2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.7《双曲线》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.7

《双曲线》

一              、选择题

1.已知双曲线C的一个焦点为(0,5)，且与双曲线﹣y2＝1的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为(　　)

A.x2﹣＝1        B.y2﹣＝1      C.﹣＝1        D.﹣＝1

2.已知M(﹣3,0)，N(3,0)，|PM|﹣|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　)

A.双曲线          B.双曲线的左支

C.一条射线        D.双曲线的右支

3.椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为(　　)

A.1　　    B.　　　   C.2　　　              D.3

4.双曲线方程为x2－2y2＝2，则它的左焦点坐标为(　　)

A.(－，0)       B.(－，0)     C.(－，0)      D.(－，0)

5.已知平面内两定点A(﹣5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|﹣|MB|＝6，则点M轨迹方程是(　　)

A．﹣＝1     B．﹣＝1(x≥4)      C．﹣＝1       D．﹣＝1(x≥3)

6.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是(　　)

A.－＝1　       B.－＝1       C.x2－＝1        D. －y2＝1

7.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)

A.－＝1         B.－＝1

C.－＝1         D.－＝1

8.以双曲线﹣x2＝1的顶点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1       B.＋＝1       C.＋＝1       D.＋＝1

9.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x2＝8y的准线交于点A和点B，|AB|＝2，则C的实轴长为(　　)

A.          B.2            C.2             D.4

10.设双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于(　　)

A.1         B.2          C.4           D.8

11.设F1，F2分别是双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为(　　)

A.        B.       C.        D.

12.已知双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)，过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，A，B两点分别在一、四象限.若＝，则双曲线C的离心率为(　　)

A.           B.           C.          D.

二              、填空题

13.设点P是双曲线﹣＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.

14.过双曲线－＝1的一个焦点F作弦AB，则＋＝________.

15.已知双曲线的方程为﹣＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c (c为双曲线的半焦距的长)，则该双曲线的离心率为________.

16.已知双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为        .

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：D

解析：双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为y＝±x，

由题意设双曲线C的方程为﹣＝1，由焦点坐标可得a2＋b2＝25，①

渐近线方程为y＝±x，再由C与双曲线﹣y2＝1的渐近线相同，所以＝，②

由①②可得a2＝5，b2＝20，所以双曲线C的方程为﹣＝1.

2.答案为：D

解析：根据双曲线的定义可得|PM|﹣|PN|＝4＜|MN|，所以动点P的轨迹表示双曲线的右支.

3.答案为：A.

解析：由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且a＞0.∵4﹣a2＝a＋2，∴a2＋a﹣2＝0，

∴a＝1或a＝﹣2(舍去).故选A.答案为：A

4.答案为：D

解析：双曲线标准方程为－y2＝1，∴c2＝2＋1＝3.∴左焦点坐标为(－，0).

5.答案为：D；

解析：由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；

又c＝5，a＝3，∴b2＝c2﹣a2＝16．∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为﹣＝1(x≥3)．故选D．

6.答案为：D.

解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，

由双曲线定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.

∴双曲线的标准方程为－y2＝1.

7.答案为：C

解析：以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，又因为点在圆上，所以32＋42＝c2，所以c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且点(3,4)在这条渐近线上，所以＝，又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1.

8.答案为：D

解析：∵双曲线﹣x2＝1的顶点坐标为，

由题意，椭圆的焦点坐标为，即c＝，

∵离心率为，即＝.∴a＝3，∴b2＝a2﹣c2＝9﹣3＝6，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

9.答案为：C

解析：设等轴双曲线为y2﹣x2＝a2(a>0)，抛物线x2＝8y的准线方程为y＝﹣2，

由解得x＝±，所以2＝2，解得a＝1，

所以实轴长为2.

10.答案为：A

解析：设＝m，＝n，P为双曲线右支上一点，则＝mn＝4，m﹣n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝＝，所以a＝1.

11.答案为：B

解析：依据双曲线的定义知﹣＝2a，又∵＝3，∴＝3a，＝a，∵∠F1AF2＝90°，∴在Rt△F1AF2中，由2＋a2＝2，得e＝＝.

12.答案为：B

解析：如图，双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)，渐近线方程为y＝±x.将渐近线方程化为一般式bx±ay＝0.

由点到直线的距离公式可知|AF|＝＝b，由＝，可得|BF|＝.

设∠AOF＝α，由双曲线对称性可知∠AOB＝2α，

而tan α＝，tan 2α＝＝＝，

由二倍角正切公式可知tan 2α＝＝，即＝，

化简可得4a2＝9b2，则e＝＝＝＝.

二              、填空题

13.答案为：16或4；

解析：由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.于是c＝＝5.

(1)若点P在双曲线的左支上，则|PF2|﹣|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；

(2)若点P在双曲线的右支上，则|PF1|﹣|PF2|＝6，∴|PF2|＝|PF1|﹣6＝10﹣6＝4.

综上，|PF2|＝16或4.

14.答案为：.

解析：采用特例法即可求得．不妨设焦点F为右焦点，则F(5,0)．

当AB⊥x轴时，A(5，)，B(5，－)，所以|AF|＝|BF|＝，故＋＝.

15.答案为：.

解析：双曲线﹣＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为(±c,0)，其中c＝.

所以一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝c，即b＝c，

因此，a＝＝c，由此可得双曲线的离心率为e＝＝.

16.答案为：；

解析：由定义，知|PF1|﹣|PF2|＝2a.又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.

当P，F1，F2三点不共线时，在△PF1F2中，由余弦定理，

得cos∠F1PF2＝＝＝﹣e2，

即e2＝﹣cos∠F1PF2.

∵cos∠F1PF2∈(﹣1,1)，∴e∈.当P，F1，F2三点共线时，

∵|PF1|＝4|PF2|，∴e＝＝，综上，e的最大值为.