2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.13《圆锥综合问题-四边形问题》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.13

《圆锥综合问题-四边形问题》

1.已知A，B分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左､右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB(O为坐标原点)，|PF|＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足(Q，M，N三点不共线)，求四边形OMQN面积的取值范围.

2.已知抛物线E:y2＝2px(p>0)，圆F:(x﹣2)2＋y2＝r2(r>0)，当r＝时，抛物线E与圆F仅有两个交点．

(1)求抛物线E的方程；

(2)如图，若圆F与抛物线E有四个交点，且交点分别为A，B，C，D，求四边形ABCD面积的最大值．

3.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A(﹣a，0)，，过点F2且垂直于x轴的直线交椭圆C所得的弦长为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设分别过点F1，F2且互相平行的直线l，l′与椭圆依次交于M，N，P，Q四点，求四边形MNPQ面积的最大值．

4.如图，点T为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由.

5.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B，△FAB是等边三角形.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设直线l：x＝﹣a，过点A且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于点C(C异于点A)，线段AC的垂直平分线与直线l交于点P，与直线AC交于点Q，若|PQ|＝|AC|.

(ⅰ)求k的值；

(ⅱ)已知点M(﹣，﹣)，点N在椭圆上，若四边形AMCN为平行四边形，求椭圆的方程.

6.已知圆C1的方程为(x＋2)2＋y2＝32，点C2(2，0)，点M为圆C1上的任意一点，线段MC2的垂直平分线与线段MC1相交于点N.

(1)求点N的轨迹C的方程.

(2)已知点A(2，2)，过点A且斜率为k的直线l交轨迹C于P，Q两点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPBQ，是否存在常数k，使得点B在轨迹C上，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.

0.答案详解

1.解:(1)由题意可知，，∵恰好垂直平分线段，∴，

令，代入得：，∴，

∴，解得，∴椭圆的方程为：.

(2)由题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为：，

设，，联立方程，

消去x得：，

∴，∴，，

设的中点为，则，

∴与互相平分，四边形为平行四边形，

∴

，

令，则，

∵在上单调递增，∴，∴，

∴.

综上所述，四边形OMQN面积的取值范围为(0，3].

2.解:(1)联立方程组，整理得有两个相同的解，

因为抛物线E与圆F仅有两个交点，可得因此，解得p＝1，

所以抛物线E的方程为y2＝2x．

(2)若圆F与抛物线E有四个交点，则方程组有四组解，

可得方程有两个不同的解，所以，解得，

由抛物线和圆的对称性可知，四边形ABCD是梯形，

设四边形ABCD的面积为S，

，，则，，

因为，是方程的两个不同的解，，，

则，

则

，

设，则，则．

构造函数，，

则，时，，时，，

则函数在上单调递增，在上单调递减．

因此当时，函数取得最大值，为，

故时，取得最大值，为．

3.解:(1)设椭圆C的半焦距为c．

由，得，即，

即，即．由，得，．

根据椭圆的焦点弦可知过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为，

得，即，解得，则．

故椭圆的标准方程为．

(2)设直线，的方程分别为，．

联立消去得，．

设，，则，，

所以

．又直线，之间的距离，

所以．

令，则，

则，当且仅当t＝1，即m＝0时等号成立．

所以四边形MNPQ面积的最大值为2．

4.解：(1)设，，则，，

由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得

，即，

又点在圆：上，故满足，得.

(2)由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，

因为，故，即  ①，

联立，消去得：，

设，，，，

，

因为OMQN为平行四边形，故，

点Q在椭圆上，故，整理得，②，

将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.

5.解：(1)由题意可知，，即.

又因为 ，， ，所以.

(2)(ⅰ)

设椭圆方程为，直线为，

联立得，

解得：，则.

因为为中点，，

因为所在的直线方程为

 令  解得

.

因为，所以，解得k＝1或 (舍)

所以k＝1.                                    

(ⅱ)因为k＝1，所以，

设四边形为平行四边形，

所以，.

即 ，

又因为点在椭圆上，所以.

解得b2＝4，b＝2，该椭圆方程为：.

6.解：(1)

>

知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，则a＝，

∴

(2)设直线，与椭圆联立

设，

消去，得，

，

，点

代入椭圆方程：，得

又满足

存在常数，使得平行四边形的顶点B在椭圆上.