人教版高中数学选择性必修第二册第四章培优课——求数列的通项习题含答案

培优课——求数列的通项

必备知识基础练

1.将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2 021,从第二行起,每一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M等于(　　)

A.2 021×22 018 B.2 022×22 019

C.2 021×22 019 D.2 022×22 020

2.(多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是(　　)

A.数列{Sn+n}为等比数列

B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1

C.数列{an+1}为等比数列

D.数列{Sn-Sn-1+1}为等比数列

3.已知在数列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为　　　　　. 

4.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4.

(1)求a1的值;

(2)若bn=an-1,试证明数列{bn}为等比数列.

5.已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=(n≥2).试求数列{bn}的通项公式.

关键能力提升练

6.在数列{an}中,a1=5,且满足-2=,则数列{an}的通项公式为(　　)

A.2n-3 B.2n-7

C.(2n-3)(2n-7) D.2n-5

7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).若bn=log2+1,则数列{bn}的通项公式bn等于(　　)

A.n B.n-1 C.n D.2n

8.若数列{an}满足a1=1,且an+1=4an+2n,则a6=　　　　　. 

9.已知在数列{an}中,an+1=2an+3·2n+1,且a1=2,则数列{an}的通项公式为　　　　　. 

10.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式an.

11.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年年底需要从利润中取出200万元进行广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(取lg 2≈0.301 03)

学科素养创新练

12.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.

(1)试用an表示an+1;

(2)求证:是等比数列;

(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式.

参考答案

培优课——求数列的通项

1.B　记第n行的第一个数为an,则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2n-2,∴+1,即是以=2为首项,1为公差的等差数列.

∴=2+(n-1)×1=n+1,∴an=(n+1)·2n-2.

又每行比上一行的数字少1个,

∴最后一行为第2 021行,∴M=a2 021=2 022×22 019.

2.AD　因为Sn+1=2Sn+n-1,所以=2.

又S1+1=2,所以数列{Sn+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确;

所以Sn+n=2n,则Sn=2n-n.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,但a1≠21-1-1,故B错误;

由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4,即,故C错误;

由Sn=2n-n,所以Sn-Sn-1+1=2n-n-2n-1+n-1+1=2n-1,故D正确.

3.an=　由(2n+1)an=(2n-3)an-1,可得(n≥2),

所以,…,(n≥2).上述各式左右两边分别相乘得(n≥2),故an=(n≥2).

又a1=1满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).

4.(1)解因为Sn=2an+n-4,

所以当n=1时,S1=2a1+1-4,解得a1=3.

(2)证明因为Sn=2an+n-4,

所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-4,

Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5),

即an=2an-1-1,所以an-1=2(an-1-1),

又bn=an-1,所以bn=2bn-1,且b1=a1-1=2≠0,

所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.

5.解∵Sn-Sn-1=(n≥2),

∴()()=(n≥2).

又>0,∴=1.

又=1,

∴数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,

∴=1+(n-1)×1=n,故Sn=n2.

当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.

当n=1时,b1=1符合上式.

∴bn=2n-1.

6.C　因为-2=,所以=2,

又=-1,所以数列是以-1为首项,公差为2的等差数列,所以=-1+2(n-1)=2n-3,所以an=(2n-3)(2n-7).

7.C　由an+1=,得=1+,

所以+1=2+1,

又+1=2,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以+1=2·2n-1=2n,

所以bn=log2+1=log22n=n.

8.2 016　因为an+1=4an+2n,

所以an+1+2n=4(an+2n-1),

所以数列{an+2n-1}是等比数列,首项为2,公比为4,

则an+2n-1=2×4n-1,可得an=22n-1-2n-1,

则a6=22×6-1-26-1=211-25=2 016.

9.an=(3n-2)·2n　∵an+1=2an+3·2n+1,

∴+3,即=3.

∴数列是公差为3的等差数列.

又=1,∴=1+3(n-1),∴an=(3n-2)·2n.

10.解由a1+2a2+3a3+…+nan=an+1,得

当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an,

两式作差得nan=an+1-an,

得(n+1)an+1=3nan(n≥2),

即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n≥2时,nan=2×3n-2.

于是an=

11.解设该项目n年后资金数为an,n∈N*.

则由已知得an+1=an(1+25%)-200,

即an+1=an-200.

令an+1-x=(an-x),即an+1=an-,

由=200,得x=800.

∴an+1-800=(an-800).

故数列{an-800}是以a1-800为首项,为公比的等比数列.

∵a1=1 000×(1+25%)-200=1 050,

∴a1-800=250,∴an-800=250×n-1,

∴an=800+250×n-1(n∈N*).

由题意知an≥4 000,

∴800+250×n-1≥4 000,即≥16.

两边取常用对数得nlg≥lg 16,即n(1-3lg 2)≥4lg 2.

∵lg 2≈0.301 03,∴不等式化为n≥≈12.43,

∴n≥13.

故经过13年后,该项目资金可达到或超过翻两番的目标.

12.(1)解根据根与系数的关系,得

代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,得=3.

所以an+1=an+.

(2)证明因为an+1=an+,

所以an+1-an-.

若an=,则方程anx2-an+1x+1=0,

可化为x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0.

此时Δ=(-2)2-4×2×3<0,

所以an≠,即an-≠0.

所以数列是以为公比的等比数列.

(3)解当a1=时,a1-,所以数列是首项为,公比为的等比数列.

所以an-,

所以an=,n∈N*,

即数列{an}的通项公式为an=,n∈N*.