N*,抛物线y=-x2+x的对称轴为直线x=,且开口向下,

∴当n=3时,Sn取得最大值为.故选A.

3.B　设数列{an}公差为d,由题意得等差数列{an}前m项中,奇数项之和为33,偶数项之和与奇数项之和的差为11,所以d=11,即md=22.

又am-a1=(m-1)d=18,所以d=md-18=22-18=4.

4.C　由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列.

∵,∴S10=3S5,

∴S15=6S5,S20=10S5,∴.

5.AB　因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确,

又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确,当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误,

又因为S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误.故选AB.

6.5　∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5.

7.6或7　由|a5|=|a9|,且d>0,得a5<0,a9>0,且a5+a9=0,所以a7==0,故S6=S7,且为最小值.

8.a7　设等差数列{an}的公差为d.

∵a1>0,n∈N*,S12>0,S13<0,

∴6(a6+a7)>0,13a7<0.

∴a7<0,a6>-a7>0,且a6+a8=2a7<0,即a6<-a8.

∴-a7<a6<-a8<…,则数列{|an|}的最小项是a7.

9.解等差数列{an}的公差d==3,故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.

由an<0,得3n-63<0,即n<21.

故数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.

设Sn,S'n分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,当n≤20时,S'n=-Sn=-=-n2+n;

当n≥21时,S'n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1 260.

故数列{|an|}的前n项和为S'n=

10.解选①:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题设知解得a1=1,d=3,

∴an=1+3(n-1)=3n-2.

(2)由(1)知an=3n-2,数列{an}是递增数列,

∴当n=1时,Sn有最小值S1=1,Sn无最大值.

选②:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题设知d=an-an-1=-3,

∵a3=a1+2×(-3)=7,∴a1=13,

∴an=13-3(n-1)=16-3n.

(2)由(1)知an=16-3n,数列{an}是递减数列,

令an>0,得n<,故当n=5时,Sn有最大值S5==35,Sn无最小值.

选③:(1)设等差数列{an}的公差为d,由得a5=5,∴d==-1.

∴an=a3+(n-3)d=10-n.

(2)由(1)知an=10-n,数列{an}是递减数列,令an=0,得n=10.

故当n=9或n=10时,Sn有最大值S9=S10=45,Sn无最小值.

11.C　∵S8=(a1+a8)=4(a1+a8)=2 020,

∴a1+a8=505,

∴a3+4a4+a8=3(a1+a8)=3×505=1 515.

12.C　设等差数列{an}的公差为d,因为{an}是等差数列,所以也是等差数列,公差为,由a3=16,a7=8,可得d==-2,则a1=a3-2d=20,所以=a1=20,=-1,所以=20-(n-1)=21-n.

可得当n<21,n∈N*时,>0;当n=21时,=0;当n>21,n∈N*时,<0,所以当n=20或n=21时,数列的前n项和取得最大值.故选C.

13.A　由nSn+1>(n+1)Sn,得,即>0.而,所以d>0.

因为<-1,所以<0,即a7(a7+a8)<0.

由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7.

14.ABD　由S5<S6,得S6-S5=a6>0,

由S6=S7,得S7-S6=a7=0,由S7>S8,得a8<0,

∴d=a7-a6<0,故A,D正确;

而C选项S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由结论a7=0,a8<0,显然C错误;

∵S5<S6,S6=S7>S8,

∴S6与S7均为Sn的最大值,故B正确.故选ABD.

15.ABC　=7+.

当n=1,2,3,5,11时,为整数,即当n=1,2,3,5,11时,为整数.故选ABC.

16.10　∵,∴=10.

17.2 016　因为等差数列{an}的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S2 011=S2 014,Sk=S2 009,可得,解得k=2 016.

18.(1)证明由已知,得2Sn=+an,且an>0.

当n=1时,2a1=+a1,解得a1=1.

当n≥2时,2Sn-1=+an-1.

所以2Sn-2Sn-1=+an-an-1,即2an=+an-an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.

因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).

故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.

(2)解由(1)可知an=n.设cn=anbn,

则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-.

因为n∈N*,所以当n=2或n=3时,{cn}的最大项为6.

故{anbn}的最大值为6,此时n=2或n=3.

19.解等差数列{an}的公差为d==-3,故通项公式为an=a1+(n-1)d=60+(-3)×(n-1)=63-3n.

令an≥0,即63-3n≥0,解得n≤21,即数列的前21项是非负数,从第22项开始都是负数.

设Sn,Tn分别表示数列{an}与数列{|an|}的前n项和,

则Sn==-n2+n.

当n≤21时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n;

当n≥22时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a21|+|a22|+…+|an|=a1+a2+…+a21-(a22+…+an)=S21-(Sn-S21)=2S21-Sn.

由S21=-×212+×21=630,得Tn=2×630--n2+n=n2-n+1 260.

故Tn=

20.解因为等差数列{an}的前n项和为Sn=na1+n2+a1-n,

其对应函数的图象为一抛物线,对称轴为,

若Sn存在最小值且最小值不等于a1,

则,且d>0,整理得a1<-d.

又因为不存在正整数k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2,

则连续两项取得最小值,令Sk=Sk+1,k>1,

所以ak+1=a1+kd=0,所以k=->1.

令k=2,a1=-2d,则有an=(n-3)d,令d=2,则an=2n-6为一个符合题意的通项公式.

故答案为an=2n-6(不唯一).