高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率课后测评

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第十章概率
10.1　随机事件与概率
10.1.3　古典概型
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.下列试验是古典概型的是(　　)
A.种下一粒大豆观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径
C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况
D.某人射击中靶或不中靶
答案C
解析只有C具有古典概型两个特征.
2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.310 B.15 C.110 D.112
答案A
解析从这5个小球中任取两个,设x1,x2分别表示先、后取得的小球的标号,则(x1,x2)表示一个样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点.设A=“取出的小球标注数字之和为3或6”,则A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3种,所以所求概率P(A)=n(A)n(Ω)=310.故选A.
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
A.12 B.13 C.14 D.16
答案B
解析从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是26=13.
4.在2,4,6,8四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“ab是整数”的概率为(　　)
A.13 B.14 C.23 D.34
答案A
解析在2,4,6,8四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,基本事件总数n=12,ab是整数包含的样本点(a,b)有:(4,2),(6,2),(8,2),(8,4),共4个,则“ab是整数”的概率P=412=13.故选A.
5.假设有2名志愿者医生来自甲医院,有2名志愿者医生来自乙医院,从这4人中任取2人分配新的任务,则两所医院各取一人的概率为(　　)
A.13 B.23 C.12 D.14
答案B
解析记2名来自甲医院的医生分别为a,b,记2名来自乙医院的医生分别为A,B,设x1,x2分别表示从4人中取的第1个人,第2个人,则可用(x1,x2)表示样本点.从这4人中任取2人,则该试验的样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(A,B)},共6种,设A=“两所医院各取一人”,则A={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共4种.因此,两所医院各取一人的概率为P(A)=46=23.
6.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是　　　　. 
答案14
解析一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有2种,所以总共有8种方案,而甲胜出的样本空间Ω={甲黑乙白丙白,甲白乙黑丙黑},共2种,所以甲胜出的概率为28=14.
7.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.
设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,
所以选出的2名教师性别相同的概率为P=49.
(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果.
设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,
所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=615=25.
关键能力提升练
8.投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数,则我们称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则我们称其为负试验;若两次向上的点数相等,则我们称其为无效试验.则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是(　　)
A.136 B.112 C.16 D.12
答案C
解析连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x,y),则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},
共有36个样本点,设“出现无效试验”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6个样本点,则P(A)=636=16.
9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和,例如:8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为(　　)
A.16 B.112 C.114 D.115
答案D
解析不超过14的质数有2,3,5,7,11,13,共6个数,在这6个数中随机选取两个不同的数,可用列举法得出共15种选法,两个数的和等于14的共有(3,11),共有1种选法,所以其和等于14的概率为115.
10.新高考综合改革实施方案将采用“3+1+2”模式,“3”为语文、数学、英语所有学生必考;“1”为必须在物理、历史中选一科;“2”为再选科目,考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响,选择各科是等可能的,则某同学选择含有地理学科组合的概率为(　　)
A.14 B.12 C.715 D.815
答案B
解析按照“3+1+2”模式选科具体组合如下:(物理,化学,生物),(物理,化学,地理),(物理,化学,政治),(物理,生物,政治),(物理,生物,地理),(物理,政治,地理),(历史,化学,生物),(历史,化学,地理),(历史,化学,政治),(历史,生物,政治),(历史,生物,地理),(历史,政治,地理),共12种组合,其中含地理学科的组合有6种,所以某同学选择含地理学科组合的概率P=612=12.故选B.
11.(2021江西南昌期末)2021年3月28日,云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》,命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”,其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选三个去旅游,则其中一个是安宁温泉小镇的概率为(　　)
A.12 B.23 C.13 D.16
答案A
解析6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选三个去旅游,样本点共有20个,分别是:(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇).其中一个是安宁温泉小镇的有10个,则其中一个是安宁温泉小镇的概率为P=1020=12.故选A.
12.(多选题)下列试验是古典概型的是(　　)
A.在适宜的条件下种一粒种子,种子发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率
答案BD
13.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是(　　)
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为23
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为13

D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为35
答案ABC
解析对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人,则该试验的样本空间Ω={(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙)},共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=23,故A正确;对于B,样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共四种情况,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为26=13,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是37,故D错误.
14.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是(　　)
A.任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是12
B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是12
D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
答案ACD
解析记4件产品分别为1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=36=12,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;在C中,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为12,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.
15.从甲、乙、丙、丁四名同学中选两人当班长和副班长,其中甲、乙是男生,丙、丁是女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是　　　　　. 
答案56
解析该试验的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},设A=“没有女生当选”,则A中只包含(甲,乙)1个样本点,故至少一名女生当选的概率为P(A)=1-P(A)=1-16=56.
16.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是　　　　　. 
答案16
解析从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12(个)样本点,其中为整数的只有log28,log39两个,所以其概率P=212=16.
17.(2021安徽六安期末)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b