2023年辽宁省沈阳市大东区中考数学零模试卷
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这是一份2023年辽宁省沈阳市大东区中考数学零模试卷,共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023年辽宁省沈阳市大东区中考数学零模试卷
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的.每小题2分,共20分)
1.(2分)下列计算结果为5的是( )
A.﹣(+5) B.+(﹣5) C.﹣(﹣5) D.﹣|﹣5|
2.(2分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.(2分)如图①,用一个平面截长方体,得到如图②的几何体,它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是( )
A. B.
C. D.
4.(2分)2022年3月11日,新华社发文总结2021年中国取得的科技成就,其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米.其中数据10909用科学记数法表示为( )
A.10.909×102 B.1.0909×103
C.0.10909×104 D.1.0909×104
5.(2分)下列计算结果正确的是( )
A.5a﹣3a=2 B.6a÷2a=3a
C.a6÷a3=a2 D.(2a2b3)3=8a6b9
6.(2分)在一个不透明的布袋内,有红球5个,黄球4个,白球1个,蓝球3个,它们除颜色外,大小、质地都相同.若随机从袋中摸取一个球,则摸中哪种球的概率最大( )
A.红球 B.黄球 C.白球 D.蓝球
7.(2分)一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是( )
A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形
8.(2分)已知点A(﹣2,b)与点B(a,3)关于原点对称,则a﹣b的值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
9.(2分)如图,OA,OB是⊙O的两条半径,点C在⊙O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
10.(2分)满足不等式组的整数解是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(3分)因式分解:x2﹣x4= .
12.(3分)在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中,两人的考核成绩的平均数相同,方差分别为S甲2=1.50,S乙2=0.75,则考核成绩更为稳定的运动员是 (填“甲”、“乙”中的一个).
13.(3分)若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为 .
14.(3分)如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=(a>0)的图象于A,B两点,过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,连接CD,若S△BCD=5,则a的值为 .
15.(3分)观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是 (用含n的代数式表示)
16.(3分)已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 .
三、解答题(第17小题6分,第18、19小题各8分,共22分)
17.(6分)+|﹣2|+(2000﹣2023)0+.
18.(8分)如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.
19.(8分)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京﹣张家口成功举办,其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆,分别为:A.云顶滑雪公园、B.国家跳台滑雪中心、C.国家越野滑雪中心、D.国家冬季两项中心.小明和小颖都是志愿者,他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同.利用画树状图或列表的方法,求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率.
四、(每小题8分,共16分)
20.(8分)在中国共产主义青年团成立100周年时,某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛,并将竞赛成绩进行整理(成绩得分用a表示),其中60≤α<70记为“较差”,70≤α<80记为“一般”,80≤α<90记为“良好”,90≤α≤100记为“优秀”,绘制了如图不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
根据统计图提供的信息,回答如下问题:
(1)被随机抽取的学生总人数是 ;
(2)直接将直方图补充完整;
(3)“一般”对应的百分比x= ,“优秀”对应的百分比y= ;
(4)已知90≤α≤100这组的具体成绩为93,94,99,91,100,94,96,98,则这8个数据的中位数是 ,众数是 ;
(5)若该校共有1000人,估计该校学生对团史掌握程度达到“优秀”的人数.
21.(8分)为了让学生崇尚劳动,尊重劳动,在劳动中提升综合素质,某校定期开展劳动实践活动.甲、乙两班在一次体验摘草莓的活动中,甲班摘120千克草莓与乙班摘150千克草莓所用的时间相同.已知甲班平均每小时比乙班少摘10千克草莓,问乙班平均每小时摘多少千克草莓?
五、(本题10分)
22.(10分)如图,△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,以CD为直径的半⊙O与AB相切于点E,交BC于点F,FG⊥AB,垂足为G.
(1)求证:FG是⊙O的切线;
(2)若BG=2,BF=6,直接写出CF的长.
六、(本题10分)
23.(10分)如图,△ABC在平面直角坐标系中,点A在x的负半轴上,点B在x的正半轴上,点C在y的正半轴上,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6,动点P从点A出发,以2个单位长度/s的速度沿边AB向终点B匀速运动,以PA为一边作∠APG=120°,另一边PG与折线AC﹣CB相交于点G,以PG为边作菱形PGFE,点E在线段PB上.设点P的运动时间为x(s).
(1)当点G在边AC上,直接写出PG的长为 (用含x的代数式表示);
(2)当点F落在边BC上时,
①求x的值;
②直接写出此时点E,点F的坐标;
③点M在y轴上,点Q在直线BC上,当以E,F,M,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出点Q的坐标.
七、(本题12分)
24.(12分)已知CD是△ABC中∠C的角平分线,点E,F分别在边AC,BC上,AD=m,BD=n.△ADE与△BDF的面积之和为S.
(1)当∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC时,如图1,若∠B=45°,m=3,则n= ,S= ;
(2)如图2,当∠ACB=∠EDF=90°时,
①求证:DE=DF;
②直接写出S与m,n的数量关系;
(3)如图3,当∠ACB=60°,∠EDF=120°,m=6,n=4时,请直接写出S的大小.
八、(本题12分)
25.(12分)已知抛物线y=﹣x2+4x+c与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C(0,5).
(1)直接写出A点坐标( , ),B点坐标( , );
(2)求抛物线顶点M的坐标;
(3)如图1,点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,且点D在第一象限内,过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴,垂足为点F,当四边形DEFG的周长最大时,求点D的坐标;
(4)如图2,将△MBC沿BC翻折得到△NBC,NB与y轴交于点Q,在对称轴上找一点P,使得△PQB是直角三角形,直接写出所有符合条件的点P的坐标.
2023年辽宁省沈阳市大东区中考数学零模试卷
(参考答案与详解)
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的.每小题2分,共20分)
1.(2分)下列计算结果为5的是( )
A.﹣(+5) B.+(﹣5) C.﹣(﹣5) D.﹣|﹣5|
【解答】解:A选项,原式=﹣5,故该选项不符合题意;
B选项,原式=﹣5,故该选项不符合题意;
C选项,原式=5,故该选项符合题意;
D选项,原式=﹣5,故该选项不符合题意;
故选:C.
2.(2分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:A.该图形既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不合题意;
B.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C.该图形既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不合题意;
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故此选项符合题意.
故选:D.
3.(2分)如图①,用一个平面截长方体,得到如图②的几何体,它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:图②“堑堵”从上面看,是一个矩形,
故选:C.
4.(2分)2022年3月11日,新华社发文总结2021年中国取得的科技成就,其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米.其中数据10909用科学记数法表示为( )
A.10.909×102 B.1.0909×103
C.0.10909×104 D.1.0909×104
【解答】解:10909=1.0909×104,
故选:D.
5.(2分)下列计算结果正确的是( )
A.5a﹣3a=2 B.6a÷2a=3a
C.a6÷a3=a2 D.(2a2b3)3=8a6b9
【解答】解:A选项,原式=2a,故该选项不符合题意;
B选项,原式=3,故该选项不符合题意;
C选项,原式=a3,故该选项不符合题意;
D选项,原式=8a6b9,故该选项符合题意;
故选:D.
6.(2分)在一个不透明的布袋内,有红球5个,黄球4个,白球1个,蓝球3个,它们除颜色外,大小、质地都相同.若随机从袋中摸取一个球,则摸中哪种球的概率最大( )
A.红球 B.黄球 C.白球 D.蓝球
【解答】解:在一个不透明的布袋内,有红球5个,黄球4个,白球1个,蓝球3个,它们除颜色外,大小、质地都相同.若随机从袋中摸取一个球,
因为红球的个数最多,所以摸到红球的概率最大,
摸到红球的概率是:,
故选:A.
7.(2分)一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是( )
A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形
【解答】解:设多边形的边数为n,
(n﹣2)•180°=900°,
解得:n=7.
故选:A.
8.(2分)已知点A(﹣2,b)与点B(a,3)关于原点对称,则a﹣b的值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【解答】解:∵点A(﹣2,b)与点B(a,3)关于原点对称,
∴a=2,b=﹣3,
∴a﹣b=2+3=5,
故选:B.
9.(2分)如图,OA,OB是⊙O的两条半径,点C在⊙O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【解答】解:∵OA,OB是⊙O的两条半径,点C在⊙O上,∠AOB=80°,
∴∠C==40°.
故选:B.
10.(2分)满足不等式组的整数解是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解答】解:由2x﹣5≤0得:x≤,
由x﹣1>0得:x>1,
则不等式组的解集为1<x≤,
∴不等式组的整数解为2,
故选:C.
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(3分)因式分解:x2﹣x4= x2(1+x)(1﹣x) .
【解答】解:原式=x2(1﹣x2)
=x2(1+x)(1﹣x).
故答案为:x2(1+x)(1﹣x).
12.(3分)在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中,两人的考核成绩的平均数相同,方差分别为S甲2=1.50,S乙2=0.75,则考核成绩更为稳定的运动员是 乙 (填“甲”、“乙”中的一个).
【解答】解:∵两人的考核成绩的平均数相同,方差分别为S甲2=1.50,S乙2=0.75,
∴S甲2>S乙2,
∴考核成绩更为稳定的运动员是乙;
故答案为:乙.
13.(3分)若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为 1 .
【解答】解:根据题意得Δ=22﹣4×1×k=0,即4﹣4k=0
解得k=1.
故答案为:1.
14.(3分)如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=(a>0)的图象于A,B两点,过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,连接CD,若S△BCD=5,则a的值为 10 .
【解答】解:连接OB,
∵BD⊥y轴,
∴S△BOD=|a|,
∵BD∥x轴,
∴S△BCD=S△BOD=|a|,
∵S△BCD=5,
∴=5,
∵a>0,
解得:a=10,
故答案为:10.
15.(3分)观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是 3n+1 (用含n的代数式表示)
【解答】解:由题意可知:每1个都比前一个多出了3个“”,
∴第n个图案中共有“”为:4+3(n﹣1)=3n+1
故答案为:3n+1
16.(3分)已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 (3,4)或(2,4)或(8,4) .
【解答】解:(1)OD是等腰三角形的底边时,P就是OD的垂直平分线与CB的交点,此时OP=PD≠5;
(2)OD是等腰三角形的一条腰时:
①若点O是顶角顶点时,P点就是以点O为圆心,以5为半径的弧与CB的交点,
在直角△OPC中,CP===3,则P的坐标是(3,4).
②若D是顶角顶点时,P点就是以点D为圆心,以5为半径的弧与CB的交点,
过D作DM⊥BC于点M,
在直角△PDM中,PM==3,
当P在M的左边时,CP=5﹣3=2,则P的坐标是(2,4);
当P在M的右侧时,CP=5+3=8,则P的坐标是(8,4).
故P的坐标为:(3,4)或(2,4)或(8,4).
故答案为:(3,4)或(2,4)或(8,4).
三、解答题(第17小题6分,第18、19小题各8分,共22分)
17.(6分)+|﹣2|+(2000﹣2023)0+.
【解答】解:+|﹣2|+(2000﹣2023)0+
=2+2﹣+1+(﹣2)
=+1.
18.(8分)如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.
【解答】(1)证明:∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
∵CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠B=90°=∠D,
在△ABC和△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC(AAS);
(2)解:由(1)知:△ABC≌△ADC,
∴BC=CD=3,S△ABC=S△ADC,
∴S△ABC=AB•BC=×4×3=6,
∴S△ADC=6,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12,
答:四边形ABCD的面积是12.
19.(8分)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京﹣张家口成功举办,其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆,分别为:A.云顶滑雪公园、B.国家跳台滑雪中心、C.国家越野滑雪中心、D.国家冬季两项中心.小明和小颖都是志愿者,他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同.利用画树状图或列表的方法,求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率.
【解答】解:画树状图如下:
共有16种等可能的结果,其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种,
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为=.
四、(每小题8分,共16分)
20.(8分)在中国共产主义青年团成立100周年时,某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛,并将竞赛成绩进行整理(成绩得分用a表示),其中60≤α<70记为“较差”,70≤α<80记为“一般”,80≤α<90记为“良好”,90≤α≤100记为“优秀”,绘制了如图不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
根据统计图提供的信息,回答如下问题:
(1)被随机抽取的学生总人数是 50 ;
(2)直接将直方图补充完整;
(3)“一般”对应的百分比x= 30% ,“优秀”对应的百分比y= 16% ;
(4)已知90≤α≤100这组的具体成绩为93,94,99,91,100,94,96,98,则这8个数据的中位数是 95 ,众数是 94 ;
(5)若该校共有1000人,估计该校学生对团史掌握程度达到“优秀”的人数.
【解答】解:(1)被随机抽取的学生总人数是:4÷8%=50,
故答案为:50;
(2)2组的人数为50﹣4﹣23﹣8=15,
将直方图补充完整如下:
(3)“一般”对应的百分比x=;
“优秀”对应的百分比y==16%;
故答案为:30%;16%
(4)“90≤α≤100”这组的数据重新排列如下:91,93,94,94,96,98,99,100,
∴90≤α≤100”这组数据的众数是94,中位数是=95.
故答案为:95,94;
(5)1000×16%=160(人),
答:估计该校学生对团史掌握程度达到“优秀”的人数大约为160人.
21.(8分)为了让学生崇尚劳动,尊重劳动,在劳动中提升综合素质,某校定期开展劳动实践活动.甲、乙两班在一次体验摘草莓的活动中,甲班摘120千克草莓与乙班摘150千克草莓所用的时间相同.已知甲班平均每小时比乙班少摘10千克草莓,问乙班平均每小时摘多少千克草莓?
【解答】解:设乙班平均每小时摘x千克草莓,则甲班平均每小时摘(x﹣10)千克草莓,
根据题意得:=,
解得:x=50,
经检验,x=50是所列方程的解,且符合题意.
答:乙班平均每小时摘50千克草莓.
五、(本题10分)
22.(10分)如图,△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,以CD为直径的半⊙O与AB相切于点E,交BC于点F,FG⊥AB,垂足为G.
(1)求证:FG是⊙O的切线;
(2)若BG=2,BF=6,直接写出CF的长.
【解答】(1)证明:连接OF,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OF=OC,
∴∠C=∠OFC,
∴∠OFC=∠B,
∴OF∥AB,
∵AB⊥FG,
∴半径OF⊥FG,
∴FG是⊙O的切线;
(2)解:连接OE,FD,
∵AB与圆相切于E,
∴∠OEG=90°,
∵∠EGF=∠OFG=90°,
∴四边形EGFO是矩形,
∴FG=OE,
∵FG===4,
∴CD=2OE=8,
∵CD是半圆的直径,
∴∠DFC=90°,
∵∠B=∠C,∠BGF=∠DFC=90°,
∴∠CDF=∠BFG,
∴sin∠CDF=sin∠BFG,
∴=,
∴=,
∴CF=.
六、(本题10分)
23.(10分)如图,△ABC在平面直角坐标系中,点A在x的负半轴上,点B在x的正半轴上,点C在y的正半轴上,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6,动点P从点A出发,以2个单位长度/s的速度沿边AB向终点B匀速运动,以PA为一边作∠APG=120°,另一边PG与折线AC﹣CB相交于点G,以PG为边作菱形PGFE,点E在线段PB上.设点P的运动时间为x(s).
(1)当点G在边AC上,直接写出PG的长为 2x(0<x≤) (用含x的代数式表示);
(2)当点F落在边BC上时,
①求x的值;
②直接写出此时点E,点F的坐标;
③点M在y轴上,点Q在直线BC上,当以E,F,M,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出点Q的坐标.
【解答】解:(1)∵∠APG=120°,∠A=30°,
∴∠AGP=180°﹣120°﹣30°=30°,
∴PG=PA=2x(0<x≤).
故答案为:2x(0<x≤);
(2)①
∵∠APG=120°,
∴∠GPF=180°﹣120°=60°,
∵四边形PGFE是菱形,
∴PG=EF=PE=GF=2x,EF∥PG,
∴∠FEB=∠GPE=60°,
∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°,
∴△BEF是等边三角形,
∴EF=BE=2x,
∵AP+PE+EB=6,
∴6x=6,
∴x=1;
②在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=6,∠CAB=30°,
∴BC=AB=3,∠ABC=60°,
∵∠COB=90°,∠OCB=30°,
∴OB=BC=,
∵EB=2,
∴OE=BE﹣OB=2﹣=,
∴E(﹣,0),
过点F作FH⊥BE于点H.
∵△EFB是等边三角形,
∴EH=BH=BF=1,FH=BH=,
∴OH=OB﹣BH=,
∴F(,);
③当点M在x轴的下方时,点Q在线段BF上是由点F向右平移个单位得到,可得Q(1,).
当点M′在x轴的上方时,Q′与Q关于点C对称,此时Q′(﹣1,).
综上所述,满足条件点Q的坐标为(1,)或(﹣1,).
七、(本题12分)
24.(12分)已知CD是△ABC中∠C的角平分线,点E,F分别在边AC,BC上,AD=m,BD=n.△ADE与△BDF的面积之和为S.
(1)当∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC时,如图1,若∠B=45°,m=3,则n= 3 ,S= 9 ;
(2)如图2,当∠ACB=∠EDF=90°时,
①求证:DE=DF;
②直接写出S与m,n的数量关系;
(3)如图3,当∠ACB=60°,∠EDF=120°,m=6,n=4时,请直接写出S的大小.
【解答】(1)解:如图1中,∵∠ACB=90°,∠B=45°,
∴CA=CB,
∵CD平分∠ACB,
∴AD=DB=3,
∵DE⊥AC,DF⊥BC,∠A=∠B=45°,
∴△ADE,△BDF都是等腰直角三角形,
∴BF=DF=3,AE=DE=3,
∴S=×3×3+×3×3=9,
故答案为:3,9;
(2)①证明:如图2中,过点D作DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点N.
∵DM⊥AC,DN⊥BC,CD平分∠ACB,
∴DM=DN,
∵∠DMC=∠DNC=∠MCN=90°,
∴四边形DNCM是矩形,
∴DM=DN,
∴四边形DMCN是正方形,
∴∠MDN=∠EDF=90°,
∴∠MDE=∠NDF,
∵∠DME=∠DNF,
∴△DME≌△DNF(ASA),
∴DE=DF;
②解:∵△DME≌△DNF,
∴S△DME=S△DNF,
∴S=S△ADE+S△BDF=S△ADM+S△BDN,
把△BDN绕点D逆时针旋转90°得到右边△ADH,∠ADH=90°,AD=m,DH=n,
∴S=mn;
(3)如图3中,过点D作DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点N.
∵DM⊥AC,DN⊥BC,CD平分∠ACB,
∴DM=DN,
∵∠DMC=∠DNC=90°,
∴∠MDN=180°﹣∠ACB=120°,
∴∠EDF=∠MDN=120°,
∴∠EDM=∠FDN,
∵∠DME=∠DNF=90°,
∴△DME≌△DNF(AAS),
∴S△DME=S△DNF,
∴S=S△ADE+S△BDF=S△ADM+S△BDN,
把△ADM绕点D顺时针旋转120°得到△DNT,∠BDT=60°,DT=6,DB=4,
过点B作BH⊥DT于点H,
∴BH=BD×sin60°=4×=2,
∴S=S△BDT=×6×2=6.
八、(本题12分)
25.(12分)已知抛物线y=﹣x2+4x+c与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C(0,5).
(1)直接写出A点坐标( ﹣1 , 0 ),B点坐标( 5 , 0 );
(2)求抛物线顶点M的坐标;
(3)如图1,点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,且点D在第一象限内,过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴,垂足为点F,当四边形DEFG的周长最大时,求点D的坐标;
(4)如图2,将△MBC沿BC翻折得到△NBC,NB与y轴交于点Q,在对称轴上找一点P,使得△PQB是直角三角形,直接写出所有符合条件的点P的坐标.
【解答】解:(1)∵抛物线与y轴交于点C(0,5).
∴c=5,
∴这个抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5,
令y=0,则﹣x2+4x+5=0,解得x1=5,x2=﹣1,
∴点A(﹣1,0)、B(5,0),
故答案为:﹣1,0;5,0;
(2)∵抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,
∴M的坐标为:(2,9);
(3)由(2)知,抛物线的对称轴为x=2,
设D(x,﹣x2+4x+5),
∵DE∥x轴,
∴E(4﹣x,﹣x2+4x+5),
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴,
∴四边形DEFG是矩形,
∴四边形DEFG的周长=2(﹣x2+4x+5)+2(x﹣4+x)=﹣2x2+12x+2=﹣2(x﹣3)2+20,
∴当x=3时,四边形DEFG的周长最大,
∴当四边形DEFG的周长最大时,点D的坐标为(3,8);
(4)过点C作CH⊥对称轴于H,过点N作NK⊥y轴于K,
由翻折得CN=CM,∠BCN=∠BCM,
∵B(5,0),C(0,5).
∴OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
∵CH⊥对称轴于H,
∴CH∥x轴,
∴∠BCH=45°,
∴∠BCH=∠OCB,
∴∠NCK=∠MCH,
∴△MCH≌△NCK(AAS),
∴NK=MH,CK=CH,
∵抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,
∴对称轴为x=2,M(2,9),
∴MH=9﹣5=4,CH=2,
∴NK=MH=4,CK=CH=2,
∴N(﹣4,3),
设直线BN的解析式为y=mx+n,
∴,解得:,
∴直线BN的解析式为y=﹣x+,
∴Q(0,),
设P(2,p),
∴PQ2=22+(p﹣)2=p2﹣p+,
BP2=(5﹣2)2+p2=9+p2,
BQ2=52+()2=25+,
分三种情况:
①当∠BQP=90°时,BP2=PQ2+BQ2,
∴9+p2=p2﹣p++25+,解得p=,
∴点P的坐标为(2,);
②当∠QBP=90°时,P′Q2=BP′2+BQ2,
∴p2﹣p+=9+p2+25+,解得p=﹣9,
∴点P′的坐标为(2,﹣9).
③当∠BPQ=90°时,
25+=p2﹣p++9+p2,
解得:p=,
即点P的坐标为:(2,)或(2,);
综上,所有符合条件的点P的坐标为(2,),(2,﹣9)或(2,)或(2,).
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