2023年中考数学二轮复习压轴大题培优学案专题26二次函数与线段周长压轴问题（教师版）

这是一份2023年中考数学二轮复习压轴大题培优学案专题26二次函数与线段周长压轴问题（教师版），共105页。
专题26二次函数与线段周长压轴问题
经典例题



【例1】（2022·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（1，-2）
(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；
（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），  
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；

（3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，


∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），  
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，  
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；

如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
【例2】（2021·四川遂宁·统考中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

【答案】（1）；m=2；（2）存在，或；（3）
【分析】（1）根据抛物线的对称性求出A（1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A坐标代入直线的解析式，即可求出m的值；
（2）先求出E（-5，12），过点E作EP⊥y轴于点P，从而得，即可得到P的坐标，过点E作，交y轴于点，可得，再利用tan∠ADO=tan∠PE，即可求解；
（3）作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN∥，交直线y=1于点N，在中和 中分别求出EF， ，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，对称轴为直线，
∴A（1，0），
设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，－3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1，
∴二次函数解析式为：y= (x-1)(x+3)，即：，
∵直线y＝－2x＋m经过点A，
∴0=-2×1+m，解得：m=2；
（2）由（1）得：直线AF的解析式为：y=-2x+2，
又∵直线y=-2x+2与y轴交于点D，与抛物线交于点E，
∴当x=0时，y=2，即D（0，2），
联立，解得：，，
∵点E在第二象限，
∴E（-5，12），
过点E作EP⊥y轴于点P，

∵∠ADO=∠EDP，∠DOA=∠DPE=90°，
∴，
∴P（0，12）；
过点E作，交y轴于点，可得，
∵∠ED+∠PED=∠PE+∠PED=90°，
∴∠ADO=∠ED=∠PE，即：tan∠ADO=tan∠PE，
∴，即：，解得：，
∴（0，14.5），
综上所述：点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）；
（3）∵点E、F均为定点，
∴线段EF长为定值，
∵MN=2，
∴当EM+FN为最小值时，四边形MEFN的周长最小，
作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN∥，交直线y=1于点N，

由作图可知：，
又∵三点共线，
∴EM+FN=，此时，EM+FN的值最小，
∵点F为直线y=-2x+2与直线x=-1的交点，
∴F（-1，4），
∴（-3，4），
又∵E（-5，12），
∴（-5，-10），
延长F交线段E于点W，
∵F与直线y=1平行，
∴FW⊥E，
∵在中，由勾股定理得：EF=，
在中，由勾股定理得：=，
∴四边形MEFN的周长最小值=ME+FN+EF+MN=．
【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键．
【例3】（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
(3)动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，（-3，0）
(2)
(3)或（-2，1）或

【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y=0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；
（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；
（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM=BM，PM=PB和BP=BM，结合图象，进一步得出结果．
（1）
解：把点A(1，0)，C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
令 y=0，则，
解得：，
∴点B的坐标为（-3，0）；
（2）
解：设直线BC的解析式为，
把点B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，
∴，
∴当时，PQ最大，最大值为；
（3）
解：存在，
根据题意得：，则，
如图，当BM=PM时，

∵B（-3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
延长NP交y轴于点D，
∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN∥x轴，BN∥PM，即DN⊥y轴，
∴△CDP为等腰直角三角形，
∴，
∵BM=PM，
∴∠MPB=∠OBC=45°，
∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，
∴四边形OMPD是矩形，
∴OM=PD=t，MP⊥x轴，
∴BN⊥x轴，
∵BM+OM=OB，
∴t+t=3，解得，
∴，
∴；
如图，当PM=PB时，作PD⊥y轴于D，连接PN，

∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN⊥BM，NE=PE，
∴BM=2BE，
∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，
∴四边形PDOE是矩形，
∴OE=PD=t，
∴BE=3-t，
∴t=2（3-t），解得：t=2，
∴P（-2，-1），
∴N（-2，1）；
如图，当PB=MB时，

，解得：，
∴，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴PE⊥PM，
∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，
∴四边形OEPN为矩形，
∴PN=OE，PN⊥y轴，
∵∠OBC=45°，
∴，
∴，
∴点N在y轴上，
∴，
综上所述，点N的坐标为或（-2，1）或．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．
【例4】（2022·江苏镇江·统考中考真题）一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，一次函数与二次函数的图像交于点、（），过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点．
①_________，_________（分别用含的代数式表示）；
②证明：；
(3)如图2，二次函数的图像是由二次函数的图像平移后得到的，且与一次函数的图像交于点、（点在点的左侧），过点作直线轴，过点作直线轴，设平移后点、的对应点分别为、，过点作于点，过点作于点．
①与相等吗？请说明你的理由；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)①，；②见解析
(3)①，理由见解析；②3

【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值；
②通过A（-2，0），E即可求出AE的长度；
通过B，F即可求出BF的长度；
（3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：，．通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点P、点Q的横坐标，通过坐标即可表示出的长度．
②由①可得，求解即可．
【详解】（1）令，则，解得，
∴，
将点代入中，解得，
∴点的坐标为．
将，，代入可得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为．
（2）①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（），
∴联立关系式得：，
整理得：，
解得：，，
故答案为：，；
②当时，位于的上方，∵、，
∴，，
∴，
当时，位于的下方，同理可证．
故可得：；
（3）方法一：
①∵二次函数图像的顶点为，
二次函数的图像的顶点为，
∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的．
∴的对应点为，的对应点为，
联立关系式可得：，
整理得：，
，
当时，解得：，，
∴，，
∴．
②∵，．
∴，
∴，
解得:．
方法二：
①设、平移前的对应点分别为、，则．
则，
∵、平移前的对应点分别为、，
由（2）②及平移的性质可知，．
②∵，
∴，
∵到轴的距离为，点是轴与二次函数的图像的交点，
∴平移后点的对应点即为点．
∵二次函数图像的顶点为，
二次函数的图像的顶点为，
∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的．
∴，将点的坐标代入中，解得．
另解：
∵，
∴，
的对应点为．
∵，
∴点的横坐标为，代入，得．
∴．将点的坐标代入中，解得．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键．
培优训练


一、解答题
1．（2022·云南文山·统考三模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），顶点坐标为点．

(1)求m的值；
(2)设点P在抛物线的对称轴上，连接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)8

【分析】（1）根据题意可得，求出a的值，即可求解；
（2）过B作，且，过K作轴于S，过K作轴交于T，设抛物线对称轴交x轴于R，先求出，可得，再证得，可得，即K为直线上的动点，从而得到，进而得到，可得到当K运动到T时，，此时取最小值，最小值即是的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为点，
，
解得，
∴，
∴顶点坐标为，
∴m的值是；
（2）解：过B作，且，过K作轴于S，过K作轴交于T，设抛物线对称轴交x轴于R，如图：

由（1）知抛物线对称轴为直线，顶点，
在中，
令，得∶ ，
解得：或3，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
即K为直线上的动点，
∴，
∵，
，
，
由垂线段最短可得，当K运动到T时，，此时取最小值，最小值即是的长，如图：

∵，
∴，
的最小值为8．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，转化成．
2．（2016·河南·模拟预测）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于A，两点，其中A点的坐标为．

(1)求该二次函数解析式；
(2)已知点为抛物线与轴的交点．
①若点在抛物线上，且，请直接写出点的坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)①或；②

【分析】（1）由点与点关于直线对称可求得点的坐标；
（2）①将点和点的坐标代入抛物线的解析式可求得、的值，从而得到抛物线的解析式，设点的坐标为，则点到的距离为．然后依据列出关于的方程，从而可求得的值，于是可求得点的坐标；
②先求得直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，然后可得到与的函数的关系，最后利用配方法求得的最大值即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，点的坐标为，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入抛物线的解析式得：
，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）将代入得，
点的坐标为．
．
①点的坐标为，
．
设点的坐标为，则点到的距离为．
，
，即，
解得．
当时，点的坐标为；
当时，点的坐标为．
点的坐标为或．
②如图所示：

设的解析式为，
将点的坐标代入得：，解得，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为．
，
当时，有最大值，的最大值．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解题的关键是主要应用了抛物线的对称性、待定系数法求二次函数的解析式，列出线段的长与点横坐标之间的函数关系是解题的关键．
3．（2022·山东济南·校考一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A．

(1)求出抛物线解析式的一般式；
(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)3．

【分析】（1）利用函数求解的坐标，再把的坐标代入二次函数解析式可得答案，
（2）过点作轴交于，得到，利用二次函数的性质可得答案，
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，证明，从而得到，从而可得答案．
【详解】（1）解：令，解得：，
∴点，∴，
∴，∴，
即．
（2）解：令，化简可得：
解得或，
如图，过点作轴交于，
设，，则，
∴，
所以：①当时，
；
②当时，
；
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，
此时点坐标为．

（3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点．

∵，，
∴，，
∴，
设 则
∴ ，
∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小．
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是3．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最大值，同时考查利用轴对称求线段和的最小值，同时考查锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)如图1，连接，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作PZx轴交于点Z，过点P作PQCB交直线于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将该抛物线向下平移个单位，向右平移3个单位，使得P点对应点．点S是新抛物线对称轴上一点，在平面上否存在一点N，使以、S、A、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)最大值为，
(3)或

【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）设，过P作轴交于M，过Q作轴交于N，根据待定系数法求直线，解析式，则可求M，Z的坐标，从而求出，，然后证明可得，，再证明，得出，进而得出，最后利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质可得新抛物线为，，然后分①以，为对角线；②以，为对角线；③以，为对角线三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵
∴顶点坐标为；
（2）解：设，
过P作轴交于M，过Q作轴交于N，

∵，，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴P、M的横坐标相同，
∴，
∴，
易求，
∵，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴P、Z的纵坐标相同，
∴Z的纵坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵轴，，轴，
∴，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴，，
∵轴，与x轴所交的锐角为
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴


，
∴当时，有最大值为，
此时，
∴；
（3）解：抛物线向下平移个单位，向右平移3个单位，得到新抛物线，
向下平移个单位，向右平移3个单位，得到
设， ，
令，则，解得，，
∴，
①以，为对角线时，
，
解得，
又，
∴，
∴，
∴
②以，为对角线时，
，
解得，，
又，
∴，
∴，
∴无解，
∴不符合题，舍去；
③以，为对角线时，
，
解得，
又，
∴，
∴（正跟舍去），
∴，
综上，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，一次函数图象上点坐标的特征，菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标以及相关线段的长度．
5．（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与探究：
已知：二次函数的图象的顶点为，与轴交于，A两点，与轴交于点，如图：

(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或或.

【分析】（1）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点E的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案；
（3）根据平行四边形的判定定理画出可能的图形，根据二次函数图象上点的坐标特征解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设函数表达式为.
∵图象过点，
∴当时，，
∴，
解得，，
∴函数表达式为，即；
（2）解方程，
得：，，
∴点的坐标为，点A的坐标为．
如图1，连接，
∵A、关于对称轴对称，点在对称轴上，
∴，
∴的周长，
当、、在同一直线上时，的周长最小．
设直线的函数解析式为.
则，解得，
∴直线的函数解析式为.
∵点的横坐标为，
所以点的坐标为；

（3）如图2，当点与点重合，点与点关于轴对称时，四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形，此时点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
∴的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
∴以A、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为：或或.

【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行四边形的判定、灵活运用分情况讨论思想、掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
6．（2022·甘肃平凉·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，最大值为

【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．
【详解】（1）解：将，代入中，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵、两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，
∵点是抛物线与轴的交点，
∴的坐标为，
又∵，
∴直线解析式为：，
∴点坐标即为，
解得：，
∴；

（3）解：存在，理由如下：
如图，设，过点作轴交于点，连接、、，
∵，
若有最大值，则就最大，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大值为．

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
7．（2022·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接，求的最小值；
(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，，，﹣1，2

【分析】（1）根据待定系数法即可求出解析式；
（2）先取的三等分点，得出，当，，三点共线时即为最小值；
（3）先设出点的坐标，根据矩形的性质列出关于点坐标的方程组，即可求出点的坐标．
（1）
把，代入中，
得：，
，，
；
（2）
在上取一点，使得，
连接，，

，对称轴，
，，
，，
，
又，
△，
，
，
当，，三点共线时，最小为，
，
的最小值为；
（3）
存在，
，，
设，
则，，，
以点，，，为顶点构成的四边形是矩形，
是直角三角形，
若是斜边，则，
即，
解得：，，
的横坐标为或，
若是斜边，则，
即，
解得（与点重合，舍去）或，
的横坐标是，
若是斜边，则，
即，
解得（与点重合，舍去）或，
的横坐标为2，
综上的横坐标为，，，2．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都是先判定，再用性质．
8．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点、．

(1)求、的值；
(2)是二次函数图像在第一象限部分上一点，且，求点坐标；
(3)在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与点重合，与点重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)6

【分析】（1）把、代入数即可得出结果；
（2）先得出，设或，如图：过点作..轴于点，根据解直角三角形得出，得出点坐标；
（3）作关于轴的对称点，先求的解析式，得出当值最小时，四边形的周长最小，连接，根据两点之间线段最短可得：当，，三点共线，时，最短，得出结论．
（1）
解：把、代入数
得：，解得：，，
的值为：，的值为：．
（2）
解：由，令，则，
，即OC=3
∵，，
∴在中，，
，
，
设或，
过点作轴于点，
，
在中，
，
，
，
当时，，


（3）
解：由题意得：，，即向左平移个单位到点，
将向左平移个单位到，
作关于轴的对称点，则，
连接，
设：，
把，代入得：
，解得：，
：，
令，则，
，即与轴的交点为，
当，时，四边形的周长最短，
四边形的周长，且，是定长，
当值最小时，四边形的周长最小，
连接，
，且，
四边形是平行四边形，
，
，关于轴对称，是轴上的点，
，
，
，
根据两点之间线段最短可得：当，，三点共线，时，最短，
即时，四边形的周长最小，
，，
即当时，四边形的周长最小．

【点睛】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
9．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值是，最小值是4

【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，然后把点、代入关系式进行计算即可解答；
（2）把代入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答；
（3）先求出解析式，然后计算当，，，的长度，然后设，，表示出的值，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上，
∴设抛物线的解析式为，
把点、代入中可得：，
解得：舍去或，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）把代入中可得：，
∴，
∴点的坐标为；
（3）设的解析式为：，
把点、代入中可得：，
解得：，
∴的解析式为：，
∵点为线段上一点，点为抛物线上一点，且，轴，
∴当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
设，，
∴，
当时，的最大值为：，
∴的最大值是，最小值是4．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（2021·四川乐山·统考三模）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点是点D．

(1)求抛物线解析式；
(2)连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以1个单位每秒的速度向左平移，对应点分别是O'，B'，C′，设S表示O'B'C'与四边形AOCD的重叠部分面积，求S与时间t的函数解析式；
(3)如图2，点M（m，n）为抛物线上的任意一点，过M向直线y作垂线，垂足为E，点F为抛物线对称轴上的一点，当ME﹣MF恒等于时，求F点的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；
(2)S
(3)（﹣1，）．

【分析】（1）将点A（﹣3，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解方程组即可求解；
（2）配方求出顶点坐标为：（﹣1，4），用待定系数法求直线AD的函数关系式为：y＝2x+6，当C′在AD上时，令y＝3，即2x+6＝3，解得：x，分四种情况分别求出重叠面积；
（3）设点F坐标为（﹣1，h），则MF，MEn，表示出MF＝MEn，两边平方得（m+1）2+（n﹣h）2＝（）2，化简m2+2m+1+h2﹣2nh，将n＝﹣m2﹣2m+3代入上式，整理，得（2h）m2+（4h﹣15）m+1+h2﹣6h0，利用0乘任何数都得0，即可求解．
（1）
解：将点A（﹣3，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D的坐标为：（﹣1，4），
设直线AD的函数关系式为：y＝mx+n，
则：，
解得：，
∴直线AD的函数关系式为：y＝2x+6，
对y＝﹣x2﹣2x+3来说，当x＝0时，y＝3，即点C的坐标是（0，3），
当C′在AD上时，令y＝3，即2x+6＝3，
解得：x，
①如图1，当0＜t＜1时，

由题意得，OC＝O′C′＝3，OB＝O′B′＝1，
∴OB′＝1﹣t，
∵OC O′C′，
∴△O′B′C′∽△OB′M，
∴ 即，
解得：OM＝3（1﹣t），
S＝S△O′B′C′﹣S△OMB′
3×13（1﹣t）2＝；
②当1≤t时，如图2，

△O′B′C′完全在四边形AOCD内，
此时：S1×3；
③当时，如图3，

设B′C′，C′O′与AD的交点分别为P，Q，
过点P作PH⊥C′O′于点H，
∵AO＝3，OO′＝t，
∴AO′＝3﹣t，O′Q＝A O′tan∠QAO′＝2AO′＝6﹣2t，
∴C′Q＝3﹣（6﹣2t）＝2t﹣3，
∵PHAB，
∴∠HPQ＝∠DAO，
∴QH＝HPtan∠HPQ＝2HP，C′H3HP，
∴HPC′Q，
∴S（2t﹣3）（2t﹣3）；
④当3＜t≤4时，如图4，

BB′＝t，则AB′＝4﹣t，
tan∠DAM＝tan∠PAN2，tan∠PB′N＝tan∠CBO＝3，
设NB′＝m，则PN＝3m，AN＝1.5m，
∵AB′＝NB′＋AN，
∴2.5m＝4﹣t，
解得：m（4﹣t），
∴PN＝，
∴S（4﹣t）•（4﹣t）（t﹣4）2，
综上所述：S
（3）
设点F坐标为（﹣1，h），则MF，MEn，
∵ME﹣MF，
∴MF＝MEn，
∴（m+1）2+（n﹣h）2＝（）2，
∴m2+2m+1+h2﹣2nh，
将n＝﹣m2﹣2m+3代入上式，
整理，得（2h）m2+（4h﹣15）m+1+h2﹣6h0，
∴当h时，上式对于任意实数m的值恒成立，
∴满足题意的点F的坐标为（﹣1，）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求一次函数和二次函数解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、两点间的距离公式等知识，综合性很强，解题的关键是分类讨论和数形结合思想的应用．
11．（2021·四川资阳·统考中考真题）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】（1）利用待定系数法即可得；
（2）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得；
（3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得．
【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为；
（2）对于二次函数，
当时，，解得或，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
，
，解得，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
将点代入得：，
解得或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，点的坐标为或；
（3）二次函数的顶点坐标为，
设点的坐标为，
，
，解得，
，
则平移后的二次函数的解析式为，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，

，
轴，
，
，
由两点之间线段最短得：的最小值为，
由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合，
则点的纵坐标与点的纵坐标相等，
即，解得，
则，
，
．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．
12．（2021·四川眉山·统考三模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点（0，3）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，当PE+EF有最大值时，求P点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点D使△BCD是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2﹣4x+3
(2)点P的坐标为（2，﹣1）
(3)存在，点D的坐标为：（2，）或（2，）．

【分析】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）过点P作PQ∥FC，交直线BC与点Q，设直线EF交x轴于点K，由已知易得△EPQ和△EFC是等腰直角三角形；设P（t，t2-4t+3），则Q（t，-t+3），利用已知条件得出用字母t表示PE+EF的关系式，再利用二次函数的性质求得符合条件的t值，结论可求；
（3）分两种情况讨论解答：①点D在x轴上方时，②点D在x轴下方时，设出点D的坐标，利用相似三角形对应边成比例，列出方程即可求解．
（1）
解：由题意得：
，
解得：；
∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；
（2）
解：过点P作PQ∥FC，交直线BC与点Q，设直线EF交x轴于点K，如图，

由题意：F（0，m），K（-m，0），
∴OF=OK=-m．
∴∠OFP=∠OKF=45°．
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴∠ECF=∠EFC=45°．
∵PQ∥FC，
∴△EPQ和△EFC都是等腰直角三角形．
∴PE=PQ，EF=FC．
∵FC=OF+OC，
∴FC=3-m．
∴EF=（3-m）．
设直线BC的解析式为y=kx+m，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为：y=-x+3．
设P（t，t2-4t+3），1＜t＜3，则Q（t，-t+3），
∴PQ=（-t+3）-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴PE=（-t2+3t）．
∵抛物线y=x2-4x+3与直线y=x+m相交于点P，
∴t2-4t+3=t+m，
∴t2-5t=m-3．
∴PE+EF=（-t2+3t）+（3-m）=-（t2-4t）=-（t-2）2+4．
∵-＜0，
∴当t=2时，PE+EF取得最大值为4．
此时点P的坐标为（2，-1）；
（3）
解：在抛物线的对称轴上存在一点D，使△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
①点D在x轴上方时，
过点D作DG⊥OC，交OC延长线于点G，过点B作BH⊥GD交GD延长线于点H，如图，

∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴GD=OK=2．
∵OC⊥OB，HG⊥OC，BH⊥GH，
∴四边形OBHG为矩形，
∴GH=OB=3，BH=OG．
∴DH=GH﹣GD=1．
设D（2，n），则OG=BH=n，
∴CG=n﹣3．
∵∠BDC=90°，
∴∠GDC+∠HDB=90°．
∵DG⊥OC，
∴∠GCD+∠GDC=90°．
∴∠GCD=∠HDC．
∵∠CGD＝∠DHB=90°，
∴△GCD∽△HDB．
∴．
∴．
解得：n＝（负数不合题意，舍去）．
∴D（2，）；
②点D在x轴下方时，
过点D作DN⊥OC，交OC延长线于点N，过点B作BM⊥ND交ND延长线于点M，如图，

设D（2，n），则ON=BM=﹣n，
∴CN=﹣n+3．
同理可知：DN=2，DM=1，
同理△DNC∽△BMD，
∴．
∴．
解得：n＝（正数不合题意，舍去）．
∴n＝，
∴D（2，）．
综上，在抛物线的对称轴上存在一点D，使△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
点D的坐标为：（2，）或（2，）．
【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，二次函数图象的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
13．（2021·四川泸州·统考二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？
(3)点P在第四象限的抛物线上移动，以PC为边作正方形CPEF、当抛物线的对称轴经过点E时，求出此时点P的坐标．
【答案】(1)y＝x﹣3
(2)当n＝2时，PM+PN的值最大，此时P点坐标为（2，﹣3）
(3)P点坐标为（，﹣）或（，﹣）

【分析】（1）用待定系数法确定抛物线解析式即可；
（2）求出直线BC的解析式为y＝．设P点坐标为（n，），N点的坐标为（n，），则PN＝，由锐角三角函数表示PM＝PN，则由二次函数的性质可得解；
（3）过点P作PK⊥y轴于K，交抛物线的对称轴于G，证明△PEG≌△CPK（AAS），得出CK＝PG，设P（x， x2﹣x﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝1，则G（1， x2﹣x﹣3），K（0， x2﹣x﹣3），可得出PG＝|1﹣x|，CK＝|x2﹣x﹣3+3|＝|x2﹣x|，解方程即可得解．
（1）
解：依题意将A、B两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x﹣3；
（2）
解：在y＝x﹣3中，令x=0得y=-3，
∴；
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将B（4，0），分别代入得：

解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
设P点坐标为（n，n﹣3），N点的坐标为（n， n﹣3），
∴PN＝n，
∵PM⊥BC，PD⊥AB，
∴∠PMN＝∠PDB，
∵∠PNM＝∠BND，
∴∠MPN＝∠OBC，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∴PM＝PN•cos∠MPN＝PN•cos∠OBC＝PN，
∴PM+PN＝PN＝﹣n＝﹣．
∵，且，
∴当n＝2时，PM+PN的值最大，此时P点坐标为（2，﹣3）．
（3）
过点P作PK⊥y轴于K，交抛物线的对称轴于G，如图，

∵四边形PEFC为正方形，
∴PE＝PC，∠EPC＝90°
∵∠PGE＝∠PKC＝90°，
∴∠PEG＝∠CPK，
∴△PEG≌△CPK（AAS），
∴CK＝PG，
设P（x，x2﹣x﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝1，
则G（1，x2﹣x﹣3），K（0，x2﹣x﹣3），
∴PG＝|1﹣x|，CK＝|x2﹣x﹣3+3|＝|x2﹣x|，
∴|1﹣x|＝|x2﹣x|，
解方程1﹣x＝x2﹣x得，x1＝，x2＝﹣2（舍去）；
解方程x﹣1＝x2﹣x得，x1＝，x2＝4（舍去）；
∴P点坐标为（，﹣ ）或（，﹣ ）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和正方形的性质、全等三角形的判定与性质；利用待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程；理解坐标与图形性质是解题的关键．
14．（2021·广西百色·一模）如图，抛物线经过、两点，点是线段上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值；
(3)抛物线与轴的另一个交点为点，在抛物线上是否存在一个动点，使得 ？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为 或或或

【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先设出点的坐标，然后表示出点的坐标，再表示出的长度，根据二次函数的性质即可确定的最大值；
（3）先求出点的坐标，然后求出三角形的面积，设出点的坐标，用含点的坐标的式子表示出三角形的面积，列出关于方程，即可求出点的坐标．
（1）
解：把、代入，得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：设F
设直线的解析式为，代入点、，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，轴，
∴
∴
则当时，取得最大值为；
（3）
答：存在，
取，则，
解得或，
∴，
∴，
∴，
设，则，
解得或或或，
当或时，
当或时，，
∴点P的坐标为 或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，会根据解析式确定抛物线和坐标轴的交点，对于动点问题，一般是先设出动点的坐标，再列出关于动点坐标的方程，然后解方程．
15．（2022·吉林四平·统考一模）如图．在平面直角坐标系中，已如抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使得是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)点G为抛物线上的一动点，过点G作垂直于y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线垂足为点F，连接，当线段的长度最短时，求出点G的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，P（-5，-20）
(3)G或

【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点A作，交轴于点，交抛物线与点，通过∽ 求得OH的长，从而得到H点坐标，继而得到直线AP的解析式，与抛物线解析式联立即可得到点P坐标；
（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当时，OD（即EF）的长度最小．然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点G的纵坐标，代入解析式就可求出点G的横坐标，从而得到点G的坐标．
（1）
∵抛物线与x轴交于两点，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点C（0，），
∴
∴，
∴，
；
（2）
过点A作，交轴于点，交抛物线与点，则A（5，0），B（-1，0）
∵，
∴∽      
∴     
∴；
又∵，，
∴，
∴H（0，-10），A（5，0），
设直线的解析式为，

解得
∴直线AP的解析式为，
联立     
解得   
∴P（-5，-20）；
（3）
∵轴，轴，
∴四边形OFDE是矩形，
∴EF=OD，
∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，当时，OD的长度最小．
此时，

，

又∵轴，，
∴∽，
∴   
∴，
∴OE=2，
∴点G的纵坐标为2，
∴    
解得，
∴G或．

【点睛】本题考查二次函数，待定系数法，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，最小值等知识，能正确地分析问题，根据题意画出图形等是解题的关键．
16．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考模拟预测）如图，抛物线交x轴于A、B，交y轴于点C，点D为抛物线第三象限上一点，且∠BOD＝135°，OD＝，

(1)求a的值；
(2)点P为第一象限抛物线上一点，连接PD，交y轴于点E，过点P作PF⊥y轴，垂足为F，求的值；
(3)在（2）的条件下，连接PB，若PE＋PB＝DE，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)2
(3)（1，6）

【分析】（1）如图所示，过点D作DH⊥x轴于E，先证明DH=OH，然后利用勾股定理求出OH=DH=4，从而求出点D的坐标，然后代入抛物线解析式即可求出a的值；
（2）先求出点C的坐标为（0，6），设点P的坐标为（m，），求出直线PD的解析式为，则点E的坐标为（0，），即可推出，由此即可得到答案；
（3）如图所示，在DE上取一点M使得，EM=EP，过点E作y轴的平行线交过点D与x轴平行的直线于Q，过点P作PN⊥x轴于N，直线PQ与x轴交于点T，设点P的坐标为（m，），同理可以求出直线PD的解析式为，点E的坐标为（0，），然后证明Rt△BPN≌Rt△DMQ，从而推出∠PTB=∠MDQ=∠PBN，得到PT=PB，进而推出点T的坐标为（2m-4，0），令，则，解得，则，由此即可得到答案．
(1)
解：如图所示，过点D作DH⊥x轴于E，
∵∠BOD=135°，
∴∠HOD=45°，
又∵DH⊥OH，即∠DHO=90°，
∴∠HDO=∠HOD=45°，
∴DH=OH，
∵，
∴OH=DH=4，
又∵点D在第三象限，
∴点D的坐标为（-4，-4），
∴，
∴；

(2)
解：由（1）可知，抛物线解析式为，
∴点C的坐标为（0，6），
设点P的坐标为（m，），直线PD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线PD的解析式为，
∴点E的坐标为（0，），
∴


，
又∵PF⊥y轴，
∴，
∴；

(3)
解：如图所示，在DE上取一点M使得，EM=EP，过点E作y轴的平行线交过点D与x轴平行的直线于Q，过点P作PN⊥x轴于N，直线PQ与x轴交于点T，
设点P的坐标为（m，），
同理可以求出直线PD的解析式为，
∴点E的坐标为（0，），
∵ME=PE，DE=PE+PB，
∴E为MP的中点，DM=BP，
∴点M的横坐标为-m，
∴点Q的横坐标为-m，
∴DQ=-m-（-4）=4-m，
∵点B是抛物线与x轴靠右边的一个交点，
∴点B的坐标为（4，0），
∴BN=4-m=DQ，
在Rt△BPN和Rt△DMQ中，
，
∴Rt△BPN≌Rt△DMQ（HL），
∴∠PBN=∠MDQ，
∵轴，
∴∠PTB=∠MDQ=∠PBN，
∴PT=PB，
又∵PN⊥TB，
∴点N为TB的中点，
∴点T的坐标为（2m-4，0），
令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（1，6）．

【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线利用属性结合的思想求解是解题的关键．
17．（2022·广西柳州·统考中考真题）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)b=4，c=5， m=5
(2)当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）
(3)所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）

【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），证明四边形DEFG是矩形，而 可得四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求解直线的解析式为： 可得 设P（2，p），再利用勾股定理表示 BP2＝， 再分两种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
，解得：
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，

∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，
∴轴，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），
∴NK＝MH，CK＝CH，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N（﹣4，3），
设直线BN的解析式为y＝mx+n，
∴ 解得：
∴直线的解析式为：
∴
设P（2，p），
∴
BP2＝，

分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，
∴
解得：
∴
②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，
∴
解得：
∴点P′的坐标为（2，﹣9）．
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
18．（2022·辽宁营口·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．

(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；
(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为，
(2)
(3)存在

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，则，中，，证明，根据相似三角形的性质以及建立方程，解方程即可求解；
（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，证明是等腰直角三角形，则设，则，，根据列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
（2）如图，设直线与轴交于点，
由，令,得，则，

，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
中，，
设的面积为，的面积为，
，
，
，
即，
设，则，
，
解得或（舍），
当时， ，

（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，

由，令，得，则

设过直线的解析式为，

解得
过直线的解析式为，

是等腰直角三角形

是等腰直角三角形


直线垂直平分线段

是等腰直角三角形，
，
设，则，
，

解得（舍）
即
【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，二次函数线段问题，掌握以上知识是解题的关键．
19．（2022·四川广元·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
　　
(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【答案】(1)2a=b+1，c=-2；
(2)△PAB的周长最小值是2+2；
(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为．

【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；
（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴，
∴2a=b+1，c=-2；
（2）解：当a=时，则b=-，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，

△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周长最小值是：2+2．
（3）解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，

∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），　
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
20．（2022·山东泰安·统考中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②

【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为
根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
．
又抛物线经过点，对称轴为直线，
解得∶
抛物线的表达式为．
（2）解∶①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得∶ ，
直线的表达式为．
根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．

，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
点M坐标为．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
21．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F．

(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，
(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线函数表达式为，直线BC的函数表达式为
(2)点P的坐标为 (,)，△PEF的周长为
(3)存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)

【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数即可求解析式；
（2）利用直线和抛物线的位置关系相切时对应的等腰直角三角形PEF周长最大，二次函数与一次函数联立方程，根的判别式，从而找出对应点P坐标，进而求出周长；
（3）根据平行四边形对角线性质和中点公式，把BC是否为对角线分情况进行分析，设出点G的横坐标，利用中点公式列方程计算即可求解．
【详解】（1）解：将点A(-1,0)，B(3,0)代入，得：
，解得 ，
所以抛物线解析式为，C(0，3)
设直线BC的函数表达式 ，将B(3，0)，C(0，3)代入得：
，解得 ，
所以直线BC的函数表达式为
（2）
解：如图，设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为 ，与抛物线联立得：
整理得
，解得 ，
将代入，解得，
将代入得，
即△PEF的周长为最大值时，点P的坐标为 (,)
将代入得，
则此时，
因为△PEF为等腰直角三角形，
则△PEF的周长最大为
（3）答：存在．
已知B(3，0)，C(0，3)，设点Ｇ(， )，N(1，n)，
当BC为平行四边形对角线时，根据中点公式得： ，，则G点坐标为(2，3)；
当BC为平行四边形的边时，由题意可知： 或 ，解得 或 则G点坐标为(-2，-5)或(4，-5)
故点G坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线的位置关系、根的判别式，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，解题的关键（1）根据点的坐标利用待定系数求解析式；（2利用直线和抛物线的位置关系，巧妙利用判别式；（3）熟悉平行四边形对角线性质，结合中点公式分情况展开讨论．
22．（2021·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．

（1）求的值及秒时点的坐标；
（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；
（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），
【分析】（1）将，代入，求出a，即可得到抛物线解析式，当秒时，，设的坐标为，建立方程求解即可；
（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为进而得出的坐标为，的坐标为将代入，将代入，解方程即可得到答案；
（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，消去得 ，即可求解．
【详解】解：（1）由题意知，交点A坐标为，代入，
解得，
∴抛物线解析式为．
当秒时，，设的坐标为，
则，
解得或（舍），
所以的坐标为．
（2）经过秒后，，，
由（1）方法知，的坐标为，的坐标为，
由矩形的邻边与坐标轴平行可知，的坐标为，的坐标为．
矩形在沿着射线移动的过程中，点与抛物线最先相交，
如图①，然后公共点变为2个，点与抛物线最后相离，然后渐行渐远．

如图②，将代入，得，
解得，或（舍），
将代入，得，
解得，或（舍）．
所以，当矩形与抛物线有公共点时，时间的取值范围是．

（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，
消去得


，
当时，长度的最小值为．
此时，，解得，
所以，点的坐标是．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．（2021·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2＋4x＋5；（2）P（，）；（3）存在，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
【分析】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c，即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2＋4x＋5可得B（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可证明△PHQ是等腰直角三角形，即知PH＝，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得直线BC解析式为y＝﹣x＋5，设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），PQ＝﹣（m﹣）2＋，故当m＝时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；
（3）抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组，即可解得M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得，解得M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，则，解得M（7，﹣16）．
【详解】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：

在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH＝，
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得0＝5k＋5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x＋5，
设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），
∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣）2＋，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝时，PQ最大为，
∴m＝时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：

∴，解得，
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：

∴，解得，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：

，解得，
∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．