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    人教版高中数学必修第二册第六章测评含答案

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    人教版高中数学必修第二册第六章测评含答案

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    这是一份人教版高中数学必修第二册第六章测评含答案,共11页。
    过关综合测评第六章测评(时间:120分钟 满分:150)一、选择题:本题共8小题,每小题5,40.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021安徽庐阳校级期末)下列说法正确的是(  )                A.|a|=|b|,a=ba=-bB.a,b互为相反向量,a+b=0C.零向量是没有方向的向量D.a,b是两个单位向量,a=b答案B解析|a|=|b|,a,b可能不共线,A错误;a,b互为相反向量,a=-b,a+b=0,B正确;零向量的方向不确定,为任意方向,不能说零向量没有方向,C错误;a,b是两个单位向量,|a|=|b|,而方向可能不同,D错误.故选B.2.(2021安徽庐阳校级期末)已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量同向的单位向量是(  )A. B.C. D.答案A解析A(4,1),B(7,-3),=(3,-4),故与向量同向的单位向量为.故选A.3.(2021全国甲卷)ABC,已知B=120°,AC=,AB=2,BC=(  )A.1 B. C. D.3答案D解析BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos 120°,解得x=3x=-5().故选D.4.(2021北京朝阳校级月考)已知a=(1,-2),b=(-2,m),a(a+2b),则实数m的值为(  )A. B. C.1 D.2答案A解析a=(1,-2),b=(-2,m),a·b=-2-2m.a(a+2b),a·(a+2b)=a2+2a·b=5-4-4m=0,解得m=.故选A.5.(2021四川巴中模拟)已知向量=(1,-2),=(2,-3),=(3,t).A,B,C三点共线,则实数t=(  )A.-4 B.-5 C.4 D.5答案A解析向量=(1,-2),=(2,-3),=(3,t).A,B,C三点共线,则存在实数x,使=x+(1-x),解得故选A.6.(2021湖南郴州期末)已知平面向量满足||=||=1,=-.||=1,||的最大值为(  )A.-1 B.-1C.+1 D.+1答案D解析||=||=1,=-,cosAPB==-,APB=π.由余弦定理,AB2=PA2+PB2-2PA·PBcosAPB=1+1+1=3.AB=,||=.同向共线时,||有最大值+1.故选D.7.(2021北京模拟)在等腰梯形ABCD,=-2,MBC的中点,=(  )A. B.C. D.答案B解析图所示,在等腰梯形ABCD,=-2,=-,.MBC的中点,=0.,2=()+()=,.故选B.8.ABC,A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,BC边上的高为1,ABC面积的最小值为(  )A.2- B.2-C.2+ D.2+答案B解析ABC的面积为S,BC边上的高为h,h=1,S=bcsin A=bc,bc=4S.S=ah=a,S2=a2=(c2+b2-2bccos A)=(c2+b2-bc)(2bc-bc)=bc=×4S=(2-)S,当且仅当b=c,等号成立.S2-,ABC面积的最小值为2-.故选B.二、选择题:本题共4小题,每小题5,20.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5,部分选对的得2,有选错的得0.9.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则下列选项正确的有(  )A.(a+2b)c B.(a+2b)cC.|a+c|= D.|a+c|=2|b|答案AD解析a+2b=(-3,5),A正确,B错误;|a+c|==2=2|b|,C错误,D正确.故选AD.10.(2021广东宝安校级期末)PABC所在平面内的一点,=3,(  )A.=0 B.=0C. D.=0答案CD解析因为=3,所以-3=0,=0,D正确,A,B错误;易知C正确.故选CD.11.(2021江苏建邺校级月考)已知满足C=30°,AB=4,AC=bABC有两个,那么b可能是(  )A.5 B.6 C.7 D.8答案ABC解析ABC,C=30°,AB=4,AC=b,由正弦定理,,,解得sin B=.由题意知,sin B,满足条件的ABC有两个,<1,解得4<b<8,所以b可能是5,6,7.故选ABC.12.(2021江苏常州期末)ABC,满足cos2A+cos2B=1,则下列说法正确的是(  )A.A+B=B.|tan A|=C.A,B为不同象限的角,tan(A+B)+的最大值为-2D.=4答案BC解析对于A,cos2A+cos2B=1,|cos B|=|sin A|,可得A+B=A-B=,A错误;对于B,|cos B|=|sin A|,|tan A|=,B正确;对于C,因为A,B为不同象限的角,所以tan Atan B=-1,所以A,B中必有一角大于,所以C0,,tan C>0,所以tan (A+B)+=-tan C+=--2,当且仅当tan C=1,等号成立,C正确;对于D,因为sin 2A+sin 2B+sin 2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=2sin Ccos(A-B)-2sin Ccos(A+B)=4sin Asin Bsin C,所以=4tan Atan B=±4,D错误.故选BC.三、填空题:本题共4小题,每小题5,20.13.(2021湖南怀化期末)在水流速度为4 km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8 km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为      km/h. 答案4解析题意,如图,表示水流速度,表示船在静水中的速度,表示船的实际速度.||=4,||=8,AOB=90°,||==4,实际速度的大小为4 km/h.14.(2021全国乙卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,b=     . 答案2解析由题意可知ABC的面积S=acsin 60°=,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12.因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×cos 60°=8,所以b=2.15.(2021安徽芜湖模拟)已知a,b,c是单位向量,a+b+c=0,|a-b|=    . 答案解析a+b+c=0,a+b=-c,(a+b)2=(-c)2.a,b,c是单位向量,a·b=-,|a-b|=.16.(2021浙江卷)ABC,B=60°,AB=2,MBC的中点,AM=2,AC=   ,cosMAC=    . 答案2解析题意作出图形,如图,ABM,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM·BA·cos B,12=4+BM2-2BM×2×,解得BM=4(负值舍去),所以BC=2BM=2CM=8.ABC,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=4+64-2×2×8×=52,所以AC=2.AMC,由余弦定理的推论,cosMAC=.四、解答题:本题共6小题,70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10)已知平面上点A(4,1),B(3,6),D(2,0),.(1)||;(2)若点M的坐标为(-1,4),用基底{}表示.(1)设点C的坐标为(x,y),已知点A(4,1),B(3,6),D(2,0),所以=(x-3,y-6),=(-2,-1).,所以解得所以点C的坐标为(1,5),=(-3,4),所以||==5.(2)已知点M(-1,4),所以=(-5,3),=(-1,5),=(-2,-1).=λ+μ,解得+2.18.(12)(2021安徽定远校级期末)已知向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),ab,ac.(1)bc;(2)m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.(1)ab,x-2×3=0,解得x=6.ac,1×2+2y=0,解得y=-1.b=(3,6),c=(2,-1).(2)m=2a-b=(-1,-2),n=a+c=(3,1),m·n=-1×3-2×1=-5,|m|=,|n|=,cos<m,n>==-.0<m,n>π,向量m,n的夹角为.19.(12)(2021安徽瑶海月考)已知海岛A四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,B处望见岛A在北偏东75°,航行20 海里后,C处望见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有没有触礁危险?请说明理由.有触礁危险,理由如下:如图所示,由题意知,ABC=15°,ACD=60°,BAC=45°.ABC,BC=20,由正弦定理得AC==40sin 15°=10().在直角三角形ACD,AD=ACsin 60°=15-5>8,从而可知货轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.20.(12)(2021浙江北仑校级期中)如图,在直角梯形ABCD,B是直角,=2,AB=AD=2,EAB的中点,=λ(0λ1).(1)λ=,表示;(2)||的最小值并求出相应的实数λ的值.(1)λ=,,)=)==.(2)建立如图所示的平面直角坐标系,=(2,0),=(-1,2).因为=λ=(-λ,2λ),0λ1,所以=(2-λ,2λ),P的坐标为(2-λ,2λ).因为E的坐标为(0,1),所以=(λ-2,1-2λ),||=,λ=,|PE|取得最小值.21.(12)(2021浙江期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cos B+bcos A=0.(1)求角B的大小;(2)b=3,ABC的周长的最大值.(1)已知(a+2c)cos B+bcos A=0,(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0,sin Acos B+cos Asin B+2sin Ccos B=0,sin(A+B)+2sin Ccos B=0,sin C+2sin Ccos B=0,sin C>0,cos B=-.0<B<π,B=.(2)b=3,sin B=,由正弦定理得=2,a=2sin A,c=2sin C,ABC周长为a+b+c=2(sin A+sin C)+3=2sin A+sin+3=2sin+3.0<A<,<A+,sin,2sin+3(6,2+3],ABC周长的最大值为2+3.22.(12)(2021新高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,D在边AC,BDsinABC=asin C.(1)证明:BD=b;(2)AD=2DC,cosABC.(1)证明由正弦定理,BD·b=ac=b2,BD=b.(2)(1)BD=b,AD=2DC,AD=b,DC=b.ABD,由余弦定理的推论,cosBDA=,CBD,由余弦定理的推论,cosBDC=.BDA+BDC=π,cosBDA+cosBDC=0.=0,33b2=9c2+18a2.b2=ac,9c2-33ac+18a2=0.c=3ac=a.ABC,由余弦定理的推论知,cosABC=,c=3a,cosABC=>1();c=a,cosABC=.综上所述,cosABC=.

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