人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时复习练习题

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6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=13,b=3,A=60°,则c=( )

A.1B.2C.4D.6
答案C
解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为( )
A.12B.22C.32D.33
答案C
解析由余弦定理的推论,得cs C=a2+b2-c22ab=12.因为C∈(0,π),所以C=π3,sin C=32.故选C.
3.(多选题)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是( )
A.1B.2C.3D.4
答案ACD
解析若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a23,∴a>3,故3a,则角C最大.∵cs C=a2+b2-c22ab=32+52-722×3×5=-12,且0c,即a是最长边,所以角A最大.
由余弦定理的推论,得
cs 120°=(a-4)2+(a-8)2-a22(a-4)(a-8),
解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.最小内角为C,cs C=142+102-622×14×10=2602×14×10=1314.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的度数为 .
答案60°或120°
解析由余弦定理,得2accs B·tan B=3ac,整理,得sin B=32,所以B=60°或120°.
10.在△ABC中,cs C=17,c=8,a=7,求:
(1)b的值;
(2)角A的大小.
解(1)a=7,cs C=17,c=8,
利用c2=a2+b2-2abcs C,
整理得b2-2b-15=0,解得b=5或-3(负值舍去),
故b=5.
(2)因为cs A=b2+c2-a22bc=12,
且A∈(0,π),所以A=π3.
关键能力提升练
11.在△ABC中,若a=8,b=7,cs C=1314,则最大角的余弦值是( )
A.-15B.-16C.-17D.-18
答案C
解析由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcs C=82+72-2×8×7×1314=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cs A=b2+c2-a22bc=72+32-822×7×3=-17.
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c2-a2-b22ab>0,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形
答案C
解析由c2-a2-b22ab>0得-cs C>0,所以cs C2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cs θ=a2+(2a-1)2-(2a+1)22a(2a-1)=a(a-8)2a(2a-1)