人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念课后复习题

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第七章复数7.1　复数的概念7.1.2　复数的几何意义课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)给出下列复平面内的点,这些点中对应的复数为虚数的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.(3,1) B.(-2,0)C.(0,4) D.(-1,-5)答案ACD解析易知选项A,B,C,D中的点对应的复数分别为3+i,-2,4i,-1-5i,因此A,C,D中的点对应的复数为虚数.2.(2021安徽瑶海月考)若复数z=(a2-3a+2)+(a-2)i是纯虚数,则z的共轭复数是(　　)A.-i B.i C.-2i D.2i答案B解析因为复数z=(a2-3a+2)+(a-2)i是纯虚数,所以a2-3a+2=0且a-2≠0,解得a=1,所以z=-i,故z的共轭复数是i.故选B.3.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是(　　)A.B.(-∞,2)C.D.∪(2,+∞)答案A解析由条件知,(x-1)2+(2x-1)2<10,所以5x2-6x-8<0,故-<x<2.4.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则||的取值范围是(　　)A.(1,5) B.(1,3) C.(1,) D.(1,)答案C解析由已知,得||=.由0<a<2,得0<a2<4,所以1<a2+1<5,故||=∈(1,).5.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是　　　　. 答案(1,2)解析由已知,得解得1<x<2.6.已知i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　. 答案-2+3i解析在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)与点(a,b)一一对应.因为点(a,b)关于原点对称的点为(-a,-b),则复数z2=-2+3i.7.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|=　　　　,=　　　　　. 答案12　-12i解析由条件知所以m=3,因此z=12i,故|z|=12,=-12i.8.设z∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形?解(方法一)由|z|=|3+4i|得|z|=5.这表明向量的模等于5,即点Z到原点的距离等于5.因此,满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心,以5为半径的圆.(方法二)设z=x+yi(x,y∈R),则|z|2=x2+y2.因为|3+4i|=5,所以由|z|=|3+4i|得x2+y2=25,故点Z的集合是以原点为圆心,以5为半径的圆.关键能力提升练9.(多选题)设复数z满足z=-1-2i,i为虚数单位,则下列结论正确的是(　　)A.|z|=B.复数z在复平面内对应的点在第四象限C.z的共轭复数为-1+2iD.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上答案AC解析|z|=,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线y=-2x上,D不正确.10.(多选题)(2021江苏泰州模拟)设z为复数,在复平面内z,对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列说法正确的有(　　)A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形C.对任意复数z,D.当z为实数时,答案ABD解析对于A,当z为纯虚数时,设z=bi(b∈R且b≠0),则P(0,b),O(0,0),Q(0,-b)三点共线,故A正确;对于B,当z=1+i时,=1-i,则P(1,1),Q(1,-1),|OP|=|OQ|,且=1×1-1×1=0,则△POQ为等腰直角三角形,故B正确;对于C,取z=1,则z==1,有,故C错误;对于D,当z为实数时,z=,则,故D正确.故选ABD.11.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,则复数z=　　　　　. 答案±i解析因为z为纯虚数,所以设z=ai(a∈R,且a≠0),则|z-1|=|ai-1|=.又因为|-1+i|=,所以,即a2=1,所以a=±1,即z=±i.12.(2021江苏连云港期末)已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数为0,3+2i,-2+4i,则点B对应的复数为　　　　　. 答案1+6i解析设点B对应的复数为x+yi(x,y∈R),∵四边形OABC是平行四边形,∴.又A(3,2),B(x,y),C(-2,4),∴(x,y)=(3,2)+(-2,4)=(1,6),即x=1,y=6,则点B所对应的复数为1+6i.13.在复平面内,已知a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z所对应的点的轨迹是什么?解∵a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,∴z的实部为正数,虚部为负数,∴复数z所对应的点在第四象限.设z=x+yi(x,y∈R),则消去a2-2a,得y=-x+2(x≥3),∴复数z对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3).学科素养创新练14.已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.解∵|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,∴>|x2+a|对x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.若1-2a=0,解得a=,当a=时,0·x2+>0恒成立.若1-2a≠0,则解得-1<a<.故a∈.综上可得实数a的取值范围是.