2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题13 一次函数的实际应用中最值问题(教师版)

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备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)
专题13 一次函数的实际应用中最值问题
【典型例题】
1．(2022·河南汝阳·九年级期末)为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？
(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y＝﹣20x+1600(45≤x＜80)
(2)售价应定为50元
(3)每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大
【解析】
【分析】
(1)根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)根据利润＝1盒商品所获得的利润×销售量列出方程，解方程取较小的值即可；
(3)根据利润＝1盒商品所获得的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
(1)
解：700÷20=35元，45+35=80元，
由题意得销售量y＝700﹣20(x﹣45)＝﹣20x+1600，
∴每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式为y＝﹣20x+1600(45≤x＜80)；
(2)
题意得：(x﹣40)(﹣20x+1600)＝6000，
整理得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70，
∵要让顾客得到最大的实惠，
∴x＝50，
∴售价应定为50元；
(3)
P＝(x﹣40)(﹣20x+1600)
＝﹣20x2+2400x﹣64000
＝﹣20(x﹣60)2+8000，
∵a＝﹣20＜0，45≤x＜80，
∴当x＝60时，P有最大值，
∴每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大．
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数与一元二次方程在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒商品子所获得的利润×销售量，求得销售量与x之间的函数关系式是解题的关键．




【专题训练】
一、 解答题
1．(2022·山东青岛·模拟预测)“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生素C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．

(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？
(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每千克“血橙”为18元，每千克“脐橙”为10元
(2)该水果商城购买25千克“血橙”，15千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是210元
【解析】
【分析】
(1)设每千克“脐橙”为x元，则每千克“血橙”是元，然后根据“购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”列分式方程求解即可；
(2)设可再购买a千克“血橙”，则购买千克“脐橙”，再根据“再次购买的费用不超过600元”列不等式求得a的取值范围确定“血橙”和“脐橙”的利润，设总利润为w元并列出表达式，最后根据一次函数的性质即可解答
(1)
解：设每千克“脐橙”为x元，则每千克“血橙”是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，，
答：每千克“血橙”为18元，每千克“脐橙”为10元．
(2)
解：设可再购买a千克“血橙”，则购买千克“脐橙”，
根据题意，得，解得；
每千克“血橙”的利润为：(元)，
每千克“脐橙”的利润为：(元)，
设总利润为w元，根据题意，得
，
因为，所以w随a的增大而增大，
所以当时，w有增大值，，此时，，
答：该水果商城购买25千克“血橙”，15千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是210元．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用、不等式的应用等知识点，考查知识点较多，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
2．(2022·山东莱芜·九年级期末)2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量(件)与销售单价(元)之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为(元)．

(1)求出每月的销售量(件)与销售单价(元)之间的函数关系式；
(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)当这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元
(3)当销售单价应定为60元，每月的最大利润为8000元
【解析】
【分析】
(1)根据题意可以利用待定系数法求出关系式．
(2)利润=单件利润×销量，我们可以得出总利润，根据二次函数的性质，即可解题．
(3)根据函数的性质，求出时的最大值就可．
(1)
设，把，和，代入得：
，解得，，所以；
(2)
；
即与之间的函数关系式为：；
，开口向下，
∴当时，有最大值9000，
当这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．
(3)
根据第二问得：当时，随的增大而增大，又因为，所以当时，，所以当销售单价应定为60元，每月的最大利润为8000元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．
3．(2022·河南·郑州中学九年级期末)冰墩墩(Bing Dwen Dwen)，是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
价格
类别
A款玩偶
B款玩偶
进货价(元/个)
20
15
销售价(元/个)
28
20


(1)第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
(3)小冬第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？(注：利润率=(利润÷成本)×100%)．
【答案】(1)A款玩偶购进20个，则B款玩偶购进10个
(2)A款玩偶购进10个，则B款玩偶购进20个，才能获得最大利润，最大利润是180元
(3)第二次更合算
【解析】
【分析】
(1)设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30-a)个，根据题意，列出方程，即可求解；
(2)设获得利润w元，A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进(30-x)个，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的增减性，即可求解；
(3)分别求出两次的利润率，即可求解．
(1)
解：设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30-a)个，根据题意得：
，
解得：，
∴30-a=10，
答：A款玩偶购进20个，则B款玩偶购进10个；
(2)
解：设获得利润w元，A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进(30-x)个，根据题意得：
，
∵ A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
∴，解得：，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，的值最大，最大值为3×10+150=180，
答：A款玩偶购进10个，则B款玩偶购进20个，才能获得最大利润，最大利润是180元；
(3)
解：第一次的利润率为：，
第二次的利润率为：，
∵，
∴第二次更合算．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
4．(2021·山东青岛·一模)某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进A，B两种口罩．已知每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍．
(1)求这一批口罩平均每包的价格是多少元．
(2)如果购进A，B两种口罩共5500包，最多购进3500包A种口罩，为了使总费用最低，应购进A种口罩和B种口罩各多少包？总费用最低是多少元？
【答案】(1)20元
(2)购进A种口罩3500包，B种口罩2000包时，能使总费用最低，总费用最低是111000元．
【解析】
【分析】
(1)设这一批口罩平均每包的价格是x元，根据“每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍”列分式方程解答即可；
(2)设购进A种口罩t包，这批口罩的总费用为w元，根据题意得出w与t的函数关系式，再根据t的取值范围以及一次函数的性质解答即可．
(1)
解：设这一批口罩平均每包的价格是x元，
根据题意得：，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，并符合题意，
答：这一批口罩平均每包的价格是20元；
(2)
解：由(1)可知，A种口罩每包价格为20×0.9=18(元)，
B种口罩每包价格为20×1.2=24(元)，
设购进A种口罩t包，这批口罩的总费用为w元，根据题意得：
w=18t+24(5500﹣t)=﹣6t+132000，
∵w是t的一次函数，k=﹣6＜0，
∴w随t的增大而减小，
由∵t≤3500，
∴当t=3500时，w最小，
此时B种口罩有：5500﹣3500=2000(包)，w=﹣6×3500+132000=111000，
答：购进A种口罩3500包，B种口罩2000包时，能使总费用最低，总费用最低是111000元．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，正确得出等量关系是解题关键．
5．(2022·江苏滨湖·八年级期末)小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
类别价格
A款玩偶
B款玩偶
进货价(元/个)
40
30
销售价(元/个)
56
45

(1)第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？
(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．
【答案】(1)A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
(2)按照A款玩偶购进20个，B款玩偶购进40个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是920元．
【解析】
【分析】
(1)根据第一次购进30个，设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进(30-x)个，再由用1100元购进了A，B两款玩偶建立方程求出其解即可；
(2)根据第二次购进两款玩偶60个，设A款玩偶购进m个，则B款玩偶购进(60-m)个，获利W元，根据题意可以得到利润与A款玩偶数量的函数关系，然后根据A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以求得A款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利润．
(1)
解：设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进(30-x)个，
由题意可得，
解得，
B款玩偶购进：30-20=10(个)
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个．
(2)
解：设A款玩偶购进m个，B款玩偶购进(60-m)个，获利W元，
由题意可得，
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半
∴
∴
∵
∴
∴W随m的增大而增大
∴时，
∴B款玩偶有60-20=40(个)
答：按照A款玩偶购进20个，B款玩偶购进40个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是920元．
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用以及一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
6．(2021·山东北区·一模)六一前夕，某商场采购A、B两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，比每个B品牌笔袋的进价多2元；若用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数量相同．
(1)求每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是多少元；
(2)该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个，且其中B品牌笔袋的数量不超过400个，求该商场共有几种进货方式；
(3)若每个A品牌笔袋售价16元，每个B品牌笔袋售价12元，在第(1)(2)问的前提下，不计其他因素，将所采购的A、B两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元．
【答案】(1)每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是10元、8元
(2)共有11种进货方式
(3)最大利润为4020元
【解析】
【分析】
(1)根据用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数量相同，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
(2)根据该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个，可以得到相应的不等式，再根据B品牌笔袋的数量不超过400个，即可得到该商场共有几种进货方式；
(3)根据题意，可以得到利润和A种笔袋数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到该商场可以获得的最大利润为多少元．
(1)
解：设每个B品牌笔袋进价为x元，则每个A品牌笔袋进价为(x+2)元，
由题意可得，，
解得：x＝8，
经检验：x＝8是原方程的解
∴x+2＝10，
答：每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是10元、8元；
(2)
设购买A品牌笔袋m个，则购买B品牌笔袋(800﹣m)个，
由题意可得10m+8(800﹣m)≤7220，
解得：m≤410，
又∵B品牌笔袋的数量不超过400个，
∴800﹣m≤400，
解得m≥400，
∴400≤m≤410，
∵m是整数，
∴m＝400，401，402，…，410，
即该商场共有11种进货方式，
答：该商场共有11种进货方式；
(3)
)设商场可获得利润W元，
W＝(16﹣10)m+(12﹣8)×(800﹣m)＝2m+3200，
∵k＝2＞0，
∴W随m的增大而增大，
又∵400≤m≤410，
∴当m＝410时，W最大，此时W＝2×410+3200＝820+3200＝4020，
答：该商场可以获得的最大利润为4020元．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用、一元一次不等式解决实际问题、利用一次函数求最大利润问题等知识点，根据已知信息列式并正确解答是作答此类问题的关键．
7．(2022·四川简阳·八年级期末)某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？
(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【答案】(1)每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人；
(2)①租车方案有三种：方案一：小客车8车、大客车1辆，方案二：小客车5辆，大客车3辆，方案三：小客车2辆，大客车5辆；②租用小客车2辆，大客车5辆时费用最小，最小费用为49500元．
【解析】
【分析】
(1)每辆小客车能坐a人，每辆大客车能坐b人，根据“用1辆小客车和2，辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人”列出方程组，再解即可；
(2)①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=280+5，然后求出整数解即可；②根据题意求出W与m的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
(1)
设每辆小客车能坐a人，每辆大客车能坐b人，根据题意，得：
，
解得：，
答：每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人；
(2)
①根据题意，得30m+45n=280+5，
因为m，n均为整数
所以解得：或或，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车8车、大客车1辆，
方案二：小客车5辆，大客车3辆，
方案三：小客车2辆，大客车5辆；
②根据题意，得W=6000m+7500×=1000m+47500，
∵1000＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m=2时，W有最小值为：49500．
答：租用小客车2辆，大客车5辆时费用最小，最小费用为49500元．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程(组)的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
8．(2022·山东城阳·八年级期末)七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，国人掀起购物潮．我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元．
(1)该门店库存有上衣、裤子各多少件？
(2)售完这批库存后，该门店计划再次调进2000件上衣和裤子，其中裤子的数量不超过1200件，若该门店还是按原获利方式卖，则如何分配这2000件商品可使获利达到最大值，最大盈利多少元？
【答案】(1)该门店库存有上衣800件，则有裤子650件
(2)再次调进800件上衣和1200件裤子，可使获利达到最大值，最大盈利136000元
【解析】
【分析】
(1)设该门店库存有上衣x件，则有裤子(1450-x)件，根据共可获利92000元得：50x+80(1450-x)=92000，即可解得答案；
(2)设这2000件商品可获利W元，上衣m件，则裤子(2000-m)件，根据裤子的数量不超过1200件得m≥800，而W=-30m+160000，根据一次函数性质可得答案．
【小题1】
解：设该门店库存有上衣x件，则有裤子(1450-x)件，
根据题意得：50x+80(1450-x)=92000，
解得x=800，
∴有裤子1450-x=1450-800=650，
答：该门店库存有上衣800件，则有裤子650件；
【小题2】
设这2000件商品可获利W元，上衣m件，则裤子(2000-m)件，
∵裤子的数量不超过1200件，
∴2000-m≤1200，
∴m≥800，
根据题意得：W=50m+80(2000-m)=-30m+160000，
∵-30＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴m=800时，W最大=-30×800+160000=136000(元)，
答：再次调进800件上衣和1200件裤子，可使获利达到最大值，最大盈利136000元．
【点睛】
本题考查一次方程与一次函数，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程和函数关系式．
9．(2022·浙江·九年级专题练习)在元旦期间，某水果店销售葡萄，零售一箱该种葡萄的利润是60元，批发一箱该种葡萄的利润是30元．
(1)已知该水果店元日放假三天卖出100箱这种葡萄共获利润3600元，求该水果店元旦放假三天零售、批发该种葡萄分别是多少箱？(要求：列二元一次方程组解应用问题)
(2)现该水果店要经营1000箱该种葡萄，并规定该葡萄零售的箱数小于等于200箱，请直接写出零售和批发各多少箱时，才能使总利润最大？并直接写出最大总利润是多少元？
【答案】(1)零售该种葡萄20箱，批发该种葡萄80箱；
(2)当零售和批发各200箱，800箱时，总利润最大为36000元．
【解析】
【分析】
(1)零售该种葡萄x箱，批发该种葡萄y箱，根据葡萄总共100箱，和共获利润3600元，建立二元一次方程组，求解即可；
(2)设零售该种葡萄a箱，则批发该种葡萄(1000﹣a)箱，利润为W元，可以用a表示W，根据一次函数的增减性可解答．
(1)
设零售该种葡萄x箱，批发该种葡萄y箱，由题意可得，
，
解得，
∴零售该种葡萄20箱，批发该种葡萄80箱；
(2)
设零售该种葡萄a箱，则批发该种葡萄(1000﹣a)箱，利润为W元，
由题意可得，W＝60a+30(1000﹣a)＝30a+30000，
∵30＞0，
∴W随a的增大而增大，
又∵a≤200，
∴当a＝200时，利润最大为30×200+30000＝36000，
此时1000﹣200＝800(箱)，
∴当零售和批发各200箱，800箱时，总利润最大为36000元．
【点睛】
考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系列出对应的方程组，最值问题利用函数的递增情况解决．
10．(2022·浙江·九年级专题练习)现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，请根据以上要求，求出A，B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨；
(2)A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元．
【解析】
【分析】
(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，根据“每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨”列方程组解答即可；
(2)题目中的不等关系是：厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，等量关系是：总费用＝A型机器费用+B型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决．
(1)
解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，根据题意得：
，
解得：，
则每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨；
(2)
设：A种机器人采购m台，B种机器人采购(20﹣m)台，总费用为w(万元)，根据题意得：m≥10；
w＝3m+2.5(20﹣m)＝0.5m+50．
∵0.5＞0，
∴w随着m的减少而减少．
∴当m＝10时，w有最小值，w最小＝0.5×10+50＝55．
∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元．
【点睛】
考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系列出对应的方程组，最值问题来利用函数的递增情况解决．
11．(2022·山东莱芜·八年级期末)某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用300元购进甲种水果，300元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的1.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多10kg．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？
(2)第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为13元/千克，乙种水果的售价为20元/千克，超市购进两种有机水果各多少千克时第二次获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为15元/千克
(2)超市购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时第二次获得最大利润，最大利润是350元
【解析】
【分析】
(1)根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多10kg，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
(2)根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
(1)
设甲种水果的进价是x元/千克，则乙种水果的进价为1.5x元/千克，根据题意得，
﹣＝10，
解得x＝10，
经检验：x＝10是原分式方程的解，
∴1.5x＝15，
答：甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为15元/千克；
(2)
设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果(100﹣a)千克，利润为w元，
由题意可得：w＝(13﹣10)a+(20﹣15)(100﹣a)＝﹣2a+500，
∴w随a的增大而减小，
∵甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，
∴a≥3(100﹣a)，
解得a≥75，
∴当a＝75时，w取得最大值，此时w＝350，100﹣a＝25，
答：超市购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时第二次获得最大利润，最大利润是350元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
12．(2021·广东·东莞市南开实验学校一模)某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元．
(1)求一台A，B型华为手机的进价分别为多少元？
(2)若手机店购进A，B型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，已知A型学为手机的售价为4200元台，B型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．
【答案】(1)一台A，B型华为手机的进价分别为3200元，2400元
(2)购进A、B型华为手机各30台，最大利润为42000元
【解析】
【分析】
(1)设B型华为手机的进价为x元，则A型华为手机的进价为元，由题意得，计算求解即可；
(2)设购买A型华为手机x台，则B型华为手机为台，由题意知，解得x的取值范围，利润，在x的取值范围，求的最大值即可．
(1)
解：设B型华为手机的进价为x元，则A型华为手机的进价为元
由题意得
解得
经检验是分式方程的解
∴
∴一台A，B型华为手机的进价分别为3200，2400元．
(2)
解：设购买A型华为手机x台，则B型华为手机为台
由题意知
解得
利润

∵随着的增大而增大
∴当台时，最大，其值为元
∴应该购买30台A型华为手机，30台B型华为手机，最大利润为42000元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解一元一次不等式组．解题的关键在于根据题意列等式和不等式．
13．(2021·广东·佛山市三水区三水中学附属初中二模)截至2021年4月10日，全国累计报告接种新冠疫苗16447.1万剂次，接种总剂次数为全球第二．某社区有80000人每人准备接种两剂次相同厂家生产的新冠疫苗并被分配到A、B两个接种点，A接种点有5个接种窗口，B接种点有4个接种窗口．每个接种窗口每天的接种量相同，并且在独立完成20000人的两剂次新冠疫苗接种时，A接种点比B接种点少用5天．
(1)求A、B两个接种点每天接种量；
(2)设A接种点工作x天，B接种点工作y天，刚好完成该社区80000人的新冠疫苗接种任务，求y关于x的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，若A接种点每天耗费6.5万元，B接种点每天耗费为4万元，且A、B两个接种点的工作总天数不超过85天，则如何安排A、B两个接种点工作的天数，使总耗费最低？并求出最低费用．
【答案】(1)A接种点每天接种量为2000剂次，B接种点每天接种量为1600剂次；
(2)；
(3)安排A接种点工作60天，B种接种点工作25天，使总耗费最低，最低费用为490万元
【解析】
【分析】
(1)设A接种点每天接种量为5x剂次，B接种点每天接种量为4x剂次，然后分别表示出两个接种点完成任务各需要的时间，通过做差，可以解出此问．
(2)两个接种点接种的和为160000，每个接种点的接种量为每天接种量乘以接种天数．
(3)通过A、B两个接种点的工作总天数不超过85天可以得到自变量的取值范围，用ｗ表示总耗费，根据一次函数的增减性求得最低的耗费．
(1)
设A接种点每天接种量为5x剂次，B接种点每天接种量为4x剂次，
由题意得：，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，
则4x＝1600，5x＝2000，
答：设A接种点每天接种量为2000剂次，B接种点每天接种量为1600剂次．
(2)
由(1)得2000x+1600y＝80000×2，
∴．
(3)
由题意，得x+y≤85，
即x+(+100)≤85，
解得x≥60，
设总耗费为w万元，
则w＝6.5x+4(+100)＝1.5x+400．
∵1.5＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝60时，w取值最小，最小值为：1.5×60+400＝490(万元)，
∴y＝＝25，
答：安排A接种点工作60天，B种接种点工作25天，使总耗费最低，最低费用为490万元．
【点睛】
本题是一道综合性的题目，考察了分式方程，一元一次不等式，一次函数关系式及其增减性．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
14．(2022·辽宁建昌·九年级期末)“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
(1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；
(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)   
(2)每个纪念品的销售单价为50元时，商家每天获得2400元
(3)销售单价定为52元时，该超市每天的利润最大，最大利润是2640元
【解析】
【分析】
(1)根据题意列出函数关系式即可；
(2)当，解出，(不符合题意，舍去)，根据舍去不满足条件的即可；
(3)由题意，得，利用二次函数的性质进行求解即可．
(1)
解：根据题意得：，；
(2)
解：根据题意可得：，
整理得： ，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：每个纪念品的销售单价为50元时，商家每天获得2400元．
(3)
解：由题意，得，
，
，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，w随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w有最大值，
此时，，
答：销售单价定为52元时，该超市每天的利润最大，最大利润是2640元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出相应的函数关系式．
15．(2021·湖南·师大附中梅溪湖中学二模)某品牌自行车专卖店销售4辆A型自行车和6辆B型自行车的利润为1400元，销售10辆A型自行车和3辆B型自行车的利润为2300元．
(1)求每辆A型自行车和B型自行车的利润；
(2)专卖店计划购进两种型号的某品牌自行车共240辆，其中B型自行车的进货量不低于A型自行车的2倍．设购进A型自行车x辆，这240辆自行车全部销售的销售总利润为y元．该商店如何进货才能使销售总利润最大？
(3)专卖店预算员按照(2)中的方案进行进货，同时专卖店对A型自行车销售价格下调m元，结果预算员发现，无论按照哪种进货方案，最后的销售总利润不变，请求出m的值．
【答案】(1)每辆A型自行车的利润为200元，B型自行车的利润100元
(2)购进A型自行车80辆，B型自行车160辆时，销售总利润最大
(3)100
【解析】
【分析】
(1)设每辆A型自行车的利润为元，B型自行车的利润元，根据“销售4辆A型自行车和6辆B型自行车的利润为1400元，销售10辆A型自行车和3辆B型自行车的利润为2300元．”列出方程组，即可求解；
(2)根据总利润等于两种型号自行车的利润之和，得到关于的解析式，再由B型自行车的进货量不低于A型自行车的2倍．可得，然后根据一次函数的增减性，即可求解；
(3)根据题意可得，再由无论按照哪种进货方案，最后的销售总利润不变，可得，即可求解．
(1)
解：设每辆A型自行车的利润为元，B型自行车的利润元，根据题意得：
，
解得： ，
答：每辆A型自行车的利润为200元，B型自行车的利润100元；
(2)
解：根据题意得：
，
∵B型自行车的进货量不低于A型自行车的2倍．
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，销售总利润最大，此时购进B型自行车160辆，
∴购进A型自行车80辆，B型自行车160辆时，销售总利润最大；
(3)
解：根据题意得：，
∵无论按照哪种进货方案，最后的销售总利润不变，
∴，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．