2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.10《圆锥综合问题-取值范围问题》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.10

《圆锥综合问题-取值范围问题》

1.如图，以P(0，-1)为直角顶点的等腰直角△PMN内接于椭圆＋y2＝1(a＞1)，设直线PM的斜率为k.

(1)试用a，k表示弦长|MN|；

(2)若这样的△PMN存在3个，求实数a的取值范围.

2.已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e＝，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-， 直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且.

(1)求椭圆方程；

(2)求m的取值范围．

3.已知方向向量为的直线l过点(0，﹣2)和椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若已知点D(3，0)，点M，N是椭圆C上不重合的两点，且，求实数λ的取值范围.

4.已知椭圆E：＋=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.

5.已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．

(1)求向量与的数量积；

(2)设＝λ，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．

6.已知圆M：(x＋2)2＋y2＝64及定点N(2,0)，点A是圆M上的动点，点B在NA上，点G在MA上，且满足，，点G的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线y＝x和y＝﹣x分别交于P、Q两点.

当|k|>时，求△OPQ(O为坐标原点)面积的取值范围.

0.答案详解

1.解：(1)不妨设直线PM所在的直线方程为y＝kx-1(k＜0)，

代入椭圆方程＋y2＝1，

整理得(1＋a2k2)x2-2ka2x＝0，解得x1＝0，x2＝，

则|PM|＝|x1-x2|＝-，所以|MN|＝|PM|＝-.

(2)因为△PMN是等腰直角三角形，

所以直线PN所在的直线方程为y＝-x-1(k＜0)，

同理可得|PN|＝-＝.

令|PM|＝|PN|，整理得k3＋a2k2＋a2k＋1＝0，

k3＋1＋a2k(k＋1)＝0，

(k＋1)(k2-k＋1)＋a2k(k＋1)＝0，

即(k＋1)[k2＋(a2-1)k＋1]＝0.

若这样的等腰直角三角形PMN存在3个，

则方程k2＋(a2-1)k＋1＝0有两个不等于-1的负根k1，k2，

则

因为a＞1，所以a＞.

2.解：(1)由条件知a﹣c＝1-，∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程为：y2＋2x2＝1．

(2)设l：y＝kx＋m与椭圆C交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)

联立得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2﹣1)＝0

△＝(2km)2﹣4(k2＋2)(m2﹣1)＝4(k2﹣2m2＋2)＞0 (*)

x1＋x2，x1x2

∵3，∴﹣x1＝3x2∴x1＋x2＝﹣2x2，x1x2＝﹣3x22，

消去x2，得3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，

∴3()2＋40,整理得4k2m2＋2m2﹣k2﹣2＝0                        

m2时，上式不成立；m2时，k2，

因λ＝3，∴k≠0，∴k20，

∴﹣1＜m＜-或＜m＜1

容易验证k2＞2m2﹣2成立，所以(*)成立

即所求m的取值范围为(﹣1，-)∪(，1)．

3.解:(1)∵直线l的方向向量为 
∴直线l的斜率为k＝，

又∵直线l过点(0，﹣2)
∴直线l的方程为y＋2＝x
∵a>b，

∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点
∴椭圆的焦点为(2，0)
∴ ，又∵ 
∴  ，∴ 
∴椭圆方程为 
(2)设直线MN的方程为x=ay＋3
由 ，得
设M，N坐标分别为
则(1)(2)
＞0∴，
∵，显然，且
∴∴ 
代入(1) (2)，得
∵，得 ，即 
解得5﹣2＜λ＜5＋2且λ≠1.

4.解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0.

当t=4时，E的方程为＋=1，A(－2,0).

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

由此直线AM的方程为y=x＋2.

将x=y－2代入＋=1得7y2－12y=0.解得y=0或y=，所以y1=.

因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.

(2)由题意知，t＞3，k＞0，A(－，0).

将直线AM的方程y=k(x＋)代入＋=1

得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t=0.

由x1·(－)=得x1=，

故|AM|=|x1＋|=.

由题设知，直线AN的方程为y=－(x＋)，故同理可得|AN|=.

由2|AM=|AN|得=，即(k3－2)t=3k(2k－1).

当k=时上式不成立，因此t=.

t＞3等价于=＜0，即＜0.

由此得或解得＜k＜2.

因此k的取值范围是(，2).

5.解：(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．

由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1.

由得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，

由根与系数的关系得

∴·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－4＝－3.

∴向量与的数量积为－3.

(2)由(1)知

∵＝λ，∴y2＝－λy1.

将y2＝－λy1代入

得∴

∴＝－4m2，

∴4m2＝＝λ＋－2.

令f(λ)＝λ＋－2，易知f(λ)在[9,16]上单调递增，

∴4m2∈，∴m2∈，

∴m∈∪.

∴l在y轴上的截距－的取值范围为∪.

6.解:(1)为的中点，且是线段的中垂线，

，又，

∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，

设椭圆方程为()，则，，，

所以曲线C的方程为.

(2)设直线l：()，

由消去y，可得.

因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，

所以，.①

又由可得；同理可得.

由原点O到直线PQ的距离为和，

可得.②

将①代入②得，

当时，，

综上，△OPQ面积的取值范围是(8,＋∞).