2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题07 线段之差最值问题（教师版）

中考数学压轴题--二次函数

第7节  线段之差最值问题

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方法点拨

(1)在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PA﹣PB|最大；

(2)在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最大；

(3)在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最小．

(1)如图所示：

(2)如图所示：

(3)如图所示：

       例题演练

1．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2的顶点为A，与y轴交于点B．

(1)求点A、点B的坐标；

(2)若点P是x轴上任意一点，求证：|PA﹣PB|≤|AB|；

(3)当|PA﹣PB|最大时，求点P的坐标．

【解答】(1)解：抛物线y＝﹣x2﹣x+2与y轴的交于点B，

令x＝0得y＝2．

∴B(0，2)

∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣(x+2)2+3

∴A(﹣2，3)

(2)证明：当点P是AB的延长线与x轴交点时，

|PA﹣PB|＝|AB|．

当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，

在点P、A、B构成的三角形中，|PA﹣PB|＜|AB|．

综合上述：|PA﹣PB|≤|AB|

(3)解：作直线AB交x轴于点P，由(2)可知：当|PA﹣PB|最大时，点P是所求的点

作AH⊥OP于H．

∵BO⊥OP，

∴△BOP∽△AHP

∴

由(1)可知：AH＝3、OH＝2、OB＝2，

∴OP＝4，

故P(4，0)．

注：求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P(4，0)等各种方法只要正确也相应给分．

2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为点A(﹣2，3)，且抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点B(0，2)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P是x轴上任意一点，则当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．

【解答】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为A(﹣2，3)，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x+2)2+3(a≠0)，

由题意得：a(0+2)2+3＝2，解得：a＝﹣．

∴物线的解析式为y＝﹣(x+2)2+3，即y＝﹣x2﹣x+2．

(2)设存在符合条件的点P，其坐标为(p，0)，则

PA2＝(﹣2﹣p)2+32，PB2＝p2+22，AB2＝(3﹣2)2+22＝5

当PA＝PB时，(﹣2﹣p)2+32＝p2+22，解得：p＝﹣；

当PA＝AB时，(﹣2﹣p)2+32＝5，方程无实数解；

当PB＝AB时，p2+22＝5，解得p＝±1．

∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为(﹣，0)或(﹣1，0)或(1，0)．

(3)∵|PA﹣PB|≤AB，

∴当A、B、P三点共线时，可得PA﹣PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点．

设直线AB的解析式为y＝kx+b，则：

，解得．

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，

当y＝﹣x+2＝0时，解得x＝4．

∴当PA﹣PB最大时，点P的坐标是(4，0)．

3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．

(1)求直线BC的解析式；

(2)点E(m，0)，F(m+2，0)为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；

(3)如图2，已知x轴上一点P(，0)，现以P为顶点，2为边长在x轴上方作等边三角形QPG，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为s．当Q′到x轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求s的值．

【解答】解：(1)令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，

解方程得：x＝6或x＝﹣2，

∴A(﹣2，0)，B(6，0)，

又y＝﹣x2+x+3＝﹣(x﹣2)2+4，

又顶点C(2，4)，

设直线BC的解析式为：y＝kx+b，代入B、C两点坐标得：

，

解得：，

∴y＝﹣x+6；

(2)如图1，

∵点E(m，0)，F(m+2，0)，

∴E′(m，﹣m2+m+3)，F′(m+2，﹣m2+4)，

∴E′M＝﹣m2+m+3﹣(﹣m+6)＝﹣m2+2m﹣3，

F′N＝﹣m2+4﹣(﹣m+4)＝﹣m2+m，

∴E′M+F′N＝﹣m2+2m﹣3+(﹣m2+m)＝﹣m2+3m﹣3，

当m＝﹣＝3时，E′M+F′N的值最大，

∴此时，E′(3，)F′(5，)，

∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，

∴R(0，)，

根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6，

∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；

(3)由题意得，Q点在∠WAB的角平分线或外角平分线上，

①如图2，当Q点在∠WAB的角平分线上时，

Q′M＝Q′N＝，AW＝，

∵△RMQ′∽△WOA，

∴

∴RQ′＝，

∴RN＝+，

∵△ARN∽△AWO，

∵

∴AN＝，

∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，

∴S＝；

②如图3，当Q点在∠WAB的外角平分线上时，

∵△Q′RN∽△WAO，

∴RQ′＝，

∴RM＝﹣，

∵△RAM∽△WOA，

∴AM＝，

在RtQ′MP′中，MP′＝Q′M＝3，

∴AP′＝MP′﹣AM＝3﹣＝，

在Rt△AP′S中，P′S＝AP′＝×，

∴S＝．

4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A(﹣1，0)，与y轴交于点B，且对称轴为x＝1．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当|PA﹣PB|取最大值时，求点P的坐标．

【解答】解：(1)由题意得：，解得，

∴该抛物线的解析式  y＝﹣x2+2x+3；

(2)∵抛物线为y＝﹣x2+2x+3，

令x＝0，则y＝3，

∴B(0，3)，

如图所示，根据三角形两边之差小于第三边，所以，当点P在直线AB上时，|PA﹣PB|最大

设抛物线的对称轴直线x＝1与x轴交于点H．

∵PH∥y轴

∴△ABO∽△APH

∴＝＝，

∴PH＝2BO＝6

∴P(1，6)即为所求．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线y＝x与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|PA﹣PB|取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)已知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【解答】解：(1)设函数解析式为y＝a(x﹣2)2，

将点(4，1)代入，

得到a＝，

∴y＝(x﹣2)2，

(2)y＝(x﹣2)2与y＝x的交点A(1，)，B(4，1)，

对称轴x＝2，

点A关于对称轴的对称点为A'(3，)，

当点P，A'，B共线时，|PA﹣PB|取得最大值；

设直线A'B的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝x﹣2，

∴P(2，﹣)；

(3)∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，

∴，

∴m2﹣2x0m+y02+﹣2y0n＝2n+1，

∵n＝(m﹣2)2，

∴+﹣2y0﹣3＝0，

∴，

∴，

∴F(2，1)；

6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．

(1)求直线BC的解析式；

(2)过P作PM⊥x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值；

(3)如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当△PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标．

【解答】解：(1)对于抛物线y＝，令x＝0，得y＝3，

∴C(0，3)．

令y＝0，则＝0，

解得x1＝﹣2，x2＝4，

∴A(﹣2，0)，B(4，0)．

设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，将点B，C的坐标代入，

得解得

∴直线BC的函数解析式为y＝；

(2)设点P的坐标为(m，)(0＜m＜4)，

则点M的坐标为(m，+3)，

∴PM＝yP﹣yM＝﹣(+3)＝，

CM＝，

∴PM﹣CM＝﹣＝+m＝．

∵＜0，

∴该抛物线开口向下，

∴当m＝时，PM﹣CM取得最大值，最大值为．

将m＝代入y＝中，得y＝，

∴P(，)；

(3)如图，过点P作PK⊥x轴于点K，交直线BC于点H．

由(1)，易得OC＝3，OB＝4，BC＝5．

设点P的坐标为(n，)(0＜n＜4)，则点H的坐标为(n，+3)，

∴PH＝．

在Rt△PEH中，PE＝PH•cos∠EPH．

∵PE⊥BC，∠PHE＝∠BHK，

∴∠EPH＝∠KBH．

∵cos∠KBH＝，

∴PE＝()＝．

∵原抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴将抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的对称轴为直线x＝2．

又∵点F在新抛物线的对称轴上，PE垂直新抛物线的对称轴，

∴xF＝2，PF＝|n﹣2|．

∵PF＝PE，

∴＝|n﹣2|．

①当n＞2时，＝n﹣2，解得；

②当n＜2时，＝﹣(n﹣2)，解得．

综上，当△PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标为或．