2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题06 费马点求最小值（教师版）

中考数学压轴题--二次函数

第6节  费马点求最小值

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方法点拨

△APC≌△AQE，且△APQ为等边三角形，

∴PC=QE，AP=PQ

∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE
当B、P、Q、E共线时，AP+BP+CP和最小

       例题演练

题组1：费马点在三角形中运用

例1．如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD．

【探究】求证：PM＝PC，MD＝PA

【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则PA+PB+PC的最小值是　   　(用a，b表示)

【解答】【探究】证明：∵以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD，

∴PM＝PC，AC＝CD，PC＝CM，∠PCM＝∠ACD＝60°，

∴∠PCA＝∠MCD，

在△ACP和△DCM中，，

∴△ACP≌△DCM(SAS)，

∴MD＝PA；

【应用】解：连接BD，如图所示：

∵△APC≌△DCM，

∴∠ACP＝∠DCM，AC＝CD＝b，

∴∠ACP+∠PCB＝∠DCM+∠PCB，

∴∠DCM+∠PCB＝∠ACB＝60°，

∴∠BCD＝∠DCM+∠PCB+∠PCM＝60°+60°＝120°，

作DF⊥BC于F，则∠CFD＝90°，

在Rt△CDF中，∵∠DCF＝180°﹣120°＝60°，CD＝b，

∴∠CDF＝30°，

∴CF＝AC＝b，DF＝CF＝b，∴BF＝a+b，

∴BD＝＝＝；

当B、P、M、D共线时，PA+PB+PC的值最小，

即PA+PB+PC的最小值为：；

故答案为：．

练1.1问题提出

(1)如图①，在△ABC中，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′B′C′，则CC′＝　   　；

问题探究

(2)如图②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值，并说明理由；

问题解决

(3)如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四边形ABCD内部有一点，满足∠APD＝120°，连接BP、CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ+BQ+CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)如图①，

由旋转的性质可知：△BCC′是等边三角形，

∴CC′＝BC＝2，

故答案为2．

(2)如图②，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．

由旋转的性质可知：△PBF是等边三角形，

∴PB＝PF，

∵PA＝EF，

∴PA+PB+PC＝PC+PF+EF，

∵PC+PF+EF≥EC，

∴当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，

易证BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝90°，

∵EB⊥BC，

∴EC＝BC＝3，

∴PA+PB+PC的最小值为3．

(3)如图③﹣1中，将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是等边三角形，

∴BQ＝QG，PQ＝EG，

∴PQ+BQ+CQ＝EG+GQ+QC≥EC，

∴EC的值最小时，QP+QB+QC的值最小，

如图③﹣2中，延长BA交CD的延长线于J，作△ADJ的外接圆⊙O，将线段BO，BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，BE，连接EO′，OB，OP．

易证△BEO′≌△BPO(SAS)，

∴EO′＝OP，

∵∠APD+∠AJD＝180°，

∴A，P，D，J四点共圆，

∴OP＝，

∴EO′＝，

∴点E的运动轨迹是以O′为圆心，为半径的圆，∴当点E在线段CO′上时，EC的值最小，最小值＝CO′﹣EO′，

连接OO′，延长OO′到R，使得O′R＝OO′，连接BR，则∠OBR＝90°，作RH⊥CB交CB的延长线于H，O′T⊥CH于T，OM⊥BC于M．

在Rt△OBM中，BM＝5，OM＝，

∴OB＝＝，

∴BR＝OB＝14，

由△BHR∽△OMB，

∴＝，

∴RH＝5，

∵HR∥O′T∥OM，OO′＝RO′，

∴TM＝TH，

∴O′T＝＝，

∴BT＝＝3，

∴CO′＝＝，

∴CO′﹣EO′＝﹣＝．

∴QP+QB+QC的最小值为．

题组2：费马点在四边形中运用

例2．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA+PB+PC的最小值为　   　．

【解答】解：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，

∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°，△BPC≌△BP'C'，

∴△BPP'是等边三角形，PC＝P'C'，∠PBC＝∠P'BC'，BC＝BC'＝2，

∴BP＝PP'，

∴PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，

∴当线段AP，PP'，P'C'在一条直线上时，PA+PB+PC有最小值，最小值是AC'的长，

过点C'作C'E⊥AB交AB的延长线于E，

∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC＝150°，

∴∠EBC'＝30°，

∴EC'＝1，BE＝EC'＝，

∴AE＝2+，

∴AC'＝＝＝+，

故答案为：+．

练2.1如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．

(1)求证：△AMB≌△ENB；

(2)若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA+PB+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．

【解答】解：(1)如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，

∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；

∵∠MBN＝60°，

∴BE＝BA，∠MBN＝∠ABE，

∴∠MBA＝∠NBE；

在△AMB与△ENB中，

，

∴△AMB≌△ENB(SAS)，

(2)顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形．

即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，

即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF．

BM＝BF•cos30°＝BC•cos30°＝，

则AM＝+＝，

∵AB＝BF，∠ABF＝150°

∴∠BAF＝15°

既得AF＝＝+1．

例3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0，2)，点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点(A在F的左侧)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

(3)点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长．

【解答】解：(1)过E作EG⊥OD于G(1分)

∵∠BOD＝∠EGD＝90°，∠D＝∠D，

∴△BOD∽△EGD，

∵点B(0，2)，∠ODB＝30°，

可得OB＝2，；

∵E为BD中点，

∴

∴EG＝1，

∴

∴点E的坐标为(2分)

∵抛物线经过B(0，2)、两点，

∴，

可得；

∴抛物线的解析式为；(3分)

(2)∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，

∴A点的坐标为

∴，

∴在△AGE中，∠AGE＝90°，(4分)

过点O作OK⊥AE于K，

可得△AOK∽△AEG

∴

∴

∴

∴

∵△OMN是等边三角形，

∴∠NMO＝60°

∴；

∴，或；(6分)

(写出一个给1分)

(3)如图；

以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；

易证OE＝OB＝2，∠OBE＝60°，则△OBE是等边三角形；

连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置(即费马点)；

∵OA＝OB′，∠B′OB＝∠AOE＝150°，OB＝OE，

∴△AOE≌△B′OB；

∴∠B′BO＝∠AEO；

∵∠BOP＝∠EOP′，而∠BOE＝60°，

∴∠POP'＝60°，

∴△POP′为等边三角形，

∴OP＝PP′，

∴PA+PB+PO＝AP+OP′+P′E＝AE；

即m最小＝AE＝；

如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，

根据费马点的性质知∠BPO＝120°，则∠PBO+∠BOP＝60°，而∠EBO＝∠EOB＝60°；

∴∠PBE+∠POE＝180°，∠BPO+∠BEO＝180°；

即B、P、O、E四点共圆；

易求得Q(，1)，则H(，0)；

∴AH＝；

由割线定理得：AP•AE＝OA•AH，

即：AP＝OA•AH÷AE＝×÷＝．

故：m可以取到的最小值为

当m取得最小值时，线段AP的长为．

(如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分)

练3.1如图，抛物线y＝ax2+bx+过点A(1，0)，B(5，0)，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．

(3)在(2)中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+过点A(1，0)，B(5，0)，

∴0＝a+b+

0＝25a+5b+

∴a＝，b＝﹣3

∴解析式y＝x2﹣3x+

(2)当y＝0，则0＝x2﹣3x+

∴x1＝5，x2＝1

∴A(1，0)，B(5，0)

∴对称轴直线x＝3，顶点坐标(3，﹣2)，AB＝4

∵抛物线与y轴相交于点C．

∴C(0，)

如图1

①如AB为菱形的边，则EF∥AB，EF＝AB＝4，且E的横坐标为3

∴F的横坐标为7或﹣1

∵AE＝AB＝4，AM＝2，EM⊥AB

∴EM＝2

∴F(7，2)，或(﹣1，2)

∴当x＝7，y＝×49﹣7×3+＝6

∴点F到二次函数图象的垂直距离6﹣2

②如AB为对角线，如图2

∵AEBF是菱形，AF＝BF＝4

∴AB⊥EF，EM＝MF＝2

∴F(3，﹣2)

∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+2

(3)当F(3，﹣2)时，点F到二次函数图象的垂直距离最小

如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置，连接AN，作PN⊥AB于P

∵等边三角形BQD

∴QD＝QB＝BD，

∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置

∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ

∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN

∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．

∵AF＝BF＝4＝AB，

∴∠ABF＝60°

∴∠NBP＝60°且BN＝4，

∴BP＝2，PN＝2

∴AP＝6

在Rt△ANP中，AN＝＝4

∴AQ+BQ+FQ的和最短值为4．