2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题10 相似三角形的综合问题(教师版)

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专题10 相似三角形的综合问题
【典型例题】
1．(2021·山东省济南中学九年级期中)如图1，在中，，，，点D、E分别是边、的中点，连接．将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为．

(1)问题发现
①当时，________；②当时，______．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长________．
【答案】(1)，
(2)当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，证明见解析
(3)BD的长为或
【解析】
【分析】
(1)①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，求出的值是多少即可．
(2)首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
(3)分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．
(1)
解：①当α＝0°时，
∵Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，
∴＝．
②如图1中，

当α＝180°时，
可得AB∥DE，
∵＝，
∴＝＝．
故答案为：①，②．
(2)
解：如图2，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝＝，即当0°≤α＜360°时，的大小没有变化．
(3)
解：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，

在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，
∴BE＝＝＝1，
∴AE＝AB+BE＝5，
∵＝，
∴BD＝＝．
②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，

BE＝＝＝1，AE＝AB-BE =4﹣1＝3，
∵＝，
∴BD＝，
综上所述，满足条件的BD的长为或．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．




【专题训练】
一、 选择题
1．(2022·江苏海门·九年级期末)如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB=2，OC=5，AB=4，则CD的长为(       )

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
利用8字模型的相似三角形证明△AOB∽△DOC，然后利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴，
∴CD=10，
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型的相似三角形是解题的关键．
2．(2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学九年级期末)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，= ，DE∥BC，若ΔADE的面积为6，则ΔABC的面积等于(     )

A．12 B．18 C．24 D．54
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理可得ΔADE~ΔABC，利用其性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出ΔABC的面积．
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
故答案选：D．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．(2022·广西平桂·九年级期末)如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若，，，则线段BD长为(       )

A． B．6 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据位似变换可知，得出，代入数据得出OD的长，从而可求出BD的长．
【详解】
根据题意可知，
∴，即，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查位似变换的性质，三角形相似的性质．掌握位似的两个三角形相似是解题关键．
4．(2021·广东禅城·二模)如图，A、B分别为反比例函数(x＜0)，y＝(x＞0)图象上的点，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为(　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上可求出S△AOC＝4，S△BDO＝9，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△OCA，根据相似三角形的性质得出，，求出的值，根据即可求出角的正切值．
【详解】
解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D

则∠BDO＝∠ACO＝90°
∵A、B分别为反比例函数(x＜0)，(x＞0)图象上的点
∴S△AOC＝4，S△BDO＝9
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°
∴∠DBO＝∠AOC
∴△BDO∽△OCA
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质，反比例函数，正切．解题的关键在于对知识的灵活运用．
5．(2021·广东龙门·三模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(，0)，顶点D的坐标为(0，)，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，……，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的边长为(       )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理，得出，继而得知，利用勾股定理计算出正方形的边长，从中找出规律，问题也就迎刃而解了.
【详解】
解：根据题意，得：2，
(两直线平行，同位角相等)．
，
，
顶点的坐标为(，0)，顶点D的坐标为(0，)，
∴OA，OD，
在直角中，根据勾股定理得
，
∴AD＝AB＝1，
，
∵，
，
，
同理得：，••••••
第2021个正方形的边长为，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查了相似三角形的判定、勾股定理、解直角三角形，正方形的性质等知识点，另外在解题过程中，要认真挖掘题中隐藏的规律，这样可以降低解题的难度，提高解题效率.
二、填空题
6．(2021·广东·东莞市石龙第二中学模拟预测)如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，若△ABC的面积为4，则四边形BCED的面积为___．

【答案】3
【解析】
【分析】
由题意知是的中位线，有，从而得，有，求出的值，对计算求解即可．
【详解】
解：由题意知是的中位线
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了中位线，相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似三角形的面积比等于相似比的平方．
7．(2022·内蒙古包头·九年级期末)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的角平分线CD交AB于点D．若AC＝2，则CB＝_____．

【答案】##
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ACB=∠B=72°，∠A=36°，根据角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=36°，根据三角形外角性质可得∠CDB=72°，可得AD=CD，CD=BC，△BDC∽△BCA，设BC=x，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
∵AB＝AC，∠B＝72°，
∴∠ACB=∠B=72°，∠A=180°-2∠B=36°，
∵∠ACB的角平分线CD交AB于点D．
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴AD=CD，CD=BC，
∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠B，
∴△BDC∽△BCA，
设BC=x，
∴CD=BC=x，
∴，即，
解得：x=，(负值舍去)
故答案为：
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
8．(2022·山东崂山·九年级期末)如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE=2，则△BFG的周长为______．

【答案】
【解析】
【分析】
首先利用已知条件可证明△CDF是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出DF=2DE，而在Rt△CDE中，由勾股定理可求得DE的值，即可求得DF的长，从而求出△CFD的周长；然后，证明△CDF△BFG，然后根据周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】
解：∵是∠ADC的平分线
∴
四边形是平行四边形





在中
，


的周长为






的周长为
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练运用以上知识是解题的关键．
9．(2022·山西太原·九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，y轴平分AB边，点A的坐标(﹣2，0)，AB＝5．过点D的反比例函数的表达式是 _____．

【答案】
【解析】
【分析】
过点作轴于点，设与轴的交点为点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得出点的坐标，然后利用待定系数法即可得．
【详解】
解：如图，过点作轴于点，设与轴的交点为点，

四边形是矩形，
，
轴平分边，且，
，
，
，
在中，，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
，轴，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
，
设过点的反比例函数的表达式为，
将点代入得：，
则过点的反比例函数的表达式为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
10．(2022·河北·石家庄市第二十八中学九年级期末)如图，为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD=10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P、N分别在边AB，AC上．顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为_____．

【答案】25
【解析】
【分析】
设DE=x，根据矩形的性质得到，PQ=MN=DE，证明△APN∽△ABC，得到，求出PN=10-x得到矩形的面积，根据二次函数的性质求解．
【详解】
解：设DE=x，
∵四边形PQMN是矩形，AD⊥BC，
∴，PQ=MN=DE，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∴，
∴PN=10-x，
∴矩形PQMN面积=，
∴当x=5时，矩形PQMN面积有最大值，最大值为25cm2，
故答案为：25．
．   
【点睛】
此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，二次函数的最值，正确掌握相似三角形的判定及性质定理是解题的关键．
三、解答题
11．(2022·江苏溧水·九年级期末)折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．

(1)求证△ABF∽△FCE；
(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形ABCD的面积为80
【解析】
【分析】
(1)根据矩形的性质和翻折的性质即可证明△ABF∽△FCE．
(2)由(1)得△ABF∽△FCE，所以，进而可以解决问题．
(1)
证明：由矩形ABCD可得，∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∴∠BAF+∠AFB＝90°．
由折叠得∠AFE＝∠D＝90°．
∴∠AFB+∠EFC＝90°．
∴∠BAF＝∠EFC．
∴△ABF∽△FCE；
(2)
解：∵CF＝4，EC＝3，∠C＝90°
∴EF＝DE＝5，
∴AB＝CD＝8．
由(1)得△ABF∽△FCE，
∴
∴BF＝6．
∴BC＝10．
∴S＝AB•CB＝10×8＝80．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换，解决本题的关键是得到△ABF∽△FCE．
12．(2022·湖北硚口·九年级期末)如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，点G、F分别是ED、BC的中点，连接CD、BE、GF．

(1)求证：∠ACD＝∠ABE；
(2)求的值；
(3)若四边形BEDC的面积为42，周长为，GF＝5，则AB＝　 　．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)10
【解析】
【分析】
(1)由题意得和都是等腰直角三角形，则，根据SAS证明，即可得；
(2)连接AG，AF，则，，，，，可得，根据角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质即可得；
(3)由GF=5得，根据四边形的周长可得，由，，根据，设BC=a，ED=b，
列方程，进行计算得，则，得，即可得．
(1)
证明：∵AB=AC，AE=AD，，
∴和都是等腰直角三角形，
∵，
，
∴，
在和中，

∴(SAS)，
∴．
(2)
解：如图，连接AG，AF，

∵和都是等腰直角三角形，且点G，F分别是ED，BC的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
(3)
解：∵GF=5，
∴，
由(1)可知，，
∵，
∴，
∵
=，
∵，
∴，
∵，
，
设BC=a，ED=b，
∴
由②得，③，
将③代入①得，，



解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
13．(2022·四川成都·九年级期末)如图1，在矩形ABCD中，点E是CD上一动点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处，AE与DF交于点O．

(1)射线EF经过点B，射线DF与BC交于点G．
ⅰ)求证：△ADE∽△DCG；
ⅱ)若AB＝10，AD＝6，求CG的长；
(2)如图2，射线EF与AB交于点H，射线DF与BC交于点G，连接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的长．
【答案】(1)ⅰ)见解析；ⅱ)
(2)9
【解析】
【分析】
(1)i)根据翻折的性质和相似三角形的判定解答即可；ii)根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例解答即可；
(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解得即可．
(1)
解：i)由翻折可得，△ADE≌△AFE，DF⊥AE于O，
∴∠ADO+∠EAD＝90º，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠CDG+∠ADO＝90º，
∴∠CDG＝∠EAD，
∵∠ADE＝∠DCG＝90º，
∴△ADE∽△DCG；
ii)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90º，
∵△ADE≌△AFE，
∴∠AFE=∠ADE＝90º，AF＝AD＝6，
∴∠AFB=90º，
∴在Rt△ABF中，BF＝，
设DE＝EF＝x，CE＝10﹣x，BC＝AD＝6，
在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，
即(8+x)2＝62+(10﹣x)2，
解得：x＝2，
由i)可知△ADE∽△DCG，
∴，
∴，
解得：CG＝；
(2)
解：由i)可知，△ADE∽△DCG，
∴=2，∠OAD＝∠ODE，
∵△ADE≌△AFE，
∴AD=AF，DE=FE，
∴DF⊥AE，
∴∠DOE＝∠FOE =90°，
∵∠OAD＝∠ODE，∠ADE＝∠DOE＝90°，
∴△ADE∽△DOE，
∴，
∵HG∥AE，
∴∠OEF＝∠GHF，
∵∠OFE＝∠GFH，
∴△HGF∽△EOF，
∴，∠HGF＝∠EOF=90°，
∴∠BGH+∠CGD＝90°，
∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠BHG+∠BGH＝90°，
∴∠CGD＝∠BHG，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BHG∽△CGD，
∴，
∴△BHG∽△CGD∽△DEA∽△OED∽△GHF，
设CE＝x，DC＝5+x，CG＝，BG＝10﹣CG＝10﹣，BH＝BG＝，HG＝BH＝，
∵HG：GF＝1：2，
∴GF＝，
在△ADE中，AD＝10，DE＝5，AE＝5，DO＝，
∵，
∵，
∴OE＝，DO＝OF＝2，
在△DCG中，DC＝5+x，CG＝，DG＝DF+FG＝4，
∵，
∴DG＝CG，
即，
解得：x＝9，
即CE＝9．
【点睛】
此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答．
14．(2021·山东济阳·九年级期中)(1)问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
(2)探究
若将90°角改为锐角或钝角(如图2)，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
(3)应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．

【答案】(1)见解析；(2)成立，理由见解析；(3)
【解析】
【分析】
(1)由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
(2)由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
(3)先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．
【详解】
(1)证明：如题图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
(2)结论仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
设，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
(3)，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【点睛】
本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．
15．(2022·山东历下·九年级期末)如图1，在中，，，，点为斜边上一点，过点作射线，分别交、于点，．

(1)问题产生
若为中点，当，时，______；
(2)问题延伸
在(1)的情况下，将若绕着点旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决
如图3，连接，若与相似，求的值．
【答案】(1)
(2)不改变，，证明见解析
(3)或
【解析】
【分析】
(1)连接，根据题意可得，证明四边形是矩形，可得，进而求得的长，即可求得；
(2)作，，分别交、于点、，证明，可得，根据(1)的结论即可解决问题；
(3)作，，分别交、于点、，证明，可得；①若可得，设，则，，由，可得，根据求得，进而求得，证明，可得，代入数值求解即可；②若，根据，同理求得，代入求解即可．
(1)
如图，连接

，为中点，

，


四边形是矩形
，，


(2)
不改变，；
证明：作，，分别交、于点、

∴四边形PMCN是矩形，

∵
∴
又∵，，
∴
∴
∴
由(1)得
∴
(3)
作，，分别交、于点、
又
四边形为矩形，
∵
∴
又∵，，
∴
∴
①若可得
∵
∴
设，则
四边形为矩形，所以
在中，，可得
在中，，解得
∵
∴，解得
∴
∵，∴
∴，即解得

②若可得
∵
∴
设，则，
四边形为矩形，所以
在中，，可得
在中，，解得
∵
∴，解得
∴
∵，
∴
∴，即
解得

【点睛】
本题考查了矩形的性质与判定，等角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的中线性质，旋转性质，锐角三角函数，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．(2022·江苏广陵·九年级期末)已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．

(1)观察猜想：如图①，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为： ，位置关系为： ．
(2)探究证明：如图②，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：．
(3)拓展延伸：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．
【答案】(1)DE=CF，DE⊥CF
(2)见解析
(3)当∠B+∠EGC=180°时，成立，证明见解析
【解析】
【分析】
(1)先判断出AE=DF，进而得出△ADE≌△DCF(SAS)，即可得出结论；
(2)根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可得结论；
(3)当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立，证△DFG∽△DEA，得出，证△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案．
(1)
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，
∵点E，F是AB，AD的中点，
∴AE=AB，DF=AD，
∴AE=DF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴DE=CF，∠AED=∠DFC，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE+∠DFC=90°，
∴∠DGF=90°，
∴DE⊥CF，
故答案为：DE=CF，DE⊥CF；
(2)
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴；
(3)
当∠B+∠EGC=180°时，成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴，
∴，
∴，
即当∠B+∠EGC=180°时，成立．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力．
17．(2022·山东天桥·九年级期末)(1)如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则＝________；β＝________；
(2)如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明；
(3)若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB， AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：
①＝________；
②请直接写出α和β之间的关系式．

【答案】(1)1，90°；(2)，90°；(3)①；②α+β=180°
【解析】
【分析】
(1)根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF=AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BAE=∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF=90°，所以DF⊥BE；
(2)等同(1)的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF=2BE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF=90°，所以DF⊥BE；
(3)与(2)的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF=180°．
【详解】
解：(1)如图1，延长DF分别交BE于点G，

在正方形ABCD和等腰直角△AEF中，AD=AB，AF=AE，∠BAD=∠EAF=90°，
∴∠FAD=∠EAB，
∴△FAD≌△EAB(SAS)，
∴∠AFD=∠AEB，DF=BE，
∵∠AFD+∠AFG=180°，
∴∠AEG+∠AFG=180°，
∵∠EAF=90°，
∴∠EGF=180°-90°=90°，
∴DF⊥BE，
∴=1，β=90°，
故答案为：1，90°；
(2)如图2，延长DF交EB于点H，

∵AD=2AB，AF=2AE，
∴，
∵∠BAD=∠EAF=90°，
∴∠FAD=∠EAB，
∴△FAD∽△EAB，
∴，
∴DF=2BE，
∵△FAD∽△EAB，
∴∠AFD=∠AEB，
∵∠AFD+∠AFH=180°，
∴∠AEH+∠AFH=180°，
∵∠EAF=90°，
∴∠EHF=180°-90°=90°，
∴DF⊥BE，
∴，β=90°；
(3)①如图3，延长DF交EB的延长线于点H，

∵AD=kAB，AF=kAE，
∴，
∵∠BAD=∠EAF=α，
∴∠FAD=∠EAB，
∴△FAD∽△EAB，
∴，
∴，
②α+β=180°，
由△FAD∽△EAB得∠AFD=∠AEB，
∵∠AFD+∠AFH=180°，
∴∠AEB+∠AFH=180°，
∵四边形AEHF的内角和为360°，
∴∠EAF+∠EHF=180°，
∴α+β=180°．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在．
18．(2022·江苏玄武·九年级期末)在与中，点与分别在边，上，，．
(1)如图1，当时，求证；

(2)当时，与相似吗？小明发现：与不一定相似．小明先画出了的示意图，如图2所示，请你利用直尺和圆规在小明所画的图2－②中，作出与不相似的反例．
(3)小明进一步探索：当，时，设，如果存在，那么的取值范围为__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
(1)(1)由，，可证得，从而，进而得到，结合，可证得；
(2)作的外接圆交于点，连接，为所求作的反例；
(3)作DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，则∠BAC =105º，∠BAD=45º，设DE=1，则AD =，在Rt△ADF中，由正弦可得DF=，在Rt△DCF中，AD =，从而=，即可求解.
(1)
证明：∵，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴.
(2)
解：如图，作的外接圆交于点，连接，

则，
∵，
∴，
但与不相似，
故为所求作的反例；.
(3)
解：如图：

当∠C=45º时，最大，
作DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，
∴∠BAC=180º-∠B-∠C=105º，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=105º-60º=45º，
不妨设DE=1，
∴AD=DE=，
在Rt△ADF中，∠DAC=60º，
∴DF=AD·sin60º=，
在Rt△DCF中，∠C=45º，
∴AD=DF=，
∴=，
故：.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的有关知识，锐角三角形函数等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.