2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.12《圆锥综合问题-证明问题》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.12

《圆锥综合问题-证明问题》

1.已知动圆C与圆C1：(x－2)2＋y2=1相外切，又与直线l：x=－1相切.

(1)求动圆圆心轨迹E的方程；

(2)若动点M为直线l上任一点，过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A，B两点.

求证：kMA＋kMB=2kMP.

2.如图，B，A是椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP.

(1)求证：kBQ·kAQ＝－；

(2)若直线PQ过定点(,0)，求证：kAP＝4kBQ.

3.已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为.

4.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F为椭圆C的右焦点.A(﹣a，0)，|AF|＝3.

(1)求椭圆C的方程；

(2设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M.直线OM与直线x＝4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x＝4交于点E.求证：∠ODF＝∠OEF.

5.已知曲线C:(5﹣m)x2＋(m﹣2)y2＝8(m∈R).

(1)若曲线C表示双曲线，求m的范围；

(2)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的范围；

(3)设m＝4，曲线C与y轴交点为A，B(A在B上方)，y＝kx＋4与曲线C交于不同两点M，N，y＝1与BM交于G，求证：A，G，N三点共线.

6.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F(1，0)，且点(1，)在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x＝4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．

0.答案详解

1.解：(1)由题知，动圆C的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x=－2的距离，

所以由抛物线的定义可知，动圆C的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x=－2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E的方程为y2=8x.

(2)证明：由题知当直线AB的斜率为0时，不符合题意，

所以可设直线AB的方程为x=my＋1，

联立消去x，

得y2－8my－8=0，Δ=64m2＋32>0恒成立，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(－1，t)，

则y1＋y2=8m，y1·y2=－8，x1＋x2=8m2＋2，x1·x2=1，

而2kMP=2·=－t，

kMA＋kMB=＋

===－t，

所以kMA＋kMB=2kMP.

2.证明：(1)由题意知B(－2,0)，A(2,0)，设Q(x1，y1)，

则＋y＝1，

则kBQ·kAQ＝·＝＝＝－.

(2)设P(x2，y2)，由(1)知kBQ·kAQ＝－，

要证kAP＝4kBQ，只需证kAP＝4×＝－，即证kAPkAQ＋1＝0，

即证·＋1＝0，即证(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.

设直线PQ：x＝ty＋，代入＋y2＝1，

整理得(t2＋4)y2＋ty－＝0，

显然，Δ>0成立．

则y1＋y2＝，y1y2＝.

∵(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝＋y1y2

＝(t2＋1)y1y2－t(y1＋y2)＋

＝(t2＋1)·＋＋＝0，

∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0成立，从而kAP＝4kBQ成立．

3.解：(1)设椭圆C的方程为＋=1(a＞b＞0)，

由题意得解得c=，所以b2=a2－c2=1，

所以椭圆C的方程为＋y2=1.

(2)证明：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，－2＜x0＜2，所以kAM=，

因为AM⊥DE，所以kDE=－，

所以直线DE的方程为y=－(x－x0).

因为kBN=－，

所以直线BN的方程为y=－(x－2).

由解得E，

所以S△BDE=|BD|·|yE|，S△BDN=|BD|·|yN|，

所以===，

结论成立.

4.解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得

，a+c＝3. 解得a＝2，c＝1.

所以b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的方程是            

(2)由(1)得A(﹣2，0).设AP的中点M(x0，y0)，P(x1，y1).

设直线AP的方程为：y＝k(x+2)(k≠0)，将其代入椭圆方程，整理得

(4k2+3)x2+16k2x+16k2﹣12＝0，所以﹣2+x1＝.                        

所以x0＝，y0＝k(x0+2)＝，即M(，).                  

所以直线OM的斜率是，     

所以直线OM的方程是y＝﹣x.令x＝4，得D(4，﹣).

直线OE的方程是y＝kx.令x＝4，得E(4，4k).         

由F(1，0)，得直线EF的斜率是＝，所以EF⊥OM，记垂足为H；

因为直线DF的斜率是＝，所以DF⊥OE，记垂足为G.  

在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，

所以∠ODF＝∠OEF.

5.解：(1)若曲线C表示双曲线，则：，解得：.

(2)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则：，解得：

(3)当m＝4，曲线C可化为：，

当时，，故点坐标为：，，

将直线y＝kx＋4代入椭圆方程得：，

若y＝kx＋4与曲线C交于不同两点，，

则，解得，由韦达定理得：  ①，

 ②

设，，，

MB方程为：，则，

∴，，

欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，即，

将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．

6.解:(1)不妨设椭圆的方程为：＋＝1(a＞b＞0).

由题意可得，解得，，

故椭圆的方程.

(1)设，，直线的方程为，

由方程组，消去x整理得

，，

直线BM的方程可表示为，

将此方程与直线x＝4成立，可求得点Q的坐标为，

，，

，

，

∵向量和有公共点，

∴A，N，Q三点在同一条直线上．