人教版高中数学必修第一册第四章习题课指数函数及其性质的应用习题含答案

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习题课　指数函数及其性质的应用A级 必备知识基础练1.函数f(x)=+1在区间[-2,2]上的最小值为(　　)A. B. C. D.132.(多选题)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是(　　)A.2 B. C.3 D.3.设x>0,且1<bx<ax,则(　　)A.0<b<a<1 B.0<a<b<1C.1<b<a D.1<a<b4.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　)A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]5.若函数y=在区间(-∞,1)内单调递增,则a的取值范围是　　　　. 6.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0,且a≠1.(1)求a的值;(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.      B级 关键能力提升练7.(多选题)已知函数f(x)=,下面说法正确的有(　　)A.f(x)的图象关于原点对称B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的值域为(-1,1)D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<08.(多选题)对于函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(　　)A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解9.(2022上海闵行高一期末)若实数x,y满足2 020x-2 020y<2 021-x-2 021-y,则(　　)A.x-y<0 B.x-y>0C.<1 D.>110.若函数f(x)=的值域为(a,+∞),则a的取值范围为(　　)A. B.C. D.11.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)=　　　　;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　. 12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　　. 13.设函数f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)>30;(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.   C级 学科素养创新练14.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求m,n的值;(2)当x∈时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围
习题课　指数函数及其性质的应用1.B　令t=,t∈,∴g(t)=t2-t+1,对称轴为t=,∴g(t)min=g.故选B.2.AB　当a>1时,指数函数y=ax单调递增,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=.所以a+,解得a=2或a=(舍去);当0<a<1时,指数函数y=ax单调递减,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=,ymin=a,所以a+,解得a=2(舍去)或a=.综上,可得a=2或a=.3.C　∵1<bx,∴b0<bx.∵x>0,则b>1.又bx<ax,∴x>1,∵x>0,∴>1,即a>b,故1<b<a.故选C.4.B　由f(1)=,得a2=,解得a=,故f(x)=|2x-4|.令g(x)=|2x-4|,因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).故选B.5.[2,+∞)　由复合函数的单调性知,函数y=-x2+ax的对称轴x=≥1,解得a≥2.6.解(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,所以a2-1=a=.(2)由(1)得f(x)=(x≥0),当x=0时,函数取最大值2,故f(x)∈(0,2],所以函数y=f(x)+1=+1(x≥0)∈(1,3],故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].7.AC　对于选项A,f(x)=,定义域为R,∵f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A正确;对于选项B,∵f(1)=,f(-1)==-≠f(1),∴f(x)的图象不关于y轴对称,故B错误;对于选项C,f(x)==1-,令1+2x=t,t∈(1,+∞),y=1-,易知1-∈(-1,1),故f(x)的值域为(-1,1),故C正确;对于选项D,f(x)==1-,令1+2x=t,t∈(1,+∞),y=1-,函数t=1+2x在R上单调递增,且y=1-在t∈(1,+∞)上单调递增,∴f(x)=1-在R上单调递增,故∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<0不成立,故D错误.故选AC.8.ABD　f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;f(x)=-2x在R上是减函数,C错;由于x趋向于-∞时,f(x)趋向于+∞,x趋向于+∞时,f(x)趋向于-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),又f(x)在R上是减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.9.A　不等式2 020x-2 020y<2 021-x-2 021-y化为2 020x-2 021-x<2 020y-2 021-y,令f(a)=2 020a-2 021-a,则f(a)是增函数,故x<y,即x-y<0.故选A.10.B　当x<1时,,当x≥1时,a<a+≤a+.∵函数f(x)的值域为(a,+∞),∴即a∈,故选B.11.2-x-4　{x|x<0,或x>4}　设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4.又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.于是f(x-2)>0可化为解得x>4或x<0.12.　由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得<a<.故答案为.13.解设2x=t(t>0),则y=t2-2a·t-a,(1)当a=2时,f(x)>30⇔y=t2-4t-32>0,∴t<-4或t>8.∵t>0,∴t>8,∴2x>8,∴x>3,∴不等式的解集为{x|x>3}.(2)当x∈(-1,1)时,必有函数图象的对称轴t0=2a-1∈,即0<a<2,故函数的最小值为m==-2,∴a+22a-2=2,由于关于a的函数y=a+22a-2单调递增,故最多有一个实根,而当a=1时,a+22a-2=2,∴a的值为1.14.解(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数,∴f(0)=0,∴n=1.又由f(-1)=-f(1),得m=2.检验知,当m=2,n=1时,原函数是奇函数.(2)由(1)知f(x)==-,任取x1,x2∈R,设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=.∵函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,∴<0.又(+1)(+1)>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴函数f(x)在R上是减函数.∵f(x)是奇函数,∴不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x).又f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x,即对一切x∈有k<恒成立.设g(x)=-2·,令t=,t∈,则有g(t)=t2-2t,t∈,∴g(x)min=g(t)min=g(1)=-1,∴k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).