2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题20 新定义型二次函数问题(教师版)

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备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)
专题20 新定义型二次函数问题
【典型例题】
1．(2021·江苏吴中·二模)定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与y＝a2x2+b2x+c2(a2≠0，a2，b2，c2是常数)满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数．

(1)写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；
(2)若题(1)中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx(k≠0)的图象只有两个交点，求k的值；
(3)如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A(﹣2，1)且△ABC为直角三角形，求点C的坐标．
【答案】(1)“N”函数的表达式为y＝x2+x+1；(2)k＝﹣1或3；(3)C(0，)或C(0，5)．
【解析】
【分析】
(1)利用“N”函数的定义，求出a，b，c的值，即可求出表达式；
(2)将y=kx与二次函数联立，得出关于x的一元二次方程，根据交点个数确定∆的取值即可求出k的值；
(3)先由“N”函数的中心对称性确定点B的坐标，根据直角位置分情况讨论，然后利用勾股定理求出C的坐标．
【详解】
(1)设y＝﹣x2+x﹣1“N”函数的表达式为y＝ax2+bx+c，
则a﹣1＝0，b＝1，c﹣1＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝1，
∴y＝x2+x+1；
(2)根据题意得：
，即x2+(k﹣1)x+1＝0，
判别式．
，即x2+(1﹣k)x+1＝0，
判别式，
∴∆1＝∆2．
设∆＝∆1＝∆2．
若∆＞0，则“N”函数与y＝kx有四个交点；
若∆＝0，则“N”函数与y＝kx有两个交点；
若∆＜0，则“N”函数与y＝kx有没有交点；
∴∆＝0，即(k﹣1)2﹣4＝0，解得k1＝﹣1；k2＝3．
故k＝﹣1或3．
(3)由题意得“N“函数关于原点成中心对称，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，A(﹣2，1)
∴点B的坐标为(2，﹣1)．
∵△ABC是直角三角形，下面分情况讨论：
若∠ACB＝90°，
则AC2+BC2＝AB2，
即(c﹣1)2+22+(c+1)2+22＝42+22，
解得．
∵c＞0，
∴c＝，
∴C的坐标为(0，)．
若∠CAB＝90°，
则AC2+AB2＝BC2．
即(c﹣1)2+22+20＝(c+1)2+22，
解得：c＝5，
∴C的坐标为(0，5)．
若∠ABC＝90°，
则C在y的负半轴，故舍去．
∴C(0，)或C(0，5)．

【点睛】
本题主要考查了新定义，二次函数的图象与性质，根的判别式，中心对称的特点，以及勾股定理等知识，只有熟记二次函数的图形的性质，中心对称的特点以及勾股定理，才能快速解出此类问题．




【专题训练】
一、 解答题
1．(2022·湖南·长沙市雅礼实验中学九年级期末)“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“三高四新”点，经过的函数，称为“三高四新”函数．
(1)下列函数是“三高四新”函数的有_____；
①             ②       ③             ④
(2)若关于x的一次函数是“三高四新”函数，且它与y轴的交点在y轴的正半轴，求k的取值范围；
(3)关于x的二次函数的图象顶点为A，点和点是该二次函数图象上的点且使得，试判断直线MN是否为“三高四新”函数，并说明理由．
【答案】(1)①②④；(2)且k≠0；(3)直线MN为“三高四新”函数，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)把x=3分别代入各个函数求值判断即可；
(2)由一次函数是“三高四新”函数，得，再由函数与y轴的交点在y轴的正半轴，可知，即可求解；
(3)由二次函数顶点式解析式可知顶点A的坐标为(3，0)，分别设出直线AM、AN的解析式，由，可得k1 k2=-1，由此AN所在直线可化为为y=-(x-3)，因为点和点均在二次函数图象上，分别联立抛物线和直线的解析式，解得， ， 从而求出直线MN所在直线为y-=(x-3+)，
把x=3代入，解得y=4，由此即可判断直线MN为“三高四新”函数.
【详解】
解：(1)当x=3时，
①；②；
③；④；
即函数①②④经过(3，4)点，
“三高四新”函数为①②④；
故答案为：①②④；
(2)若关于x的一次函数是“三高四新”函数，即且k≠0，
函数与y轴的交点在y轴的正半轴，
，即，
且k≠0；
(3)直线MN为“三高四新”函数.理由如下：
如图：

点A的坐标为(3，0)，
设AM所在直线为y-0=k1(x-3)，AN所在直线为y-0=k2(x-3)，(k1 k2≠0)
∵，
∴AM⊥AN，k1 k2=-1，
故AN所在直线可化为为y=-(x-3)
∵点和点均在二次函数图象上，
∴，解得，或(舍去)，
由，解得，或(舍去)，
设MN所在直线的方程为y=kx+b,
将M,N点分别代入直线方程可得：
即直线MN所在直线为，
当x=3时，y=·+=4，
即MN所在直线国(3，4)点，
∴直线MN为“三高四新”函数.
【点睛】
本题主要考查与二次函数有关的新定义的概念，关键是要理解新定义的函数的特点，．
2．(2021·山西大同·九年级期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为的二次函数与(，)称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．
任务：
(1)写出二次函数的“亲密函数”：______；
(2)二次函数的图象与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图象与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数()的图象与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图象与轴交点的横坐标之间的关系是______；
(3)二次函数的图象与轴交点的横坐标为1和，请利用(2)中的结论直接写出二次函数的图象与轴交点的横坐标．
【答案】(1)；(2)4和-1；互为相反数；(3)二次函数的图象与轴交点的横坐标为和．
【解析】
【分析】
(1)根据二次函数的“亲密函数”定义把一次项系数变为相反数即可；
(2)利用“亲密函数”建立y=0时方程，解方程，得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，与原函数与x轴交点横坐标比较，得出规律即可；
(3)先将函数变形，发现与“亲密函数”类似，根据原函数与x轴交点横坐标得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，利用2x等于交点横坐标，求出x得出所求函数与x轴的交点横坐标即可．
【详解】
解：(1)二次函数的“亲密函数”为，
故答案为：；
(2)，解得，
它的“亲密函数”的图象与轴交点的横坐标为4和-1，
∴二次函数()的图象与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图象与轴交点的横坐标之间的关系是互为相反数；
故答案为4和-1；互为相反数；
(3)，
∵二次函数的图象与轴交点的横坐标为1和，
∴二次函数的图象与轴交点的横坐标为-1和，
∴图像与轴交点的横坐标为-1和，
∴2x=-1,2x=2021，
∴，，
∴二次函数的图象与轴交点的横坐标为和．
【点睛】
本题考查新定义函数，仔细阅读题目，抓住实质，抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程的根，利用“亲密函数”变形得出新函数图像与x轴的交点横坐标是解题关键．
3．(2020·浙江·衢州市实验学校教育集团(衢州学院附属学校教育集团)九年级期末)定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
(1)已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为(1，0)、(5，0)，则此抛物线的顶点为 　 　；
(2)若抛物线y＝x2﹣bx(b＞0)是“美丽抛物线”，求b的值；
(3)如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B(1，2)，与轴交与A，C，AB与y轴交于点D，连接OB，在抛物线找一点Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q点的横坐标．

【答案】(1)(3，2)或(3，-2)(2)；(3)或
【解析】
【分析】
(1)先求出抛物线的对称轴为，然后根据“美丽抛物线的”定义求出顶点坐标，然后求解即可；
(2)先求出抛物线与x轴的两个交点，顶点坐标，然后根据“美丽抛物线的”定义求解即可.
(3)过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，先求出A(-1，0)，C(3，0)，然后求出抛物线解析式，然后求出，即可得到，即，
设Q(m，)，则，然后解方程求解即可得到答案.
【详解】
解：(1)∵抛物线与x轴的两个交点为(1，0)、(5，0)，
∴抛物线的对称轴为，
∴由“美丽抛物线的”定义可知，抛物的顶点到x轴的距离
∴抛物线顶点的坐标为(3，2)或(3，-2)，
(2)∵抛物线的解析式为，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(b，0)，抛物线的顶点坐标为(，)
∴由“美丽抛物线的”定义可知
∴解得；
∵，
∴；
(3)如图，过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，
由题意得△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，
∴AE=CE=BE，
∵B(1，2)，
∴AE=CE=BE=2，OE=1，
∴AO=1，OC=3，
∴A(-1，0)，C(3，0)
∴抛物线解析式为，
把B(1，2)代入抛物线解析式得，
解得,
∴抛物线解析式为
∵，，
，
∴，
∴
∴，
∴，
设Q(m，)，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
解得(舍去)或或，
∴Q点的横坐标为或.

【点睛】
本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的解析式，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
4．(2021·北京房山·九年级期中)定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，抛物线的顶点(0，0)在抛物线上，抛物线的顶点(1，1)也在抛物线上，所以抛物线与关联．

(1)已知抛物线C1：，分别判断抛物线C2：和抛物线C3：与抛物线C1是否关联；
(2)抛物线M1：的顶点为A，动点P的坐标为，将抛物线M1绕点旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；
(3)抛物线M1：的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标．
【答案】(1)抛物线与关联，抛物线与不关联；(2)的解析式为或；(3)
【解析】
【分析】
(1)首先求得抛物线的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线与上，再求得抛物线与的顶点坐标，检验是否在抛物线上即可求得答案；
(2)首先求得抛物线的顶点坐标，则可得：点在直线上，设抛物线的顶点为A′，作AE垂直于直线于E，A′F垂直于直线于F，则AE＝A′F＝4，得出点A′的纵坐标为6，根据抛物线与关联，得出点A′在：上，当时，，解出，设抛物线的解析式为，或，将点A代入其中求解可得；
(3)根据全等三角形的知识，即可求得点的坐标，从而求得点的纵坐标．
【详解】
(1)∵抛物线：的顶点为M(－1，－2)，
经验算，点M(－1，－2)在抛物线：上，不在抛物线
：上，
∴抛物线与抛物线不关联；
又抛物线：＝，
其顶点坐标为N(1，2)，
经验算，点N在抛物线上，
∴抛物线与关联，抛物线与不关联．
(2)抛物线：的顶点坐标为A(－1，－2)，
设抛物线的顶点为A′，
由已知，点A(－1，－2)与点A′关于点对称，
如图，作AE垂直于直线于E，A′F垂直于直线于F，

则AE＝A′F＝4，
∴点A′的纵坐标为6，
∵抛物线与关联，
∴点A′在：上，
当时，，
解得，或，
∴A′(7，6)，或A′(－9，6)．
∴设抛物线的解析式为，或，
∵点A(－1，－2)在上，
∴，或，
解得，，
∴抛物线的解析式为或．
(3)根据题意作图如下：

若为抛物线的顶点，
，
点恰好在轴上，
，
，
，
，
，
，
△，
，，
点的纵坐标为，
把代入
解得：或，
,
，或，
点的纵坐标是．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质、旋转．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
5．(2021·山东中区·九年级期末)定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝(x﹣1)2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣(x﹣1)2+2．
(1)请写出抛物线y1＝(x﹣1)2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣(x﹣1)2+2的顶点坐标 ；
(2)求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
(3)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．

【答案】(1)(1，﹣2)，(1，2)；(2)y＝2(x﹣1)2﹣5；(3)①a＝；②≤a≤1或﹣≤a＜﹣
【解析】
【分析】
(1)根据顶点式y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h，k)；
(2)先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
(3)①写出点B的坐标，再由对称轴求出点B'，然后结合正方形的性质列出方程求 a；
②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】
解：(1)由y1＝(x﹣1)2﹣2知顶点坐标为(1，﹣2)，
由y2＝﹣(x﹣1)2+2知顶点坐标为(1，2)，
故答案为：(1，﹣2)，(1，2)．
(2)∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2(x﹣1)2+5，
∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2(x﹣1)2﹣5．
(3)①当x＝1时，y＝1﹣3a，
∴B(1，1﹣3a)，
∴C(1，3a﹣1)，
∴BC＝|1﹣3a﹣(3a﹣1)|＝|2﹣6a|，
∵抛物线L的对称轴为直线x＝＝2，
∴点B'(3，1﹣3a)，
∴BB'＝3﹣1＝2，
∵四边形BB'C'C是正方形，
∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，
解得：a＝0(舍)或a＝．
②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，1﹣4a)，
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
(i)当a＞0时，
∵L开口向上，与y轴交于点(0，1)，
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，当x＝2时，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，
解得：≤a≤1；
(ii)当a＜0时，
∵L开口向下，与y轴交于点(0，1)，
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当x＝2时，1＜1﹣4a≤2，当x＝﹣1时，5a+1＜0，
解得：，
综上所述：≤a≤1或﹣≤a＜﹣．
【点睛】
此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
6．(2021·山东乳山·模拟预测)【信息提取】
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．
新知识：对于直线和．若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．
【感知理解】
(1)若抛物线的“友好抛物线”为．则h，k的值分别是 ；
(2)若抛物线与互为“友好抛物线”．则b与n的数量关系为 ，c与q的数量关系为 ．
【综合应用】
(3)如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B(点A在B的左侧)，与抛物线交于点C，D(点C在D的左侧)．若四边形AFDE为菱形，求AB的长；

【答案】(1)3，；(2)，；(3)
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的新定义可知“友好抛物线”关于坐标原点对称，根据关于坐标原点对称的抛物线的特征即可得出答案；
(2)根据互为友好抛物线”的图像关于坐标原点对称即可得出答案；
(3)由(2)的规律易得的解析式，由、的解析式先求出E、F点的坐标，进而可得直线EF的解析式，当四边形AFDE为菱形时，EF⊥AD，直线AD经过原点O，则可求得AD解析式，设点A(x1,2x1)，点B(x2,2x2)，进而根据根与系数的关系以及两点间距离公式即可求解．
【详解】
解：(1)由题意可知“友好抛物线”的图像关于坐标原点对称，
∴和的顶点坐标关于原点对称，
又∵的顶点为(-3,1)，
∴的顶点为(3,-1)，
∴h=3，k=-1；
(2)∵和图像关于坐标原点对称，
抛物线的对称轴为：，
关于原点对称可得抛物线的对称轴为：，
又∵，
∴，
∵a=-m，
∴，
∵抛物线经过定点(0，c)，
(0，c)关于原点的对称点为(0，-c)，
抛物线经过定点(0，q)，
∴-c=q，即；
(3)由(2)结论可得： ，
∴点，点，
设直线EF的解析式为，
将点E代入可得直线EF的解析式为.
∵四边形AFDE为菱形时，，
所以直线AD的解析式为，
由题意可设点A(x1,2x1)，点B(x2,2x2)，
时，x1+x2=6，x1x2=3，
．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及两点间距离公式是解题的关键．
7．(2021·江苏·镇江实验学校一模)定义：如图，若两条抛物线关于直线成轴对称，当时，取顶点在左侧的抛物线的部分；当时，取顶点在右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线的一对伴随抛物线．例如：抛物线与抛物线就是关于直线(y轴)的一对伴随抛物线．

(1)求抛物线关于直线的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．
(2)设抛物线交y轴于点A，交直线于点B．
①求直线平行于x轴时的m的值．
②求是直角时抛物线关于直线的“伴随抛物线”的顶点横坐标．
【答案】(1)；(2)①2；②或
【解析】
【分析】
(1)先求出“伴随抛物线”的顶点坐标，即可求解；
(2)①先求出点A，点B坐标，代入解析式可求m的值；
②根据∠AOB是直角确定B点在x轴上，进而得B点坐标，代入抛物线的解析式便可求得m的值即原抛物线的顶点横坐标，进而求得伴随抛物线的顶点坐标．
【详解】
解：(1)抛物线的顶点坐标，
关于直线的对称点坐标为
“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为：；
(2)①抛物线交轴于点，
点，
直线平行于轴，抛物线交直线于点．
点，
，
(舍去)，，
；
②如图1和图2，

，
点在轴上，
点的坐标是，
把代入中，得
，
解得，或，
的顶点横坐标为：，
即抛物线的顶点横坐标为或，
则抛物线关于直线的“伴随抛物线”的顶点横坐标为：
，或，
“伴随抛物线”的顶点横坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，涉及了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，着重理解互称为“伴随抛物线”这个新定义，本题(2)问的关键是运用了数形结合和分类思想解决问题．
8．(2021·浙江·九年级期末)定义：在平面直角坐标系中，有一条线段，若抛物线的顶点是A，经过点B，抛物线的顶点是B，经过点A，称这两条抛物线是关于线段的一对“有礼抛物线”，如图所示．

(1)若抛物线与是一对“有礼抛物线”，求a的值．
(2)若线段两端点坐标是，关于线段的一对有礼抛物线是和，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
(3)若抛物线的顶点为A，它与y轴交于点E，点B在抛物线上，关于线段的另一条“有礼抛物线”与y轴交点记为点F，若，求的函数关系式．
【答案】(1)；(2)，证明见解析；(3)或．
【解析】
【分析】
(1)先求出抛物线的顶点坐标，再将其代入抛物线的解析式即可得；
(2)先联立两条抛物线的解析式可得一个关于的一元二次方程，从而可得是这个方程的两个实数根，再利用根与系数的关系、以及抛物线的对称轴列出等式，化简即可得；
(3)先求出点的坐标，再根据可得点的坐标，然后根据(2)的结论可求出，最后将点的坐标代入抛物线即可得．
【详解】
解：(1)抛物线的顶点坐标为，
将点代入得：，
解得；
(2)猜想，证明如下：
联立，得：，
由题意得：，且是关于的方程的两个不相等的实数根，
则，且，
不妨设点是抛物线的顶点，点是抛物线的顶点，
则，
，
，
整理得：，
，
，即，
，
解得；
(3)抛物线的顶点的坐标为，
当时，，即，
设点的坐标为，
，
，
解得或，
即或，
由(2)的结论得：，
则，
①将点代入得：，
解得，
则；
②将点代入得：，
解得，
则，
综上，或．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、待定系数法，正确理解“有礼抛物线”的定义是解题关键．