高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时练习，共8页。试卷主要包含了4　平面向量的应用等内容，欢迎下载使用。
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cs∠BDC=( )

A.-725B.725C.0D.12
答案B
解析如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴DB=(-3,-4),DC=(3,-4).又∠BDC为DB,DC的夹角,∴cs∠BDC=DB·DC|DB||DC|=-9+165×5=725.
2.
(2021湖北武汉期中)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为( )(参考数据:取重力加速度大小g=10 m/s2,3=1.732)
A.64B.62C.76D.60
答案B
解析设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|=360 N,=60°,∴|F1+F2|=(F1+F2)2=F12+F22+2F1·F2=3602+3602+3602=3603≈624(N),∴mg≈624,∴m≈62.故选B.
3.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若OA+OB+OC+OD=0,则下列结论错误的是( )
A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心
B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点
C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
答案ABC
解析由OA+OB+OC+OD=0知,OA+OB=-(OC+OD).设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知OE+OF=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点.
4.(2021广东东莞期末)一条河宽为80 000 m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为 h.
答案5
解析根据题意,设船速为v1,水速为v2,作出如图所示的示意图,则|v1|=20 km/h,|v2|=12 km/h,
因为v实际=v1+v2,
所以|v实际|=|v1|2-|v2|2=202-122=16 km/h,
所以所需时间t=8016=5(h).
5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点Px,-12在线段AB的中垂线上,则x= .
答案74
解析设AB的中点为M,则M1,12,MP=(x-1,-1),由题意可知AB=(-4,-3),MP⊥AB,则MP·AB=0,
所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=74.
6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=2502 J,则F与s的夹角等于 .
答案π4
解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得2502=10×50×cs θ,∴cs θ=22.又θ∈[0,π],∴θ=π4.
7.
如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
证明 AD·CE=(AC+CD)·(CA+AE)
=AC+12CB·CA+23AB
=AC+12CB·CA+23CB-23CA
=AC+12CB·13CA+23CB
=-13|CA|2+13|CB|2.
因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|2=0,故AD⊥CE.
8.某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.
解设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.
如图,令AB=-v1,AC=-2v1,实际风速为v.
∵DA+AB=DB,
∴DB=v-v1.
这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.
∵DA+AC=DC,
∴DC=v-2v1.
这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感觉到的风速.
由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,
∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,
∴DA=DC=2BC.
∴|v|=202 km/h.
∴实际风速的大小是202 km/h,为东南风.
关键能力提升练
9.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3OA+4OB+5OC=0,则OC·AB的值为( )
A.-15B.15C.-65D.65
答案A
解析因为3OA+4OB+5OC=0,
所以3OA+4OB=-5OC,
所以9OA2+24OA·OB+16OB2=25OC2.
因为A,B,C在圆上,所以|OA|=|OB|=|OC|=1.
代入原式得OA·OB=0,
所以OC·AB=-15(3OA+4OB)·(OB-OA)
=-15(3OA·OB+4OB2-3OA2-4OA·OB)
=-15.
10.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若(PB-PC)·(OB+OC)=(PC-PA)·(OA+OC)=0,则O为△ABC的( )
A.内心B.外心C.重心D.垂心
答案B
解析因为(PB-PC)·(OB+OC)=0,
则(OB-OC)·(OB+OC)=0,所以OB2-OC2=0,
所以|OB|=|OC|.
同理可得|OA|=|OC|,即|OA|=|OB|=|OC|,
所以O为△ABC的外心.
11.
(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是( )
A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小
D.船的浮力保持不变
答案AC
解析设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ0