人教版高中数学选择性必修第二册第五章培优课——构造函数法解决导数问题习题含答案

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培优课——构造函数法解决导数问题
必备知识基础练
1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f'(x)<12,则f(x) A.{x|-1 B.{x|x<-1}
C.{x|x<-1或x>1}
D.{x|x>1}
2.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
3.已知函数f(x)的定义域为R,f'(x)为f(x)的导函数,且f(x)+(x-1)f'(x)>0,则下列式子正确的是(　　)
A.f(1)=0 B.f(x)<0
C.f(x)>0 D.(x-1)f(x)<0
4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<-f'(x),则下列式子一定成立的是(　　)
A.f(2 020)>ef(2 021)
B.f(2 020) C.ef(2 020)>f(2 021)
D.ef(2 020) 5.(多选题)已知f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且(x+1)·f'(x)>f(x),则下列不等式一定成立的是(　　)
A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3)
C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2)
6.已知f(x)是定义在0,π2上的函数,其导函数为f'(x),fπ3=23,且当x∈0,π2时,f '(x)sin x+f(x)cos x>0,则不等式f(x)sin x<3的解集为　　　　　. 
7.设函数f'(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,有f'(x)cos x-f(x)sin x>0,若a=12fπ3,b=0,c=-32f5π6,则a,b,c的大小关系是　　　　　. 
8.若对任意的x∈[e,+∞),都有xln x≥ax-a,求实数a的取值范围.












9.已知函数f(x)=12x2-2aln x+(a-2)x.
(1)当a=1时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值和最大值.
(2)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有f(x2)-f(x1)x2-x1>a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.












关键能力提升练
10.设f(x),g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数,且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,则当a A.f(x)g(x)>f(b)g(b)
B.f(x)g(b)>f(b)g(x)
C.f(x)g(a)>f(a)g(x)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
11.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且3f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.f(1) C.f(1)>e3f(0) D.f(1)>e2f(0)
12.设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若3f(x)+f'(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e-3x的解集是(　　)
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,1)
13.定义域为-π2,π2的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,其导函数为f'(x),当0≤x<π2时,有f'(x)cos x+f(x)sin x<0成立,则关于x的不等式f(x)<2fπ4·cos x的解集为(　　)
A.-π2,-π4∪π4,π2
B.π4,π2
C.-π4,0∪0,π4
D.-π4,0∪π4,π2
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,当x>0时,有xf'(x)-f(x)x2>0,则不等式x2f(x)>0的解集是　　　　　. 
15.已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若x1,x2是方程f(x)=2的两个不同实根,证明:x1+x2>2e3.













学科素养创新练
16.设函数f(x)=aex,x∈R.
(1)当a=1时,过原点作y=f(x)的切线,求切线方程;
(2)若不等式xf(x)-x+2>ln x对于x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,证明:x-x2-x2ln x<1+e2e3f(x).













参考答案

培优课——构造函数法解决导数问题
1.D　构造函数h(x)=f(x)-x2-12,所以h'(x)=f'(x)-12<0,故h(x)在R上是减函数,且h(1)=f(1)-12-12=0,故h(x)<0的解集为{x|x>1}.
2.A　构造函数h(x)=f(x)x,因为f(x)为奇函数,所以h(x)为偶函数,又因为h'(x)=xf'(x)-f(x)x2,且当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上是减函数,根据对称性知h(x)在(-∞,0)上是增函数,又f(-1)=0,所以f(1)=0,数形结合可知,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
3.C　令g(x)=(x-1)f(x),
则g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)>0,
所以g(x)在R上是增函数,
又因为g(1)=0,所以当x>1时,g(x)=(x-1)f(x)>0;
当x<1时,g(x)=(x-1)f(x)<0.
所以当x≠1时,f(x)>0.
又f(1)+(1-1)f'(1)=f(1)>0,
所以ABD错误,C正确.
4.A　依题意得f(x)+f'(x)<0,令g(x)=exf(x),
则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0在R上恒成立,
所以函数g(x)=exf(x)在R上是减函数,
所以g(2 020)>g(2 021),
即e2 020f(2 020)>e2 021f(2 021)⇒f(2 020)>ef(2 021).
5.BD　由(x+1)f'(x)>f(x),得(x+1)f'(x)-f(x)>0,令g(x)=f(x)x+1,
则g'(x)=(x+1)f'(x)-f(x)(x+1)2>0,
∴g(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴g(2) 即4f(2)<3f(3),5f(3)<4f(4),故选BD.
6.x00,
所以[f(x)sin x]'>0,x∈0,π2,
令g(x)=f(x)sin x,
则当x∈0,π2时,g'(x)>0,g(x)在0,π2上是增函数,
因为fπ3=23,所以gπ3=fπ3sinπ3=3,不等式f(x)sin x<3,
即g(x) 因为g(x)在0,π2上是增函数,
所以原不等式的解集为x0 7.a 则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x,
因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0,所以g'(x)>0,
所以g(x)在(0,π)上是增函数,
a=12fπ3=fπ3cosπ3=gπ3,
b=0=fπ2cosπ2=gπ2,
c=-32f5π6=f5π6cos5π6=g5π6,
所以a 8.解若对任意的x∈[e,+∞),都有xln x≥ax-a,等价于a≤xlnxx-1在[e,+∞)上恒成立,
令h(x)=xlnxx-1,则h'(x)=x-lnx-1(x-1)2,x∈[e,+∞),
令m(x)=x-ln x-1,则当x≥e时,m'(x)=1-1x>0,
即m(x)在[e,+∞)上是增函数,
故m(x)≥m(e)=e-2>0,所以h'(x)>0,
所以h(x)=xlnxx-1在[e,+∞)上是增函数,
h(x)min=h(e)=ee-1,所以a≤ee-1,
即实数a的取值范围是-∞,ee-1.
9.解(1)当a=1时,f(x)=12x2-2ln x-x.
则f'(x)=x-2x-1=x2-x-2x=(x+1)(x-2)x,x∈[1,e].
∴当x∈[1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,e]时,f'(x)>0.
∴f(x)在[1,2)上是减函数,在(2,e]上是增函数.
∴当x=2时,f(x)取得最小值,其最小值为f(2)=-2ln 2.
又f(1)=-12,f(e)=e22-e-2,f(e)-f(1)=e22-e-2+12=e2-2e-32<0,∴f(e) ∴f(x)max=f(1)=-12.
(2)假设存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有f(x2)-f(x1)x2-x1>a恒成立,
不妨设0 ∵f(x2)-f(x1)x2-x1>a,
∴f(x2)-ax2>f(x1)-ax1.
令g(x)=f(x)-ax,
则由此可知g(x)在(0,+∞)上是增函数,
又g(x)=12x2-2aln x+(a-2)x-ax=12x2-2aln x-2x,
则g'(x)=x-2ax-2=x2-2x-2ax,
由此可得g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
只需-1-2a≥0,解得a≤-12,
即a的取值范围是-∞,-12.
10.B　设F(x)=f(x)g(x),
则F'(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)g2(x),
由f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,得F'(x)<0,所以F(x)在R上是减函数,因为af(b)g(x).
11.A　令g(x)=f(x)e3x,
则g'(x)=f'(x)·e3x-3f(x)e3x(e3x)2=f'(x)-3f(x)e3x,
因为3f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,
所以g'(x)<0在R上恒成立,
故g(x)在R上是减函数,
所以g(1) 12.A　令g(x)=e3xf(x),则g'(x)=3e3xf(x)+e3xf'(x),
因为3f(x)+f'(x)>0,所以3e3xf(x)+e3xf'(x)>0,
所以g'(x)>0,
所以函数g(x)=e3xf(x)在R上是增函数,
又f(x)>e-3x可化为e3xf(x)>1,且g(0)=e3×0f(0)=1,
所以g(x)>g(0),解得x>0,
所以不等式f(x)>e-3x的解集是(0,+∞).
13.B　∵f(x)+f(-x)=0且x∈-π2,π2,
∴f(x)是奇函数.
设g(x)=f(x)cosx,则当0≤x<π2时,
g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x<0,
∴g(x)在0,π2上是减函数.
又f(x)是奇函数,∴g(x)=f(x)cosx也是奇函数,
∴g(x)在-π2,0上是减函数,
从而g(x)在-π2,π2上是减函数.
∵不等式f(x)<2fπ4·cos x,∴f(x)cosx 即g(x) 14.(-1,0)∪(1,+∞)　令g(x)=f(x)x(x≠0),
则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2.
∵当x>0时,xf'(x)-f(x)x2>0,即g'(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.
又f(1)=0,∴g(1)=f(1)=0,
∴在(0,+∞)上,g(x)>0的解集为(1,+∞),g(x)<0的解集为(0,1).
∵f(x)为奇函数,∴g(x)为偶函数,
∴在(-∞,0)上,g(x)>0的解集为(-∞,-1),g(x)<0的解集为(-1,0).
由x2f(x)>0,得f(x)>0(x≠0).
又f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞),
∴不等式x2f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
15.(1)解因为f(x)=ax-ln x,
所以f'(x)=-ax2-1x=-a+xx2.
①当a≥0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上是减函数.
②当a<0时,由f'(x)>0,得0-a.
即f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,+∞)上是减函数.
综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是减函数;
当a<0时,f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,+∞)上是减函数.
(2)证明因为f(x1)=f(x2)=2,
所以ax1-ln x1-2=0,ax2-ln x2-2=0,
即x1ln x1+2x1-a=0,x2ln x2+2x2-a=0.
设g(x)=xln x+2x-a,则g'(x)=ln x+3,
故g(x)在0,1e3上是减函数,在1e3,+∞上是增函数.
由题意,设0 欲证x1+x2>2e3,只需证x2>2e3-x1,
又x2∈1e3,+∞,2e3-x1∈1e3,+∞,g(x)在1e3,+∞上是增函数,故只需证g(x2)>g2e3-x1.
因为g(x1)=g(x2),所以只需证g(x1)>g2e3-x1对任意的x1∈0,1e3恒成立即可,
即x1ln x1+2x1-a>2e3-x1ln2e3-x1+22e3-x1-a,
整理得x1ln x1+2x1>2e3-x1ln2e3-x1+4e3-2x1,
即x1ln x1-2e3-x1ln2e3-x1+4x1-4e3>0.
设h(x)=xln x-2e3-xln2e3-x+4x-4e3,x∈0,1e3,
则h'(x)=ln x+ln2e3-x+6=ln2xe3-x2+6.
因为0 则h(x)>h1e3=0.
所以x1+x2>2e3成立.
16.(1)解当a=1时,f(x)=ex,则f'(x)=ex,设切点坐标为(x0,y0),则切线斜率为ex0,切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),将(0,0)代入切线方程,解得x0=1,所以切线方程为y=ex.
(2)解不等式xf(x)-x+2>ln x对于x∈(0,+∞)恒成立,则a>lnx+x-2xex,x∈(0,+∞)恒成立.
令g(x)=lnx+x-2xex,则g'(x)=(x+1)(3-lnx-x)x2ex,
令m(x)=3-ln x-x,则m'(x)=-1x-1<0,
所以m(x)单调递减,m(2)>0,m(3)<0,
所以∃x1∈(2,3),m(x1)=0,
所以当x∈(0,x1)时,g(x)单调递增;
当x∈(x1,+∞)时,g(x)单调递减.
所以g(x)max=g(x1).
因为m(x1)=3-ln x1-x1=0,
所以ln x1=3-x1,x1=e3-x1,
所以g(x1)=ln x1+x1-2x1ex1=1e3,所以a>1e3,
所以a的取值范围为1e3,+∞.
(3)证明要证x-x2-x2ln x<1+e2e3f(x),即证1-x-xln x<1+1e2ex-1x.
令F(x)=1-x-xln x,则F'(x)=-2-ln x,
所以F(x)在(0,e-2)上单调递增,在(e-2,+∞)上单调递减,
所以F(x)max=F(e-2)=1+1e2.
令G(x)=1+1e2ex-1x,
则G'(x)=1+1e2ex-1(x-1)x2,
所以G(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以G(x)min=G(1)=1+1e2.
因为F(x)max=F(e-2)=G(x)min=G(1),1≠e-2,所以1-x-xln x<1+1e2ex-1x,原不等式得证.